Definition des Kegels

 

Er ist der Rotationskörper, den man erhält, wenn man ein rechtwinkliges Dreieck um einen seiner Schenkel dreht.

 

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Merkmale eines Kegels:

Was ist ein Kegel?

Zusammensetzung des Kegels

Wie ist ein Kegel zusammengesetzt?

Zusammensetzung des Kegelstumpfes

Kegelstumpf

Achse

Sie ist der feste Schenkel, um den sich das Dreieck dreht.

 

Kreisfläche

Sie ist der Kreis, der durch den anderen Schenkel gebildet wird.

 

Mantellinie 

Die Mantellinie s ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.

 

Mantellinie s eines Kegels

Durch den Satz des Pythagoras ist die Mantellinie s des Kegels gleich:

{g^2 = h^2 + r^2}

{g = \sqrt{h^2 + r^2}}

 

Höhe

Sie ist der Abstand vom Scheitelpunkt zur Kreisfläche.

 

Fläche und Volumen des Kegels

 

Flächeninhalt unf Volumen eines Kegels berechnen

{g^2 = r^2 + h^2}

Mantelfläche eines Kegels

{A_L=\pi\cdot r\cdot g}

 

Fläche eines Kegels

{A_T=\pi \cdot r\cdot (g+r)}

 

Volumen eines Kegels

{V=\dfrac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}}

 

Stumpf eines Kegels

 

Er ist der geometrische Körper, der sich ergibt, wenn man einen Kegel durch eine Ebene parallel zur Kreisfläche schneidet und den Teil abtrennt, der die Spitze enthält.

 

Aufbau Kegelstumpf

 

Der durch den Schnitt bestimmte Teil ist die Nebenbasis.

 

Fläche und Volumen des Kegelstumpfes

 

Volumen und Flächeninhalt vom Kegelstumpf berechnen

{A_L=\pi \cdot(R +r)\cdot g}

{A_T= \pi[g(R +r) + R^2 + r^2]}

{V = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot h(R^2 + r^2 + R\cdot r)}

Übungsaufgaben

1

Für eine Party hat Luis 10 kegelförmige Hüte aus Pappe gebastelt. Wie viel Pappe hat er verbraucht, wenn die Abmessungen der Hüte 15 cm Radius und 25 cm Mantellinie betragen?

Aufgaben zum Kegel

Berechne ganz einfach die Mantelfläche, um zu wissen, wie viel Karton verbraucht wurde.

{A_L = \pi \cdot 15 \cdot 25 = 1178.097 cm^2}

Multipliziere es dann mit 10, da 10 Hüte gebastelt wurden.

{1178097\cdot 10 = 11780.97 cm^2}


2

Berechne die Seitenfläche, die Gesamtfläche und das Volumen eines Kegels , dessen Mantellinie 13 cm misst und der Radius der Grundfläche 5 cm beträgt.

Fläche vom Kegel berechnen: Aufgabe mit Lösung

Beginne mit der Berechnung der Seitenfläche,

{A_l = \pi \cdot 13 \cdot 5 = 204.20 cm^2}

Berechne nun die Gesamtfläche,

{A_T = \pi\cdot 13 \cdot 5 + \pi\cdot 5^2 = 282.74 cm^2}

Finde mit der Formel der Mantellinie die Höhe des Kegels

{13^2 = h^2 + 5^2}

{h = \sqrt{13^2 -5^2} = 12 cm}

Berechne anschließend das Volumen des Kegels

{V = \dfrac{\pi \cdot 5^2 \cdot 12}{3} = 314.159 cm^3}


3

Berechne die Seitenfläche, die Gesamtfläche und das Volumen eines Kegels , dessen Höhe 4 cm und der Radius der Grundfläche 3 cm beträgt.

Volumen vom Kegel berechnen: Aufgabe mit Lösung

Beginne mit der Ermittlung des Wertes der Mittellinie

{g^2 = 4^2 +3^2}

{g = \sqrt{4^2 +3^2} = 5 cm}

Berechne die Seitenfläche,

{A_L = \pi\cdot 3 \cdot 5 = 47.12 cm^2}

Berechne nun die Gesamtfläche,

{A_T = \pi \cdot 3\cdot 5 + \pi\cdot 3^2 = 75.39 cm^2}

Berechne anschließend das Volumen des Kegels.

{V = \dfrac{\pi \cdot 3^2 \cdot 4}{3} = 37.70 cm^3}

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Anna