Algebra ist eine faszinierende mathematische Disziplin, die oft als Grundlage für viele weitere mathematische Konzepte dient. Auch wenn das Thema bei vielen Schüler*innen Kopfzerbrechen auslöst, ist Algebra ein wesentlicher Bereich der Mathematik.
Eine algebraische Problemstellung zu lösen, bedeutet auch seine Problemlösungskompetenz und seine Fähigkeit, kritisch zu denken, zu verbessern. Beides sind Fähigkeiten, die im Alltag von großem Nutzen sein können. Denn die Algebra kommt nicht nur im Matheunterricht an der Schule, sondern in vielen alltäglichen Bereichen zum Einsatz.
Im Zentrum der Algebra stehen Gleichungen und Zahlen, die es zu lösen gilt. Eine algebraische Gleichung kann verschiedene Variablen umfassen, die man lösen muss. Wie genau das funktioniert, erfährst du in diesem Artikel.
In diesem Artikel möchten wir Dir deshalb erklären, was Algebra eigentlich ist, und Dir ein paar wichtige Grundlagen der Algebra vorstellen.
Wer hat Algebra erfunden?
Algebra ist ein unverzichtbarer Themen-Bereich in der Mathematik und das schon seit vielen Jahrhunderten. Viele erfahrene Mathematiker*innen behaupten sogar, dass keine der fantastischen Errungenschaften moderner Wissenschaft möglich gewesen wären, ohne die Mathematisierung der Wissenschaft und die Entwicklung von Algebra.
Aber wer ist eigentlich das Genie, das die Funktionen, die mit Algebra assoziiert werden, erfunden hat?
Der Begriff Algebra kommt vom arabischen Wort „al-jabr“, das auf Deutsch etwa mit Ergänzung oder Wiederherstellung übersetzt werden kann. Es wurde erstmals in Muhammad ibn Musa al-Chwarizmis Buch aus dem 9. Jahrhundert entdeckt. Er war einer der besten Mathematiker und Astronomen seiner Zeit.
Der Titel seines Buchs lautet auf Deutsch „Das kurz gefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“. Es handelt sich um ein Meisterwerk, das beispielsweise praktische Ansätze zur Lösung von Landaufteilung sowie Vorgaben zur Nachlassregelung und zur gleichmäßigen Verteilung von Löhnen enthält.
Aber was genau sind die grundlegenden Regeln der Algebra.
Algebra bezieht sich also auf die Methode, einen negativen Wert von einer Seite zu entfernen und den positiven Wert der anderen Seite hinzuzufügen.
Obwohl dem Vater des Algebra, Al-Chwarizmi, die früheste algebraische Theorie zugeschrieben wird, waren es erst europäische Mathematiker der Renaissance, die Algebra, wie wir es heute kennen, eingeführt haben.
Was ist Algebra?
Viele Schüler*innen mögen Algebra in erster Linie nicht, weil sie nicht wirklich wissen, was Algebra eigentlich ist und sich dementsprechend auch nicht sicher sind, was sie da eigentlich berechnen. Bevor du dich also mit den Grundsätzen des mathematischen Teilbereiches beschäftigst, solltest du wissen, was genau Algebra ist.
Übrigens haben die Pioniere in diesem Bereich im Verlauf der Jahre stets daran gearbeitet, algebraische Inhalte und Aufgaben zugänglicher zu machen.
Ein grundlegender Bereich der Mathematik, der sich mit der Lehre von mathematischen Gleichungen und den Eigenschaften von Rechenoperationen befasst. Das umfasst Konzepte wie Variablen, Gleichungen, Ungleichungen, Funktionen sowie dazugehörige Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.
Es geht also um die Beziehungen zwischen den Variablen in einer Gleichung.
Die einfachste Definition von Algebra wäre: Algebra ist ein Bereich der Mathematik, in welchem Buchstaben und Symbole verwendet werden, um Zahlen und Größen in Formeln und Gleichung darzustellen. Was genau bedeutet das nun?
