Wenn wir einen Hypothesentest für den Mittelwert durchführen, kann unsere Nullhypothese manchmal wie folgt lauten:
Daher wäre die Alternativhypothese
Eine weitere Möglichkeit ist, dass die Nullhypothese folgender Art ist:
so dass die Alternativhypothese wie folgt lautet
Vorgehensweise und Formeln für den einseitigen Hypothesentest
Wir betrachten beide Fälle getrennt voneinander, beginnend mit dem Fall "kleiner oder gleich".
Fall "kleiner oder gleich"
In diesem Fall lautet die Nullhypothese
im Falle des Mittelwerts. Die Alternativhypothese lautet also
In diesem Fall würden wir die Nullhypothese ablehnen, wenn der Stichprobenmittelwert deutlich größer ist als der hypothetische Mittelwert. Der Ablehnungsbereich ist in der folgenden Abbildung dargestellt, wo wir erkennen können, dass sich dieser Ablehnungsbereich auf den rechten Rand der Verteilung konzentriert.
In diesem Fall ist der Akzeptanzbereich
,
wobei 
der kritische Wert für die Signifikanz 
ist, 
die Standardabweichung der Grundgesamtheit und 
der hypthetische Mittelwert.
Fall "größer oder gleich"
Für diesen Fall lautet die Nullhypothese
,
während die Alternativhypothese
ist
In diesem Fall würden wir die Nullhypothese ablehnen, wenn der Stichprobenmittelwert 
deutlich unter dem hypothetischen Mittelwert liegt. Die folgende Abbildung zeigt den Ablehnungsbereich, der sich auf den linken Rand der Verteilung konzentriert:
Schließlich ergibt sich der Akzeptanzbereich in diesem Fall aus
Wie im vorigen Fall ist der kritische Wert für die Signifikanz , die Standardabweichung der Grundgesamtheit und der hypothetische Mittelwert.
Hypothesentest für einen Anteil
Im Falle eines Anteils, wenn die Nullhypothese wie folgt lautet:
und die Alternativhypothese vom Typ
ist,
so ist der Akzeptanzbereich in diesem Fall gegeben durch
Andererseits, wenn die Nullhypothese wie folgt lautet:
und die Alternativhypothese vom Typ
ist,
so ist der Akzeptanzbereich gegeben durch
Kritische Werte
Die kritischen Werte für gängige Signifikanzwerte sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:
 | | |
|---|---|---|
| 0,90 | 0,10 | 1,28 |
| 0,95 | 0,05 | 1,645 |
| 0,99 | 0,01 | 2,33 |
Beispiele mit Lösungen zum einseitigen Hypothesentest
Ein Soziologe hat prognostiziert, dass die Wahlenthaltung bei den kommenden Wahlen in einer bestimmten Stadt mindestens 40 % betragen wird. Es wird eine Zufallsstichprobe von 200 Wahlberechtigten ausgewählt, von denen 75 bereit wären, ihre Stimme abzugeben. Bestimme mit einem Signifikanzniveau von 1 %, ob die Prognose als zutreffend angesehen werden kann.
Um den Hypothesentest durchzuführen, werden wir jeden einzelnen Schritt ausführen.
aZunächst formulieren wir die Nullhypothese und die Alternativhypothese. Die Nullhypothese lautet
Das heißt, die Wahlenthaltung wird mindestens 40 % betragen. Anschließend formulieren wir die Alternativhypothese:
was bedeutet, dass die Wahlenthaltung unter 40 % liegen wird. Wir stellen fest, dass es sich um einen einseitigen Hypothesentest vom Typ „größer oder gleich“ handelt.
b Anschließend erstellen wir den Akzeptanzbereich. In diesem Fall entspricht dem Signifikanzniveau 
ein kritischer Wert von 
. Somit lautet der Akzeptanzbereich
c Nun prüfen wir, ob der Stichprobenanteil im Akzeptanzbereich liegt. Wir stellen fest, dass 75 der Personen bereit sind zu wählen, sodass sich 125 der Stimme enthalten würden. Das heißt, der Anteil der Nichtwähler*innen in der Stichprobe beträgt
d Wir stellen fest, dass 
innerhalb des Akzeptanzbereichs liegt. Daher können wir die Nullhypothese annehmen. Das heißt, wir kommen zu dem Schluss, dass die Wahlenthaltung mindestens 40 % betragen wird.
Einem Bericht zufolge liegt der Durchschnittspreis für ein Flugticket zwischen den Kanarischen Inseln und Madrid bei höchstens 120 € mit einer Standardabweichung von 40 €. Bei einer Stichprobe von 100 Reisenden ergibt sich ein Durchschnittspreis von 128 €.
Gibt es genügend Belege, um die Ausgangsbehauptung bei einem Signifikanzniveau von 0,1 zu verwerfen?
Wie in den vorangegangenen Fällen führen wir die Schritte des Hypothesentests durch.
a Zunächst formulieren wir die Nullhypothese und die Alternativhypothese. Die Nullhypothese lautet
während die Alternativhypothese
lautet.
Da es sich um eine Hypothese vom Typ "kleiner oder gleich" handelt, führen wir einen einseitigen Hypothesentest durch.
b Wir erstellen den Akzeptanzbereich für . Wir stellen fest, dass dem Signifikanzniveau 
ein kritischer Wert 
entspricht. In diesem Fall ist der Akzeptanzbereich gegeben durch
c Wir überprüfen den Stichprobenmittelwert, welcher 
war.
d Da der Stichprobenmittelwert nicht innerhalb des Akzeptanzbereichs liegt, lehnen wir die Nullhypothese ab. Das heißt, wir kommen zu dem Schluss, dass es genügend Belege dafür gibt, dass der Preis über 120 € liegt, entgegen den Angaben im Bericht.
Mit KI zusammenfassen:
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
