Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper, der durch ein Rechteck entsteht, das sich um eine seiner Seiten dreht.

Was ist ein Zylinder?

 

Merkmale eines Zylinders

Ein rechtwinkliger Zylinder setzt sich aus verschiedenen Teilen zusammen, wie folgt

 

Aufbau eines Zylinders: Deckfläche, Mantellinie, Höhe, Grundfläche, Achse

 

Zylinderböden: Deckfläche & Grundfläche

Dies sind die Kreise, die den unteren und oberen Rand des Zylinders bilden. Die Deckfläche und die Grundfläche sind gleich und parallel.

 

Zylinderachse

Sie ist die Achse, die durch die Mittelpunkte der Grundflächen des Zylinders verläuft; sie steht senkrecht zu diesen Grundflächen. Beachte, dass die Achse die Seite des Rechtecks enthält, die sich um sich selbst dreht.

 

Höhe

Sie ist die Länge des Segments, dessen Enden die Mittelpunkte der beiden Basen sind. Sie ist gleich der Seite des Rechtecks, die sich um sich selbst dreht.

 

Mantellinie

Sie ist die der Höhe gegenüberliegende Seite und ist die Seite, die den Zylinder erzeugt. Beachte, dass {h = g}

 

Mantelfläche des Zylinders

Sie ist gleich der Fläche des Zylinders ohne Berücksichtigung der Fläche seiner Kreisflächen

{A_L = 2\pi r h}

 

Flächeninhalt des Zylinders

Sie ist gleich der Gesamtoberfläche des Zylinders unter Berücksichtigung seiner Kreisflächen

{A_T = 2\pi r(h + r)}

 

Volumen des Zylinders

{V = \pi r^2 h}

 

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Übungsaufgaben

1Berechne die Menge an Blech, die benötigt wird, um {10} zylindrische Dosen {10 \ cm} im Durchmesser und {20 \ cm} Höhe herzustellen.

1Die Menge des benötigten Blechs entspricht der Gesamtfläche des Zylinders

Aufgaben zum Zylinder

 

{\begin{array}{rcl} A_T & = & 2\pi (5)(20 + 5) \\\\ & = & 785.4 \ cm^2 \end{array}}

 

2Die Gesamtmenge an Blech, die zur Herstellung von {10} Dosen benötigt wird, beträgt

 

{\begin{array}{rcl} 10(785.4) & = & 7,854 \ cm^2 \end{array}}

 

2Die Höhe des Zylinders ist gleich lang wie der Umfang der Basis. Wenn die Höhe {125,66 cm} beträgt. Berechne die Gesamtfläche und das Volumen.

1Nutze zunächst die Tatsache, dass die Höhe gleich der Länge des Umfangs der Basis ist, um den Wert des Radius zu finden

{\begin{array}{rcl} 2 \pi r & = & 125.66 \\\\ r & = & \displaystyle \frac{125.66}{2 \pi} \\\\ r & = & 20 \ cm \end{array}}

 

2Berechne die Gesamtfläche

 

{\begin{array}{rcl} A_T & = & 2\pi (20)(125.66 + 20) \\\\ & = & 18,304.2 \ cm^2 \end{array}}

 

3Berechne das Volumen

 

{\begin{array}{rcl} V & = & \pi (20)^2(125.66) \\\\ & = & 157,909.4 \ cm^3 \end{array}}

 

3In einen Messzylinder mit {6 \ cm} Radius werden vier Eiswürfel mit {4 \ cm} Rand gefüllt. Wie hoch wird das Wasser steigen, wenn sie schmelzen?

1Berechne das Volumen {V_H} eines Eiswürfels

{\begin{array}{rcl} V_H & = & 4^3 \\\\ & = & 64 \ cm^3 \end{array}}

 

Das von den vier Eiswürfeln eingenommene Volumen ist {4(64) = 256 cm^3}

 

2Setze um die Höhe des Messzylinders zu ermitteln das Volumen des Zylinders {V_c} mit dem Wasservolumen in den vier Würfeln gleich

 

{\begin{array}{rcl} V_c & = & 256 \\\\ \pi (6)^2 h & = & 256 \\\\ h & = & \displaystyle \frac{256}{36 \pi} \\\\ h & = & 2.26 \ cm \end{array}}

 

4Ein zylindrischer Behälter mit 10 cm Radius und 5 cm Höhe ist mit Wasser gefüllt. Wenn die Masse des vollen Behälters 2 kg beträgt, wie groß ist dann die Masse des leeren Behälters?

