Egal ob Ihr die Schulzeit schon hinter Euch habt oder noch mitten drin steckt - jeder muss mal durch die Wahrscheinlichkeit, eins der wichtigsten Teilgebiete in Mathe und in Statistik.

Warum das so wichtig ist? Wahrscheinlichkeiten kommen in der Abschlussprüfung dran, zum Beispiel im Abitur. Wer studieren möchte, riskiert auch, der Wahrscheinlichkeit noch einmal zu begegnen. Zum Beispiel ist Statistik - und damit auch die Wahrscheinlichkeit - ein wichtiger Studieninhalt in BWL, VWL oder Psychologie.

Aber das ist natürlich nicht alles. In erster Linie hat es noch einen ganz praktischen Vorteil, Wahrscheinlichkeiten zu verstehen! In vielen Würfel- und Kartenspielen bist Du Deinen Mitspielern einen Schritt voraus, wenn Du hier verstanden hast, worum es geht!

Die Wahrscheinlichkeitstheorie hört sich für Dich Spanisch an? Keine Sorge, wir von Superprof erklären Dir die wichtigsten Elemente der Wahrscheinlichkeit, geben Lerntipps und Bücher und erklären Fachbegriffe, die Dir bestimmt schon einmal begegnet sind. Auf geht's!

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Die Wahrscheinlichkeitstheorie und warum wir sie brauchen

Wahrscheinlichkeiten helfen uns nicht nur in der Schule beim Abi oder in der Uni, um die nächste Klausur zu bestehen. Sie sind auch der Schlüssel, wenn es um Spiele geht, wenn Ihr Lotto spielen wollt oder wenn Ihr Euch Eure Chancen in einem Bewerbungsprozess mit vielen Konkurrenten ausmalt.

Wer bei Karten- und Würfelspiel gut abschneiden möchte, sollte sich auch mit Wahrscheinlichkeiten auskennen.
Beim Spielen ist es ganz wichtig, auch mal an Wahrscheinlichkeiten zu denken, um die Runde zu gewinnen. | Quelle: Unsplash

Wahrscheinlichkeitstheorie ist nur ein Begriff für die Wahrscheinlichkeitsberechnung oder auch Probabilistik genanntInsgesamt geht es immer darum, wie wahrscheinlich ein Ergebnis in einer bestimmten Situation ist. Die Situation wird dabei Zufallsexperiment genannt, denn der Ausgang der Situation ist unvorhersehbar und abhängig vom Zufall.

Das klingt etwas verwirrend? Dann stell Dir den Münzwurf vor. Hierbei gibt es zwei mögliche Ausgänge: Du wirfst entweder Kopf oder Zahl. Beide Möglichkeiten sind gleich wahrscheinlich und es gibt nur einen Versuch. Dies heißt dann einstufiges Zufallsexperiment.

Stell Dir vor, Du wirfst eine Münze zwei Mal hintereinander - dies wäre dann ein Zufallsexperiment mit zwei Stufen. Wenn ein Zufallsexperiment mehrfach durchgeführt wird,  nennt man auch es ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Das hat oft zum Ziel, die Genauigkeit des Versuchs zu erhöhen.

Die Details hinter diesen Grundlagen erklären wir Euch im nächsten Kapitel. Aber vorher noch eine wichtige Information: Das Gebiet der Wahrscheinlichkeiten gehört zur Stochastik. Zur Stochastik gehört neben der Wahrscheinlichkeitstheorie auch noch die mathematische Statistik. Diese umfasst die deskriptive Statistik, die explorative Statistik und die induktive Statistik. All dies sind weitere spannende Themen im weiten Feld der Statistik.

Mehr über die Konzepte der deskriptiven Statistik erfährst Du übrigens in unserem Artikel zum Thema.

Wahrscheinlichkeiten - das sind die wichtigsten Gedanken dahinter

In der Welt der Wahrscheinlichkeiten gibt es ein paar Fachbegriffe, dir wir unbedingt klären müssen. Dann weißt Du, worum es geht und die Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit kommen Dir dann auch nicht mehr so kompliziert vor.

Laplace Experiment

Gerade haben wir Dir vom Versuch mit dem Münzwurf erzählt - da machen wir einfach weiter. Bei einem Zufallsexperiment wie beim Münzwurf gibt es zwei mögliche Ausgänge und beide sind gleich wahrscheinlich: Kopf oder Zahl. Dieses Zufallsexperiment nennt man Laplace Experiment, da alle elementaren Ergebnisse des Zufallsexperiment dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Diese Wahrscheinlichkeit nennt man dann Laplace Wahrscheinlichkeit.

