Die Geschichte der Mathematik ist geprägt von den Errungenschaften großer Mathematiker, wie etwa denen von Euklid von Alexandria. Schon in der Antike legte er den Grundstein für das, was wir heute als klassische Geometrie kennen.
Seine berühmten Elemente prägten den Mathematikunterricht über Jahrhunderte hinweg und beeinflussen bis heute das logische Denken in der Wissenschaft. In diesem Artikel werfen wir einen Blick auf das Leben Euklids, seine wichtigsten Werke und seinen bleibenden Einfluss auf die Mathematik.
Wer war Euklid von Alexandria?
Euklid von Alexandria war ein griechischer Mathematiker, der vermutlich um 300 v. Chr. in der ägyptischen Stadt Alexandria lebte und wirkte. Obwohl über sein Leben nur wenige gesicherte Informationen vorliegen, gilt er als einer der bedeutendsten Wissenschaftler der Antike, insbesondere auf dem Gebiet der Mathematik.
Während der Regierungszeit von König Ptolemaios I. lehrte Euklid vermutlich am Museion, dem intellektuellen Zentrum Alexandrias. Dort schuf er zwar keine eigene Schule, hatte allerdings Schüler und Helfer, denen er sein Wissen und seine Kenntnisse vermittelte und die ihm bei seinen Experimenten halfen.
Der Mathematiker Thales von Milet hatte eine eigene Schule.
So beeinflusste er mit seinen Ideen Generationen von Mathematikern und Philosophen. Euklid ging es dabei allein um die Schulung des Geistes.
Euklids Erkenntnisse basierten zwar auf dem Wissen, das die großen Mathematiker der Antike bereits erworben hatten, aber er entwickelte dieses Wissen weiter und theoretisierte es. Seine Entdeckungen inspirierten die Wissenschaft noch lange nach seinem Tod ca. 265 v. Chr. in Alexandria.
Euklids Hauptwerk: Die Elemente
Sein wohl bekanntestes Werk ist die 13-bändige Schrift Elemente, das um 300 v. Chr. geschrieben wurde und zu den einflussreichsten Büchern der Wissenschaftsgeschichte gehört. Es fasst systematisch das Wissen der damaligen Mathematik zusammen, von Geometrie über Arithmetik bis hin zur Zahlentheorie. Es wurde zum grundlegenden Lehrbuch der Mathematik.1
Euklid demonstriert Theoreme (einschließlich des Satzes von Pythagoras) und führt Begriffe wie "größter gemeinsamer Teiler" und andere Definitionen ein.
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Bedeutung des logischen Systems
Was Euklid besonders auszeichnet, ist sein streng logischer Aufbau nach einem klaren System: Aus wenigen Axiomen leitete er durch klar strukturierte Beweise zahlreiche mathematische Sätze ab – ein Vorgehen, das bis heute als Vorbild für wissenschaftliches Arbeiten gilt.
Ein Axiom ist ein Grundsatz oder eine grundlegende Annahme, die nicht bewiesen, sondern als offensichtlich wahr vorausgesetzt wird. In der Mathematik dienen Axiome als Ausgangspunkt für logische Beweise und den Aufbau eines ganzen Systems. Axiome sind also logische und elementare mathematische Regeln.
Das Werk widmet sich verschiedenen Bereichen der Mathematik, neben klassischen Definitionen:
Geometrische Algebra
Kreislehre
Vielecke
Irrationale Größen
Proportionen
Teilbarkeit
Primzahlen
Arithmetik
Zahlentheorie
Quadrat- und Kubikzahlen
Geometrische Reihen
Gerade und ungerade Zahlen
Raumgeometrie
Reguläre Polymere
Das Werk Elemente war über 2000 Jahre lang ein Standardwerk in Mathematikunterricht und Wissenschaft und ist auch heute noch DIE Referenz für mathematische Wissen.2
Ähnlich beeindruckend waren die mathematischen Entdeckungen von Pythagoras.
Euklids Einfluss auf die Mathematik
Mit seinem Werk hat Euklid weit mehr getan, als nur mathematisches Wissen seiner Zeit zusammenzufassen – er setzte einen Maßstab, wie Mathematik bis heute gedacht, gelehrt und betrieben wird.
Sein axiomatisches Vorgehen, bei dem wenige grundlegende Annahmen logisch zu einem vollständigen System ausgebaut werden, wurde zum Vorbild nicht nur für Mathematiker, sondern auch für Philosophen, Naturwissenschaftler und Logiker.
Kaum ein anderes Werk wurde so oft kopiert, übersetzt und gedruckt. Der Einfluss reichte weit über die Mathematik hinaus. Viele bekannte Denker bewunderten die Klarheit und Strenge von Euklids Denkweise:
Isaac Newton
Galileo Galilei
Immanuel Kant
Euklids Definitionen, Axiome und Beweismethoden legten den Grundstein für die Geometrie, wie sie heute noch an Schulen und Universitäten gelehrt wird. Auch moderne Zweige der Mathematik, etwa die Logik oder die formale Beweistheorie, greifen auf euklidische Prinzipien zurück.