1Berechne das Volumen des Behälters

{\begin{array}{rcl} V & = & \pi (10)^2 (5) \\\\ & = & 1,570.8 \ cm^3 \end{array}}

 

2Es ist bekannt, dass ein {kg} gleich einem {dm^3} ist, rechne daher das Volumen in {dm^3} um

 

{\begin{array}{rcl} 1,570.8 \ cm^3 & = & 1,570.8 \left( \displaystyle \frac{dm}{10} \right)^3 \\\\ & = & 1.57 \ dm^3 \\\\ & = & 1.57 \ kg \end{array}}

 

3Die Masse des leeren Behälters ist also {(2 - 1.57) \ kg = 0.43 \ kg}

 

5Wenn der Radius der Grundfläche eines Zylinders halbiert wird, ist dann sein Volumen gleich der Hälfte des ursprünglichen Volumens?

1Berechne das Volumen des Zylinders mit Radius {r} und Höhe {h}

{\begin{array}{rcl} V_r & = & \pi r^2 h \end{array}}

 

2Berechne das Volumen für den Zylinder mit halbiertem Radius

 

{\begin{array}{rcl} V_{r/2} & = & \displaystyle \pi \left( \frac{r}{2} \right)^2 h \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} \pi r^2 h \end{array}}

 

3Das Volumen des Zylinders mit dem halbierten Radius ist gleich einem Viertel des Volumens des ursprünglichen Zylinders, nicht der Hälfte davon.

 

6Du willst eine zylindrische Dose bauen, deren Radius ein Viertel ihrer Höhe beträgt. Drücke das Volumen und die Gesamtfläche der Dose in Abhängigkeit vom Radius der Dose aus.

1Berechne das Volumen des Zylinders mit Radius {r} und Höhe {h}

{\begin{array}{rcl} V_r & = & \pi r^2 h \end{array}}

 

2Verwende die Tatsache, dass der Radius gleich einem Viertel der Höhe ist, um die Höhe in Bezug auf den Radius auszudrücken

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{4}h & = & \displaystyle r \\\\ h & = & \displaystyle 4r \end{array}}

 

3Setze den Wert {h} in die Volumenformel ein, um ihn in Bezug auf {r} auszudrücken

 

{\begin{array}{rcl} V & = & \pi r^2 \left( \displaystyle 4r \right) \\\\ V & = & 4 \pi r^3 \end{array}}

 

4Setze den Wert {h} in die Formel für die Gesamtfläche ein, um sie in Form von {r} auszudrücken

 

{\begin{array}{rcl} A_T & = & 2\pi r \left( \displaystyle h + r \right) \\\\ & = & 2 \pi r (4r + r) \\\\ & = & 10 \pi r^2 \end{array}}

 

7Die Höhe eines Zylinders nimmt um {k} Einheiten zu. Wie groß ist die Zunahme seines Volumens?

1Berechne das Volumen {V} des Zylinders mit Radius {r} und Höhe {h}

{\begin{array}{rcl} V & = & \pi r^2 h \end{array}}

 

2Berechne das Volumen {V_k} des Zylinders mit der Zunahme von {k} Einheiten in seiner Höhe

 

{\begin{array}{rcl} V_k & = & \pi r^2 (h + k) \\\\ & = & \pi r^2 h + k \pi r^2 \\\\ & = & V + k \pi r^2 \end{array}}

 

Das Volumen vergrößert sich um das {k-}-fache der Fläche seiner Grundfläche

 

8Wie groß ist das Volumen eines Zylinders der Höhe {2 \ m}, der in eine Kugel mit Radius {2 \ m} eingeschrieben ist?

1Berechne den Radius {r} des Zylinders, der in die Kugel mit dem Radius {2 \ m} eingeschrieben ist, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras

{\begin{array}{rcl} r & = & \sqrt{2^2 - 1^2} \\\\ & = & \sqrt{3} \end{array}}

 

Radius eines Zylinders mit dem Satz des Pythagoras berechnen

 

2Berechne das Volumen {V} des Zylinders

 

{\begin{array}{rcl} V & = & \pi (\sqrt{3})^2 (2) \\\\ & = & 18.85 \ m^3 \end{array}}

 

9Ein Betonzylinder mit dem Durchmesser {30 cm}, der Dicke {5 cm} und der Höhe {90 cm} wird konstruiert. Wie groß ist das Volumen des Betons, der zum Bau des Zylinders verwendet wurde?

1Berechne das Volumen {V_e} des äußeren Zylinders mit Durchmesser {30 \ cm} und Höhe {90 \ cm}

{\begin{array}{rcl} V_e & = & \pi (15)^2 (90) \\\\ & = & 63,617.4 \ cm^3 \end{array}}

 

2Berechne das Volumen {V_i} des inneren Zylinders mit Durchmesser {20 \ cm} und Höhe {90 \ cm}

 

{\begin{array}{rcl} V_i & = & \pi (10)^2 (90) \\\\ & = & 28,274.4 \ cm^3 \end{array}}

 

3Die Menge {V} des verwendeten Betons beträgt

 

{\begin{array}{rcl} V & = & V_e - V_i \\\\ & = & 63,617.4 \ cm^3 - 28,274.4 \ cm^3 \\\\ & = & 35,343 \ cm^3 \end{array}}.

 

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Anna