„Um die Wahrheit zu erkennen gilt es alle Meinungen, die man jemals erhalten hat, zu verwerfen und von Neuem das gesamte System seines Wissens wiederaufzubauen.“
René Descartes

Unmöglich um René Descartes herumzukommen, wenn man über Mathe spricht! Als Wissenschaftler des 17. Jahrhunderts prägte Descartes maßgeblich die Numerisierung der Geometrie und entwickelte ein Konzept zur Analyse von Geometrie.

Er war ein großer Vertreter von "Cogito ergo sum" („Ich denke, also bin ich.“) und seine Lehre wird heutzutage nicht nur in Schulen seines Heimatlandes Frankreich gelehrt, sondern auch in vielen anderen europäischen Ländern.

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Aristoteles, Spinoza, Kant, Pythagoras, Philosophie, Metaphysik, Intuition und rationales Denken waren nur einige seiner Leidenschaften… Wenn Rechnen und Philosophieren also zu Ihren Hobbies gehören, dürften Sie Rene Descartes lieben!

Mathe: Das Leben des Mathematikers Descartes

René Descartes ist 1596 in einem Dorf namens Haye geboren, das mittlerweile in Descartes umbenannt wurde. Er gehört zu den bekanntesten Intellektuellen aus Frankreich.

Aufgezogen wurde der Mathematiker von seinem Vater, der damals Berater des bretonischen Parlaments war, und seiner Großmutter. Seine Mutter lernt René nie kennen, da diese kurz nach seiner Geburt verstarb.

Der Beginn Descartes' Mathematik- und Philosophiekarriere
Philosophie: nur eine der unzähligen Leidenschaften Descartes' I Quelle: Unsplash

Seine Bildung erwirbt René Descartes im Jesuiten-Kolleg in La Flèche, das von Heinrich IV. gegründet wurde. Die Regeln dort sind streng und die Fächer anspruchsvoll. Dieses Kolleg fördert jedoch seinen Sinn für Mathematik und legt erste Grundsteine für seine spätere Karriere.

Sein Jura-Studium bestreitet Descartes an der Universität von Poitiers, einer Stadt im Westen Frankreichs. Obwohl er das Studium besteht und seinen Abschluss erwirbt, sollte Descartes niemals in diesem Bereich arbeiten.  Stattdessen tritt der junge Mann in die Bayerische Armee ein und genießt es auf seinen Reisen europäische Länder zu erkunden.

Im Jahre 1628 entscheidet sich Descartes in die Niederlande zu ziehen, wo er ein wissenschaftliches Projekt namens „Le Monde“ (Die Welt) vorbereitet. Er beschreibt in diesem Werk zahlreiche physikalische Phänomene, die erklären, wie die Welt funktioniert.

René teilt die Ansichten der Lehre Kopernikus‘ und Galileos', dass die Erde sich sowohl um sich selbst dreht als auch um die Sonne. Doch als er „Die Welt“ 1633 in Zeiten der Inquisition veröffentlichen möchte, wird der Wissenschaftler von der Kirche verurteilt. Er entscheidet sich deshalb, das Buch erst ein paar Jahre später herauszubringen.

Im Jahre 1637 schreibt er das heutzutage bekannteste Werk von ihm: Die „Abhandlung über die Methode“. Die Herausgabe dieses Werks erschüttert seine Zeitgenossen, denn es ist auf Französisch verfasst und nicht auf Latein, wie traditionell wissenschaftliche Werke veröffentlicht wurden.

Seine Abhandlung wird von drei Versuchen begleitet über geometrische Optik und die Gesetze der Lichtbrechung, über Meteoren und Meteorologie, und über Geometrie. In letzterem Abschnitt beschreibt Descartes den Zusammenhang zwischen Geometrie und Algebra und kreiert somit die analytische Geometrie.

Während seiner Laufbahn veröffentlicht der Wissenschaftler weitere Werke, darunter „Die Prinzipien der Philosophie“ im Jahre 1644 oder „Die Leidenschaften der Seele“ 1649.

