Statistische Hypothesen
Ein statistischer Test ist ein Verfahren, mit dem anhand einer Stichprobe die Gültigkeit einer Hypothese über einen Parameter der Grundgesamtheit überprüft wird. Die Stichprobe muss zufällig und repräsentativ sein, damit der statistische Test gültig ist.
Mit anderen Worten: Manchmal haben wir bestimmte Annahmen oder Vermutungen über eine Grundgesamtheit; diese bezeichnen wir als Hypothesen. Statistische Tests sind das Verfahren, mit dem wir diese Hypothesen anhand einer Stichprobe überprüfen.
Die aufgestellte Hypothese wird mit 
angegeben und als Nullhypothese bezeichnet. Die Nullhypothese muss immer in der Form "ist gleich", "ist kleiner oder gleich" oder "ist größer oder gleich" vorliegen.
Die der Nullhypothese entgegengesetzte Hypothese wird als 
bezeichnet und als Alternativhypothese bezeichnet. Diese Hypothese hat die Form "ist ungleich", "ist größer als" oder "ist kleiner als".
Ein Hersteller gibt beispielsweise an, dass seine Glühbirnen eine Lebensdauer von 10.000 Stunden haben. Wir hegen jedoch den Verdacht, dass dies nicht der Fall sein könnte. Daher lauten die Hypothesen:
Statistische Tests
Vorgehensweise
Wie bereits erwähnt, ist ein Hypothesentest ein Verfahren zur Überprüfung einer Annahme. Hier betrachten wir nur Tests für den Mittelwert 
oder den Anteil 
einer Grundgesamtheit. Die Schritte zur Durchführung eines Hypothesentests sind folgende:
1 Wir formulieren die Nullhypothese und die Alternativhypothese 
. Die folgende Tabelle fasst die möglichen Hypothesen zusammen (der Buchstabe 
kann durch oder ersetzt werden):
| Zweiseitig |  |  |
|---|---|---|
| Einseitig |  |  |
 |  |
2 Bei einem Konfidenzniveau 
(oder einem Signifikanzniveau 
) müssen wir die kritischen Werte bestimmen. Diese haben bei zweiseitigen Tests die Form 
und bei einseitigen Tests die Form 
.
3 Da wir nun die kritischen Werte haben, konstruieren wir den Akzeptanzbereich für den Parameter oder . Dieser Bereich variiert je nach Parameter und Varianz der ursprünglichen Grundgesamtheit.
Darüber hinaus lassen sich auch Akzeptanzbereiche für andere Parameter wie die Varianz 
definieren.
4 Wir berechnen den Wert des Parameters in der Stichprobe. Diesen bezeichnen wir als 
oder 
.
5 Zusammenfassend lässt sich sagen: Liegt der Parameter innerhalb des Akzeptanzbereichs, so akzeptieren wir die Nullhypothese mit einem Signifikanzniveau . Andernfalls verwerfen wir die Nullhypothese.
Begründung
Wie wir sehen, akzeptieren wir die Nullhypothese, wenn der Stichprobenparameter 
innerhalb des Akzeptanzbereichs liegt. Es ergibt sich, dass, wenn die wahr ist, die Wahrscheinlichkeit besteht, dass einen Wert innerhalb des Akzeptanzbereichs hat.
Da wir in der Regel große Werte für (90 % oder mehr) wählen, ist es sehr unwahrscheinlich, dass einen Wert außerhalb des Akzeptanzbereichs annimmt.
Das bedeutet: Wenn wir den Hypothesentest durchführen und einen Wert außerhalb des Akzeptanzbereichs annimmt, gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder ist ein ungewöhnliches Phänomen eingetreten, oder unsere Nullhypothese ist falsch.
Daher kommen wir in der Regel zu dem Schluss, dass die Nullhypothese falsch ist, das heißt, wir verwerfen . Es besteht jedoch immer die Möglichkeit, einen Fehler zu begehen, dessen Wahrscheinlichkeit beträgt. Um die Fehlerwahrscheinlichkeit zu verringern, ist es am besten, die Stichprobengröße 
zu erhöhen oder das Experiment zu wiederholen.
Mit KI zusammenfassen:
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