"Unbildung ist eine Last."

– Thales von Milet

Alpha, Beta, Gamma, Delta, hä? Laut dem Bildungsbarometer des Zentrums für empirische pädagogische Forschung (zepf) der Universität Koblenz-Landau haben rund zwei Drittel der Schüler:innen Probleme mit Mathe. Fast 40 % setzen zudem auf Nachhilfe Mathe (zu Hause, in Nachhilfeinstituten oder Mathe Nachhilfe online via Webcam).

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Auf dem Lehrplan für Mathematik stehen in Realschulen und auf Gymnasien Brüche, Gleichungen, Geometrie, relative Zahlen, Algebra... – und der Satz von Thales, einem der bekanntesten Mathematiker!

Doch war da nicht auch noch was mit Thales und den Pyramiden? Genau, der Strahlensatz! Die zwei Sätze werden beide mit Thales in Verbindung gebracht, sind aber nicht zu verwechseln!

Im Folgenden wollen wir uns das Leben des berühmten Mathematikers sowie die zwei bekannten Sätze – Strahlensatz und Satz des Thales – mal etwas genauer ansehen.

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Und los geht's

Das Leben des Mathematikers Thales von Milet

Keinem Schüler, der im Mathematikunterricht wenigstens mit einem Ohr zugehört hat, sind diese beiden Namen fremd: Pythagoras und Thales.

Den antiken Schriften nach war Letzterer der Lehrer des Ersteren. Thales von Milet war ein griechischer Philosoph, der um 625 vor Christus in Milet geboren wurde. Er gilt er als einer der sieben Weisen des antiken Griechenlands (zusammen mit Pittakos, Bias, Solon, Kleobulos, Chilon und Periandros).

Antiker Tempel Akropolis in Nahaufnahme vor blauem Himmel mit Quellwolken.
Der alte Grieche Thales hatte einen großen Einfluss auf die Mathematik, vor allem die Geometrie. | Quelle: Pixabay

BTW: Wie wichtig die alten Griechen für die Mathematik waren, erkennt man auch daran, dass der Großteil der mathematischen Fachbegriffe aus dem Griechischen (nicht Lateinischen) kommt. Und in der Geometrie verwendet man fast aussschließlich griechische Buchstaben (Alpha, Beta, Gamma, Delta usw.). Entsprechende Übungen dazu findest du kostenlos im Internet.

Der Begründer der Schule von Milet begann seine Ausbildung zum Philosophen und Wissenschaftler, als er in jungen Jahren Ägypten bereiste und dort das Wissen ägyptischer und babylonischer Wissenschaftler entdeckte.

Er studierte insbesondere die Geometrie, Astronomie, Philosophie und alles andere, was die ägyptischen Priester damals lehrten. Sein Klassenzimmer lag in der Wüste, zwischen den Pyramiden und dem Nil.

Einige Historiker halten den Studienaufenthalt in Ägypten allerdings für eine Legende. Tatsächlich datieren alle Schriften, die vom Leben des Wissenschaftlers berichten, einige Jahre nach seinem Tod.

Als Erwachsener kehrt Thales nach Milet zurück, wo er seine Erkenntnisse wiederum wissbegierigen Schülern weitergibt.

Während seines ganzen Lebens macht sich Thales seine Beobachtungsgabe zu Nutze, um herauszufinden, wie die Welt funktioniert. Der Legende nach berechnet er (mithilfe des Strahlensatzes) die genaue Höhe der Großen Pyramide, sagt eine Sonnenfinsternis voraus und formuliert den berühmten mathematischen Satz zum rechtwinkligen Dreieck über einem Halbkreis, der in der Folge "Satz des Thales" genannt wird.

Seine mathematischen und wissenschaftlichen Forschungen waren für die damalige Zeit revolutionär!

Thales hat seine Entdeckungen immer unter rationalen Gesichtspunkten zu erklären versucht, und nicht unter mythologischen, wie es damals häufig der Fall war. Beobachtung und Demonstration waren für ihn die Grundlage wissenschaftlichen Denkens. Dadurch gilt er historisch als einer der ersten Menschen in der westlichen Zivilisation, die eine wissenschaftliche Philosophie pflegten.

Laut Aufzeichnungen,  die viele Jahre nach seinem Tod gemacht wurden, starb Thales um 547 vor Christus in Milet, als er einem Turnwettbewerb zusah. Er wurde auf der Tribüne gefunden und sei angeblich an Hunger, Durst und Altersschwäche gestorben.

Das alles kannst und noch viel mehr kannst du mit Nachhilfe Mathe lernen.