1650 fällt Descartes jedoch der skandinavischen Kälte zum Opfer und stirbt an den Folgen einer Lungenentzündung, während er dem Ruf an den Hof der schwedischen Königin Christine folgt.

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Algebra nach der Lehre Descartes‘

Während Descartes die „Abhandlung über die Methode“ im 17. Jahrhundert verfasst, trifft der Wissenschaftler Entscheidungen, die seine zeitgenössischen Mathematiker und besonders die Erkenntnisse im Fachgebiet der Algebra erschüttern sollten. Er ist der Erste, der unbekannte Werte in Buchstaben ausdrückt. Obwohl uns das heutzutage ganz normal erscheint, war dies eine Neuerung im 17. Jahrhundert.

Es ist François Viète, ein Mathematiker, der als Erster Descartes‘ Erfindung anwendet. Descartes nimmt diese Art Mathe zu notieren in seinem Werk über Geometrie wieder auf, das Teil seiner „Abhandlung über die Methode“ ist.

Descartes verdanken wir die Schreibweise von Gleichungen: ohne ihn sähe unser Matheunterricht heute ganz anders aus
Schon gewusst? Descartes verdanken wir viele Erkenntnisse des Matheunterrichts I Quelle: Unsplash

Laut Descartes bezeichnet man also die Unbekannten einer Gleichung mit den Buchstaben x, y und z, die Bekannten einer Gleichung mit den Buchstaben A, B und C und er sieht die Benutzung des Exponenten vor um Potenzen auszudrücken (x4 anstatt xxxx).

Einzig und allein der Ausdruck des Quadrats ändert sich noch nicht, man fährt fort xx anstatt x² aufzuschreiben. Auch das Gleichheitszeichen existiert noch nicht zu Descartes‘ Zeiten. Eine Substraktion drückt man mit zwei negativen Bindestrichen aus.

Im Fachgebiet der Algebra führt René Descartes ebenfalls eine Neuerung ein: die imaginäre Zahl, die der Beschreibung von komplexen Zahlen dient.

"Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die als a+bi geschrieben werden kann, wobei a und b reelle Zahlen sind und i eine imaginäre Zahl ist, so dass i²=-1."

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Descartes ist am besten bekannt auf dem Gebiet der Mathematik für die Verknüpfung mathematischer Berechnungen mit Geometrie. Er wird es analytische Geometrie nennen. Descartes ist somit der Erste, der den Ausdruck einer geometrischen Realität durch eine Gleichung, die Verwendung von Koordinaten und die grafische Darstellung in Beziehung setzt.

In seinem Buch schreibt Descartes Folgendes:

Um also ein Problem lösen zu wollen, muss man es zunächst als bereits erledigt betrachten und alle Linien benennen, die für die Lösung notwendig erscheinen, sowohl für die Unbekannten als auch für andere. Dann, ohne einen Unterschied zwischen diesen bekannten und unbekannten Linien zu berücksichtigen, muss man die Schwierigkeit in der Reihenfolge durchlaufen, die am Natürlichsten zeigt, in welcher Art sie voneinander abhängen […]“.

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Die Koordinatenmethode nach Descartes

Descartes ist ein Name, von dem wir alle schon einmal gehört haben, und das aus gutem Grund: Er war der Erste, der die Zusammenhänge zwischen Linien und Kurven und mathematischen Gleichungen demonstrierte. Die analytische Geometrie war also geboren und ist wie folgt definiert:

„Ein Geometriezweig, der geometrische Kurven und Figuren durch algebraische Ausdrücke in einem Koordinatensystem darstellt.“

Die analytische Gemoetrie verdanken wir Descartes
Analytische Geometrie: eine Erfindung Descartes' I Quelle: Unsplash

Um diese Behauptungen zu beweisen, markierte René Punkte einer Kurve auf ein zweiachsiges Koordinatensystem mit dem gleichen Ursprung unter Verwendung des Koordinatensystems, das jetzt kartesisches Koordinatensystem genannt wird.