Ergebnisse und Ereignisse

Jetzt haben wir schon vorweg gegriffen und Dir vom Ergebnis erzählt. Du musst wissen, in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es ganz wichtig, zwischen Ergebnis und Ereignis zu unterscheiden.

Das Ergebnis beschreibt den Ausgang Deines Versuchs - hier Kopf oder Zahl. Man würde also schreiben: Ergebnismenge = {Kopf, Zahl}.

Das Ereignis ist eine Ausgangsmöglichkeit des Versuchs, also zum Beispiel E = {Kopf}. Das würde heißen, das Ereignis, dass beim Münzwurf Kopf heraus kommt.

Der Münzwurf ist die Basis der Stochastik.
Beim Münzwurf gibt es genau zwei mögliche Ausgänge - damit ist der Münzwurf ein gutes Beispiel für eine Laplace Wahrscheinlichkeit. | Quelle: Unsplash

Leichter wird das alles, wenn wir an das Würfelspiel denken. Hier gibt es 6 verschiedene Ergebnisse, denn der Würfel hat 6 Seiten. Ein Ereignis (ein bestimmtes Szenario) wäre zum Beispiel, dass eine 1 gewürfelt wird, E = {1}. Oder, dass eine Zahl höher als 4 gewürfelt wird, E = {5, 6}.

Ereignisbaum

In diesem Zusammenhang wollen wir Euch noch einen Tipp auf den Weg geben, den Ihr bestimmt schon aus dem Matheunterricht kennt. Um vor allem bei komplexeren Zufallsexperimenten den Überblick zu behalten, hilft ein Ergebnisbaum. Der sieht so ähnlich wie ein Stammbaum aus. Allerdings werden hier sowohl die möglichen Ergebnisse, als auch ihre Eintrittswahrscheinlichkeit dargestellt.

Bernoulli-Verteilung

Wusstest Du übrigens, dass das wohl simpelste Baumdiagramm einer Bernoulli Verteilung folgt? Dabei gibt es nur zwei mögliche Versuchsausgänge. Solch ein Versuch wäre der Münzwurf - hierbei ist ein Ausgang Zahl und der andere Kopf. Aber auch das Bestehen einer Klausur folgt einer Bernoulli-Verteilung - Bestehen oder nicht Bestehen. Oftmals wird im Zusammenhang mit Bernoulli-Verteilungen auch über Erfolg und Misserfolg gesprochen. Da hilft Dir die Gedankenstütze mit der Klausur vielleicht!

Abhängigkeit von Versuchen

Nun ist weder bei der Klausur noch beim Münzwurf noch beim Würfeln der eine Versuch abhängig vom anderen. Das heißt, Du kannst eine Klausur bestehen und unabhängig davon die nächste versieben. Oder richtig gut würfeln und unabhängig davon beim nächsten Mal Pech haben. Oder aber beim Münzwurf Kopf werfen und unabhängig davon beim nächsten Mal Zahl.

Es gibt aber auch Zufallsexperimente, bei denen das Ergebnis des zweiten Durchgangs abhängig vom Ergebnis des ersten ist. Dafür wird oft das Beispiel der Urne mit farbigen Kugeln verwendet. Du ziehst blind eine Kugel und legst sie danach nicht wieder in die Urne. Demnach verändert sich die Anzahl der übrig bleibenden Kugeln und somit verändert sich auch die Wahrscheinlichkeit, nach der Du beim nächsten Ziehen zum Beispiel eine blaue oder eine rote Kugel ziehst. Dieses Phänomen nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit. Hier kann Dir der Satz von Bayes helfen, der auf Matheguru noch detaillierter erklärt wird.

Lotto Spielen ist Wahrscheinlichkeit - wir erklären, worauf es ankommt.
Wer Lottospielen besser versehen möchte, der sollte auch die Regeln der Wahrscheinlichkeit beherrschen. | Quelle: Unsplash

Ganz oft wirst Du im Unterricht Aufgaben sehen, bei denen Du Kugeln aus einer Urne ziehst. Diese Aufgaben unterscheiden sich oft nur geringfügig, deshalb empfehlen wir Dir, das Schema für Ziehen mit Zurücklegen und für Ziehen ohne Zurücklegen gründlich zu üben. Sicher ist nämlich: In der Klassenarbeit oder Klausur zu Wahrscheinlichkeiten kommt eine solche Aufgabe sicher dran!