Halbkreis, rechter Winkel & Co.: Der Satz des Thales

Jeder, der eine reguläre Schule besucht hat, hat den Satz des Thales gehört bzw. gelernt. Doch könntest du (noch) erklären, was dieser besagt?

Falls nein, helfen wir dir hier auf die Sprünge: Vereinfacht besagt er, dass alle von einem Halbkreis umschriebenen Dreiecke rechtwinklig sind.

Dreieckiges Gebäude umgeben von Grün aus der Vogelperspektive.
Ein wichtiger Bestandteil von geometrischen Beweisen: Dreiecke. | Quelle: Pexels

Konkret lautet der Satz so:

"Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis genannt) und einem weiteren Punkt des Halbkreises, dann erhält man immer ein rechtwinkliges Dreieck."

Oder:

"Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis über der Strecke AB, so hat das Dreieck bei C immer einen rechten Winkel."

Es gibt noch zwei weitere Möglichkeiten, den Satz zu formulieren bzw. wenn man ihn umkehrt, stimmt er auch:

"Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt immer in der Mitte der Hypotenuse (der längsten Seite des Dreiecks), die gegenüber vom rechten Winkel liegt."

Oder:

"Hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel, so liegt C auf einem Kreis mit der Hypotenuse AB als Durchmesser."

Vielleicht haben schon andere Gelehrte vor Thales ähnliche Beobachtungen gemacht, aber ihm wird der erste Beweis dieses Satzes zugeschrieben, weshalb er nach ihm benannt wurde.

Und was bringt uns dieser Satz? Nun, dir und mir in unserem alltäglichen Leben nichts, aber er hat die Mathematik (und damit das Wissen der Menschheit) vorangebracht.

Mathematische Anwendungen sind:

  • Die Konstruktion einer Kreistangente
  • Die Quadratur des Rechtecks
  • Die Konstruktion reeller Quadratwurzeln

Wenn dich das näher interessiert, frag am besten mal bei deinem Mathelehrer, deiner Mathe-Dozentin oder einer Nachhilfelehrkraft für Mathematik nach.

*

Wenn du diese Schlagwörter hörst, geht es vermutlich um den Satz des Thales: Dreieck ABC, Dreiecke, Rechter Winkel eines Dreiecks, Strecke, Thaleskreis, Mittelpunkt eines Kreises, Durchmesser eines Kreises, Seite eines Dreiecks.

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Pyramiden, Parallelen & Co. – Der Strahlensatz

Aber war da nicht auch noch was mit Thales in Ägypten und der Berechnung von Pyramidenhöhen? Was ist das dann für ein Satz, wenn nicht der Satz des Thales?

Das ist der Strahlensatz! Der Legende nach hat Thales diesen Satz genutzt, um die Höhe einer Pyramide zu berechnen. Dazu soll er einen Stab in den Boden gerammt haben und seine Berechnungen anhand seines Schattens angestellt haben.

Das sah dann wohl in etwa so aus:

Schematische Darstellung einer Pyramide mit Sonnenstrahlen, Dreiecken und Flächen.
So hat Thales wohl den Strahlensatz angewandt. | Quelle: Pixabay

Hast du dich vielleicht anfangs gefragt, was eigentlich ein Strahl ist? Eigentlich ist ein Strahl nichts anderes als eine gerade Linie, die die von einem Punkt aus diagonal verläuft, wie ein Sonnen-STRAHL eben.

Willst du auch gerne Strecken, Längen und deren Verhältnisse berechnen können? Dann bist du hier genau richtig.

Der Strahlensatz (bzw. die drei Strahlensätze) befassen sich nämlich mit Parallelen und Streckenverhältnissen und ermöglichen es so, unbekannte Streckenlängen zu ermitteln.

Doch bevor wir uns anschauen, wie die Strahlensätze konkret lauten, müssen wir erstmal klären, welche Voraussetzungen gegeben sein müssen, damit diese überhaupt zur Anwendung kommen dürfen, nämlich:

  • Es müssen mindestens zwei Strahlen vorliegen und sie müssen einen gemeinsamen Punkt besitzen, den man als Scheitel (S) bezeichnet.
  • Die zwei Strahlen müssen von zwei Geraden geschnitten werden, die wiederum parallel zueinander verlaufen müssen. Das kennzeichnet man so: g||h (g ist parallel zu h).
  • Aber: Die parallelen Geraden dürfen die zwei Strahlen nicht am Scheitel treffen!

Wenn diese Voraussetzungen also erfüllt sind, gelten die drei Sätze, die oft einfach als "Der Strahlensatz" zusammengefasst werden:

  1. Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden.
  2. Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf jeweils derselben Geraden.
  3. Es stehen je zwei Abschnitte auf den Parallelen, die einander entsprechen, in gleichem Verhältnis zueinander.