Algebra kann als ein Dialekt der mathematischen Sprache verstanden werden. Ebenso wie sprachliche Sätze, die Beziehung zwischen den verschiedene Wörtern beschreiben, gibt in der Algebra die Gleichung das Verhältnis verschiedener Variablen wieder.
Insgesamt lässt sich sagen: Algebra ist nicht nur logisch, sondern auch wesentlich, um höhere Mathematik überhaupt erst verstehen und berechnen zu können. Gleichungen spielen in fast allen Bereichen der Mathematik und Zahlen eine Rolle.
Die verschiedenen Themen Bereiche der Algebra
Im Laufe der Geschichte hat sich der mathematische Bereich der Algebra weiterentwickelt und umfasst mittlerweile einige Teilbereiche, die zwar zum selben Gebiet gehören, teilweise aber ganz unterschiedliche Methoden umfassen. Wir zeigen dir die wichtigsten Teilbereiche der Algebra.
Die elementare Algebra
Die elementare Algebra umfasst die grundlegenden Konzepte und Operationen, die in der mathematischen Algebra verwendet werden. Hier stehen die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen im Fokus.
Hast du schon mal überlegt, Mathe Nachhilfe zu nehmen?
Zu den Grundlagen gehören:
- Variable: Symbole, die Werte repräsentieren, die sich ändern können, wie x oder y.
- Gleichung: mathematische Aussagen, die besagen, dass zwei Ausdrücke gleich sind (2x+3=7) und die Lösung davon
- Ungleichung: mathematische Aussagen, die angeben, dass zwei Ausdrücke nicht gleich sind (x<4)
- Terme: Einzelne mathematische Ausdrücke, die Variablen, Konstanten und Operationen enthalten (3x)
- Polynome: Ausdrücke, die aus der Summe der Terme bestehen, die durch Addition und Subtraktion verbunden sind
- Operationen: Grundlegende mathematische Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, die auf Ausdrücke angewendet werden können.
In der elementaren Algebra werden diese Konzepte zur Lösung von Gleichung und Ungleichung verwendet, um Ausdrücke zu vereinfachen und zur Lösung grundlegender algebraische Probleme.
Die lineare Algebra
In diesem Teilbereich stehen Vektorräume und lineare Abbildungen im Fokus. Aber was genau ist eine lineare Gleichung?
Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, die in Form von Variablen und Koeffizienten ausgedrückt werden kann, bei denen es sich häufig um reelle Zahlen handelt. Außerdem liefert eine lineare Gleichung eine gerade Linie, wenn sie in einem Diagramm dargestellt wird.
Hast Du Lust auf Mathe Nachhilfe Berlin?
Die lineare Algebra behandelt lineare Kombinationen. Lineare Algebra ist das Studium von Linien und Ebenen, Vektorräumen und Abbildungen, die für lineare Transformationen benötigt werden. Die lineare Algebra ist vielen als Datenmathematik bekannt, wobei Matrizen und Vektoren die Sprache der Daten sind.
Das sind die grundlegenden Konzepte der linearen Algebra:
- Vektoren: Vektoren sind Elemente des Vektorraums, die verwendet werden, um Größen wie die Richtung in einem Koordinatensystem darzustellen. Sie können einen Betrag wie Geschwindigkeit oder Kraft haben.
- Matrizen: Es handelt sich um eine rechteckige Anordnung von Zahlen, Symbolen oder Objekten, das in Zeilen und Spalten, also in einer Tabelle. In einer Matrix lassen sich Vektoren und lineare Transformationen darstellen.
- Lineare Transformationen: Damit ist eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen gemeint, in der man Addition und Multiplikation anwenden kann.
- Lineare Gleichungssysteme: Mehrere lineare Gleichungen, die zusammen gelöst werden müssen.
Diese Konzepte sind in fast allen Bereichen der Mathematik und in den meisten naturwissenschaftlichen und technischen Bereichen wichtig. Daher solltest du unbedingt verstehen, was genau die Konzepte bedeuten.
Wie wäre es mit Mathe Nachhilfe online?