Mathematische Entdeckungen von Euklid
Euklid war kein Entdecker im modernen Sinne, der völlig neue Theorien aus dem Nichts erschuf – vielmehr war er ein meisterhafter Systematiker, der das vorhandene mathematische Wissen seiner Zeit sammelte, ordnete und mit großer Klarheit präsentierte.
Ähnlich prägend war der mathematische Beitrag von Archimedes.
Schauen wir uns einige bedeutende mathematische Erkenntnisse von Euklid an.
Der Satz des Euklid
Der sogenannte Satz des Euklid ist ein grundlegendes Prinzip der Zahlentheorie und bezieht sich auf das Teilbarkeitsverhalten von Primzahlen. In moderner Formulierung lautet er:
Wenn eine Primzahl ein Produkt zweier Zahlen teilt, dann teilt sie mindestens einen der Faktoren.
Das bedeutet konkret: Wenn eine Primzahl p das Produkt a × b teilt, dann muss sie entweder a oder b (oder beide) teilen.
Schauen wir uns das an einem Beispiel an:
- Die Primzahl 5 teilt das Produkt 5 × 12 = 60.
- Sie teilt 5, aber nicht 12.
Teilt eine Primzahl das Produkt zweier Zahlen, obwohl sie nicht beide Faktoren direkt teilt, ist also garantiert, dass sie mindestens in einem dieser Faktoren enthalten ist.
Dieser Satz ist zentral für die Definition des Primzahlenbegriffs in moderner Algebra und spielt eine wesentliche Rolle beim Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik. Ohne den Satz des Euklid würde die gesamte Theorie der Primzahlen, wie wir sie heute kennen – und viele darauf aufbauende mathematische Strukturen – instabil werden.
Auch die Lehren von René Descartes spielen noch heute eine Rolle.
Der größte gemeinsame Teiler
Ein weiteres wichtige Erkenntnis von Euklid war, dass er als erster einen effizienten Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen beschrieb. Dieser „Euklidische Algorithmus“ ist ein frühes Beispiel algorithmischen Denkens und findet bis heute Anwendung in der Informatik.
Dabei wird folgendermaßen vorgegangen:
- Man teilt die größere durch die kleinere Zahl.
- Geht die Division auf, ist der Divisor der ggT.
- Geht die Division nicht auf, bleibt ein Rest. Dieser Rest ist der neue Divisor. Der alte Divisor wird zum Dividenden. Nun setzt man das Verfahren fort.
- Nach endlich vielen Schritten erhält man den größten gemeinsamen Teiler.
Zum besseren Verständnis hier ein Beispiel: Bei einem Dividend von 25 und einem Divisor von 4 ist der Quotient 6, weil 6 x 4 = 24. Es bleibt 1 als Rest.
Es geht darum, herauszufinden, wie oft der Divisor (die Zahl 4) multipliziert werden muss, um den Dividend (die Zahl 25) zu erreichen. Um die Teilung zu beenden, musst Du sicher sein, dass der Rest nicht mehr geteilt werden kann, also kleiner als der Divisor ist.
Es kann vorkommen, dass der Rest Null ist. Wir sagen dann, dass A ein Vielfaches von B ist.
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Euklidische Geometrie
Was wir heute als „klassische Geometrie“ kennen – also die Lehre von Punkten, Linien, Winkeln und Flächen – ist im Wesentlichen euklidische Geometrie. Sie basiert auf fünf Grundpostulaten, von denen insbesondere das fünfte, das sogenannte Parallelenpostulat, später intensiv diskutiert und weiterentwickelt wurde.
Hier siehst Du die fünf Postulate auf einen Blick:
1. Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu ei- nem anderen Punkt ziehen.
2. Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern.
3. Um jeden Punkt kann man einen Kreis beliebigen Radiuses schlagen.
4. Alle rechten Winkel sind einander gleich.
Das fünfte Postulat - das sogenannte Parallelenaxiom - wurde im 19. Jahrhundert intensiv diskutiert und führte zur Entstehung der nichteuklidischen Geometrie, ein Meilenstein, der zur modernen Mathematik beitrug und später sogar die Relativitätstheorie beeinflusste.3
Es lautet:
Wenn eine Strecke zwei andere Strecken derart schneidet, so dass die beiden inneren Schnittwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich die beiden Strecken, wenn sie weit genug verlängert werden, auf der Seite, auf der die Schnittwinkel zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind
Euklid
Der Wissenschaftler Isaac Newton revolutionierte ebenfalls die Mathematik.
Anders gesagt: Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Euklid prägte mit seinem Werk die Mathematik, die Naturwissenschaften und sogar die Philosophie maßgeblich mit.
Quellen
- Focus. Der Meister der Dreiecke und Kreise. 2016. https://www.focus.de/wissen/mensch/naturwissenschaften/wichtige_wissenschaftler/serie-wichtige-wissenschaftler-euklid-der-meister-der-dreiecke-und-kreise_id_4866568.html
- Geyer. Euklid Die Elemente - eine Übersicht. 2001. https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/ez/material/geyer.pdf
- Uni Wuppertal. Das Parallelenproblem. https://www2.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/lectures/geo/ge_k3.pdf
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