So weit mal zur Theorie. In der Praxis (also im Matheunterricht oder in der Nachhilfe) nutzt du nun die Formel bzw. Formeln, die zum Strahlensatz bzw. den Strahlensätzen gehören, um Aufgaben zu berechnen. Klingt kompliziert? Keine Angst, das kann man lernen!

Im Internet und speziellen Matheübungsbüchern findest du eine Vielzahl von Aufgaben, um die unterschiedlichsten Strahlen, Strecken, Längen und Verhältnisse zu berechnen. Es ist alles eine Frage der Übung!

Und wenn es nicht gleich klappt, du dir die Formel trotz Formel-Sammlung nicht merken kannst, gibt es ja immer noch die Option der Mathe-Nachhilfe! Und je besser das VERHÄLTNIS zu deiner Mathenachhilfelehrerin, desto schneller kannst du die schwierige STRECKE zur guten Mathenote zurücklegen, das zieht sich dann sicher nicht so sehr in die LÄNGE. ;)

Musstest du den Strahlensatz auch nutzen, um im Matheunterricht Berechnungen anzustellen und für die ein oder andere Aussage einen Beweis zu liefern?

Die Aussagen des Satzes waren bereits den Babyloniern und Ägyptern bekannt, doch Thales wird das konkrete Anwendungsbeispiel mit den Pyramiden zugeschrieben. In seinem Buch "Elemente" arbeitet Euklid den Strahlensatz weiter aus.

Vorsicht, Verwechslungsgefahr: Im Deutschen ist der Satz mit dem Thaleskreis und dem rechten Winkel der "Satz des Thales", während in anderen Sprachen teilweise der Strahlensatz "Satz des Thales" genannt wird!

Die Mathematik steckt übrigens voller weiterer spannender Persönlichkeiten und ihren Geschichten. Eine davon ist die Geschichte von Archimedes von Syrakus.

*

Wenn du diese Schlagwörter hörst, geht es vermutlich um den Strahlensatz bzw. die Strahlensätze: Geraden, Parallelen, Strahl, Strahlen, Strecke, Verhältnisse von Strecken, Punkt (an dem sich zwei Strahlen bzw. Geraden kreuzen).

Thales, die Mathematik und die Astronomie

Sein ganzes Leben lang macht Thales sich die Mathematik im Alltag zunutze. Gleichungen, Primzahlen, Dezimalzahlen, Medien... sie alle dienen dazu, die Welt um uns herum zu verstehen.

Aufnahme von Galaxien und Sternen am dunklen Himmel.
Viele Gelehrte der Antike interessierten sich für Astronomie. | Quelle: Pixabay

Schon sehr früh entwickelte Thales eine Leidenschaft für die Sterne. Er gilt als einer der Pioniere der Astronomie. Wie für seine mathematischen Forschungen nutzt Thales seine Beobachtungen der Konstellationen der Sterne, um zu verstehen, wie das Universum funktioniert. Auf diese Weise machte er auch in diesem Bereich viele neue Entdeckungen:

  • Er erkannte, wie sich Seeleute auf dem offenen Meer den Kleinen Wagen zunutze machen können, um nicht die Orientierung zu verlieren.
  • Er sagte als erster, dass die Sonne durch den Mond verfinstert wird, indem dieser zwischen Sonne und Erde tritt.
  • Er behauptete als erster, dass der Mond von der Sonne beleuchtet wird.
  • Er bestritt, dass die Gestirne Götter sind und behauptet in "nüchterner Respektlosigkeit, die Sterne bestünden ganz unerbaulich aus ordinärer Erde, die glühte".
  • Er findet heraus, dass der Sonnen-Durchmesser zum Sonnen-Kreis dasselbe Verhältnis hat wie der Mond-Durchmesser zum Mond-Kreis, nämlich 1:720 (was tatsächlich annähernd richtig ist! Schier unglaublich, damals eine solche Berechnung anzustellen...).
  • Er entwickelte eine erste wissenschaftliche Erdbebentheorie. Dabei glaubte er jedoch, dass die Erde auf dem Wasser schwimme und schwanke wie ein Schiff, wenn das Tragewasser in Bewegung gerät – das sei dann ein Erdbeben. Er irrte sich, aber immerhin hat er erstmals nach einer natürlichen Erklärung gesucht. Die alten Griechen glaubten, ein Erdbeben entstünde, wenn der Meeresgott Poseidon seinen Dreizack gegen die Erde stosse...

Diese Theorien und Berechnungen sind nur ein kleiner Teil seiner Beiträge zur Wissenschaft.