Binomialkoeffizient

Etwas komplizierter wird es dann, wenn der Binomialkoeffizient ins Spiel kommt. Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele Arten Du eine Anzahl von Objekten aus einer ganzen Menge verschiedener Objekte auswählen kannst. Man sagt auch n über k zum Binomialkoeffizient, aber mehr dazu jetzt.

Wenn Du Lotto spielst, möchtest Du zum Beispiel wissen, auf wie viele Arten Du 6 Richtige von insgesamt 49 auswählen kannst. Nichts anderes ist der Binomialkoeffizient. Du rechnest dabei die Fakultät von n geteilt durch die Fakultät von k und das Ganze multipliziert mit der Fakultät von n-k. Glücklicherweise musst Du die Fakultäten nicht von Hand rechnen, sondern kannst ganz bequem Deinen Taschenrechner verwenden. Dort gibt es die nCr Funktion, die Dir diese Dinge automatisch berechnet. Dieser Aufgabentyp ist übrigens nichts für Klassenarbeiten, bei denen Du von Hand rechnen musst.

Wenn Du mehr über Statistik erfahren möchtest, empfehlen wir Dir unseren Artikel über die Statistik Grundlagen.

Bücher und Lerntipps, damit es mit den Wahrscheinlichkeiten klappt

Wir wissen - Wahrscheinlichkeiten können einen in den Wahnsinn treiben. Gleichzeitig ist das Gefühl aber total schön, wenn Ihr es geschafft und begriffen habt!

Deshalb wollen wir Euch Bücher vorstellen, mit denen es mit den Wahrscheinlichkeiten sicher klappt. Außerdem geben wir Euch ein paar Tipps und Tricks, damit Ihr mit dem Lernen für Wahrscheinlichkeiten schneller voran kommt.

Mit dem richtigen Buch für Wahrscheinlichkeiten kannst Du im Abitur eigentlich nur durchstarten! | Quelle: Unsplash

Ein empfehlenswertes Buch ist natürlich Euer Mathebuch - auch wenn Ihr das vielleicht nicht mehr sehen könnt. Tatsächlich bietet Euer Mathebuch aber genau den Inhalt, der auch in der nächsten Klassenarbeit von Euch verlangt wird und ist deshalb eins der cleversten Bücher, denen Ihr etwas Aufmerksamkeit schenken sollet.

Darüber hinaus gibt es tolle Lehr- und Übungsbücher. Beispielsweise das von Rüdiger Stegen: Wahrscheinlichkeit - Mathematische Theorie und praktische Bedeutung. Hier lernst Du von der Bedeutung der Wahrscheinlichkeit über das Urnenmodell bis hin zu einzelnen Anwendungen alles über Wahrscheinlichkeiten kennen!

Das Buch von Achim Klenke "Wahrscheinlichkeitstheorie" ist ein wenig umfänglicher gestaltet. Von den Grundlagen über die Unabhängigkeit bis hin zum Integral und weiteren Konzepten der Wahrscheinlichkeitstheorie kommen hier besonders Interessierte ganz auf Ihre Kosten. Wir können beide Bücher empfehlen.

Wenn Ihr noch weitere Tipps sucht, empfehlen wir Euch außerdem, mit Eltern, Freunden oder Geschwistern Wahrscheinlichkeiten zu üben. Das geht beim Spielen, aber auch, indem Ihr Euch von Deinem Mathebuch inspirieren lasst. Wenn dein Umfeld dafür nicht zu haben ist, ist auch ein Privatlehrer oder ein Nachhilfelehrer eine gute Chance, um in der Schule wieder durchzustarten. Auch kann ein Nachhilfe- oder Privatlehrer genau an den Stellen mit Dir üben, wo Du Schwierigkeiten hast. Schau Dich doch mal hier auf Superprof um, um Deinen nächsten Lehrer oder Deine nächste Lehrerin zu finden!

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Eva

Halb in Berlin, halb in Paris lebe ich meine Leidenschaften für guten Wein und schöne Fahrräder aus. Ich bin immer für spannende Aktivitäten zu haben und ständig auf der Suche nach interessanten Themen, die ich in meinen Artikeln mit Euch teile!