Die Legende besagt, dass Descartes die Idee hatte Koordinaten zu verwenden, als er eine Fliege betrachtete, die auf den Karos eines Fensterglases spazierenging, wobei die Karos die Bezugspunkte für die Festlegung der Koordinaten waren.

Die Koordinaten wurden natürlich zuerst von Leonardo da Vinci erfunden. Descartes verwendete sie dann, um Kurven und Linien in die arithmetische Berechnung zu übersetzen. Die Parabel wird also von Descartes folgendermaßen übersetzt: y = x².

In seiner Epoche wurden nur positive Koordinaten berücksichtigt. Diese stellten spezifische Segmente einer geometrischen Form mit positiven Werten dar.

Der Name Descartes ist heutzutage einer bestimmten Art von Gleichung zugeordnet, der kartesischen Ein-Ebenen-Gleichung: Diese ist eine Gleichung einer Kurve, die die Form ax + by + cz + d = 0 mit (aIbIc) =/= (0I0I0) hat.

Beispiel :

Für eine Linie, die durch A(1I3) verläuft auf der y-Achse zum Ursprung -4, lautet die kartesische Gleichung "y = 7x - 4".

Für die Ebene des Raumes, die durch A(1I1I1I1I1I2), B(1I0I1) und C(0I2I1) verläuft, lautet die kartesische Gleichung "2x + y - z = 1".

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Matheunterricht: Was bleibt von Descartes?

Trigonometrie, Algebra, Gleichungen, Brüche, Logarithmen unsere mathematischen Unterrichtsinhalte sind immer noch von René Descartes' wissenschaftlichen Erkenntnissen geprägt. Es ist fast unmöglich, diesen Riesen der Mathematik zu umgehen.

Alle unsere Gleichungen verwenden Buchstaben, um bekannte oder unbekannte Werte zu bezeichnen. Diese modernen Notationsarten sind daher die Grundlage für unser mathematisches Lernen in unserer Schullaufbahn oder in der Höheren Bildung für Studenten, die ihr Mathematikstudium fortsetzen.

Ohne ihn würden wir immer noch "quadratus" und "cubus" notieren, um x² und x³ zu erhalten.

Descartes räumt auch ein, dass Geometrieprobleme in numerische Probleme umgewandelt werden können. Die analytische Geometrie ist heute Teil des nationalen Lehrplans in mehreren europäischen Ländern. Die Koordinaten einer Ebene werden in der Mittelstufe untersucht, während kartesische Gleichungen auf Oberstufenniveau (bzw. Gymansialebene) gelehrt werden.

Sein Name ist heute in unserem Wortschatz verwurzelt und wird einer großen Anzahl von mathematischen Methoden zugeschrieben. Kartesische Gleichungen und kartesische Orientierungspunkte sind nur wenige Beispiele. Der kartesische Orientierungspunkt stellt die Koordinaten in Form eines Tripletts dar (OIIIJ).

Auch für Philosophie war Descartes bekannt, insbesondere das "kartesische Denken"
Auch das kartesische Denken kommt von Descartes: Denkst Du kartesisch? I Quelle: Unsplash

Der Name René Descartes wurde auch mit kartesischem Denken in Verbindung gebracht. Ein kartesischer Geist ist ein Geist, der analysiert und einen Sinn für Strenge hat. Definierst Du Dich selbst auch als kartesisch?

Kartesische Definitionen

Viele Definitionen verwenden das Adjektiv „kartesisch“ im Bereich der Mathematik. Hier sind zwei der Definitionen, um dies etwas klarer zu machen.

Das kartesische Produkt:

„Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen, wobei die erste Komponente ein Element der ersten Menge und die zweite Komponente ein Element der zweiten Menge ist.“

Das kartesische Diagramm:

„Darstellung einer Anzahl von Punkten, deren Koordinaten in einer definierten Beziehung sind in einer Zahlenmenge“

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Lily