Er analysierte außerdem die Anzahl der Tage im Jahr und kam zum Schluss, dass das Jahr nicht 365 Tage, sondern 365 Tage plus ein Viertel zählt. Dies wird später die Basis der Schaltjahre sein.

Und laut Aristoteles habe Thales dank seiner Beobachtungen sogar mal eine große Olivenernte vorhergesagt.

Ein wahrer Tausendsassa! Das war damals jedoch nicht untypisch: Die meisten großen Mathematiker der Antike waren Universalgelehrte, also häufig auch Astronomen, Physiker, Philosophen usw.

Es ist auch unmöglich, um den Philosophen René Descartes herumzukommen, wenn man über Mathe spricht.

Thales' Platz in der Geschichte der Mathematik

Alle Entdeckungen von Thales haben der Mathematik eine besondere Note verliehen. Sein Wissen und seine Entdeckungen werden noch heute in unserem Mathematikunterricht gelehrt und Thales ist zweifelsohne einer der größten Mathematiker der Geschichte.

Aber vor allem hat Thales das Wissen theoretisiert, das die Ägypter und Babylonier angehäuft hatten. Der Mathematiker war nicht mit mythologischen Pseudowahrheiten zufrieden, sondern versuchte, alle Aussagen, die er während seiner Ausbildung entdeckte, zu beweisen.

Eine Denkweise, die seine Zeitgenossen verblüffte!

Der französische Wissenschaftsredakteur Jean Voilquin erklärt, dass Thales "die mythische Erklärung" von Phänomenen "durch eine physikalische Erklärung" ersetzen wollte. Deshalb sei er "einer der Vorreiter der griechischen Wissenschaft."

Die Schule von Milet gilt als eine der Geburtsstätten der Wissenschaft. Thales Schüler studierten Geometrie und Astronomie, beschäftigten sich aber auch mit Themen wie Biologie oder Physik. Sie studierten die Natur von A bis Z, um die Funktionsweise der Umwelt zu erklären. Ihre Studien gelten als die ersten naturwissenschaftlichen Untersuchungen.

Thales hat nicht nur die Mathematik, sondern auch die gesamte Wissenschaftsgeschichte geprägt. Es lohnt sich, sich seinen Namen zu merken, und zwar nicht nur für den Mathematikunterricht.

*

Übrigens: Im Matheunterricht kommt man nicht ums griechische Alphabet herum. Alpha, Beta, Gamma und Delta kennen vermutlich die meisten, aber kennst du auch die anderen griechischen Buchstaben und ihre (altgriechische) Aussprache, die man im Mathe- und Physikunterricht braucht?

Buchstaben (groß und klein)(altgriechischer) Buchstabenname in lateinischer Schrift
Α, αAlpha
Β, βBeta
Γ, γGamma
Δ, δDelta
Ε, εEpsilon
Ζ, ζZeta
Η, ηEta
Θ, θTheta
Ι, ιIota
Κ, κKappa
Λ, λ
Lambda
Μ, μMy
Ν, νNy
Ξ, ξXi
Ο, οOmikron
Π, πPi
Ρ, ρRho
Σ, σSigma
Τ, τTau
Υ, υYpsilon
Φ, φPhi
Χ, χChi
Ψ, ψPsi
Ω, ωOmega

Im Internet findest du Übungen (kostenlos), um die Namen des griechischen Alphabets zu lernen. Tipp: Die ersten sind die, die man am häufigsten braucht (Alpha, Beta, Gamma, Delta).

Außerdem findest du auch Geometrie-Übungen (die meisten kostenlos), um die Strahlensätze und den Satz des Thales anzuwenden und den jeweiligen Beweis nachzustellen und entsprechende Geraden, Strahlen, Seiten, Strecken, Verhältnisse usw. zu berechnen.

Wir hoffen, dass wir dir den berühmten Griechen, seinen Satz zu Halbkreisen, Dreiecken, Mittelpunkt & Co. sowie die Strahlensätze etwas näher bringen konnten. Viel Spaß und Erfolg bei deinem Abenteuer Mathe!Neben Thales gibt es natürlich noch weitere bekannte Wissenschaftler:innen, die die Mathematik stark geprägt haben, wie zum Beispiel Isaac Newton. Bestimmt schon mal gehört, oder?

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Bertine

Ich bin studierte Ethnologin und Politikwissenschaftlerin sowie dreifache Jungs-Mama. Ich schreibe leidenschaftlich gerne und interessiere mich... eigentlich für alles. Aber ganz besonders für Reisen, Sprachen, fremde Kulturen, Geschichte und Handwerk.