Die abstrakte Algebra
Die abstrakte Algebra befasst sich mit abstrakten Strukturen und ihren Eigenschaften. Im Gegensatz zur elementaren Algebra, die sich hauptsächlich mit konkreten Zahlen und Operationen befasst, untersucht die abstrakte Algebra algebraische Strukturen unabhängig von spezifischen Zahlen oder Operationen.
Zu den wichtigsten Themen der abstrakten Algebra gehören:
Gruppen
Ringe
Körper
Eine Gruppe ist eine algebraische Struktur, die aus einer Menge von Elementen und einer Verknüpfungsoperation besteht, die bestimmte Eigenschaften erfüllen muss. Ein Ring meint dagegen eine Menge von Elementen sowie zwei Verknüpfungsoperationen (normalerweise Addition und Multiplikation), die bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen, wie Assoziativität, Kommutativität und Distributivität.
Ein Körper ist eine algebraische Struktur, die einen Ring mit zusätzlichen Eigenschaften kombiniert, wie der Existenz eines multiplikativen Inversen für jedes Element außer Null.
Wie du siehst, handelt es sich bei der abstrakten Algebra um einen komplexen modernen Teil der Mathematik.
Algebra vereinfachen
Die oben beschriebenen Themen zeigen, dass eine algebraische Gleichung äußerst komplex sein kann. Es gibt allerdings einfache Tricks, um Algebra kognitiver und unkomplizierter zu machen. Mit der Zeit gab es einige Anpassungen, um das Bearbeiten von Gleichungen zu ermöglichen.
Für die Lösung der Terme oder um Gleichungen mit Zahlen lösen zu können, gibt es verschiedene algebraische Tipps!
Merke Dir: Um eine algebraische Gleichung auf die „einfachste Weise“ zu lösen, muss sie möglichst kompakt und effizient geschrieben werden und zwar ohne den Wert des Ausdrucks (auch Terme) zu ändern.
Du findest online viele Algebra Übungen, um die Konzepte anzuwenden.
Ähnliche Terme kombinieren
Ein algebraischer Ausdruck oder Terme ist ein Komplex aus Zahlen und Buchstaben. Diese sind durch Rechenoperationen der Arithmetik und durch Klammern verbunden. Beispielsweise:
- 6 - 2 ⋅ (5 +0) ist ein Term
- a2 + 7b ist ein algebraischer Ausdruck
Die grundlegendste Regel um algebraische Terme zu vereinfachen: die Addition ähnlicher Terme. Gleiche oder ähnliche Terme sind Ausdrücke, die dieselben Potenzen oder Variablen enthalten mit dem einzigen Unterschied, dass sich die Koeffizienten ändern.
Um algebraische Terme effektiv zu vereinfachen, könnten sich die folgenden Schritte als sehr hilfreich erweisen:
Gleiche Terme kombinieren
Klammern beseitigen
Minuszeichen wie Subtraktion und Negative
Außerdem ist es wichtig, die Reihenfolge der Operationen in den Grundlagen der Algebra zu berücksichtigen. Achte beim Rechnen immer auf diese Reihenfolge:
- Klammerrechnung
- Potenzrechnung
- Punktrechnung (Multiplikation und Division)
- Strichrechnung (Addition und Subtraktion)
- Von links nach rechts
Faktorisieren bzw. Ausklammern in Algebra
In der Algebra beschreibt das Faktorisieren das Ausklammern gemeinsamer Zahlen und Variablen. Auch damit vereinfacht man komplexe Rechnungen. Für die Lösung von Gleichungen ist es sinnvoll, das Ausklammern zu beherrschen.
Durch das Faktorisieren bzw. Ausklammern kannst du bestimmte mögliche Antworten deutlich schneller ausschließen, Gleichungen schnell lösen und damit einen algebraischen Ausdruck möglichst effektiv lösen.
Beispiel-Aufgaben:
6a + 6b wird zu 6 (a+b)
28x2 - 84x + 63 = 7 ( 2x - 3 )2
Die Aufgabe lässt sich so viel einfacher lösen. Hast du die Lösung für die Variable schon gefunden? Für welche Zahl steht das x?
In der Nachhilfe bei einem qualifizierten Nachhilfelehrer kannst du das Ausklammern üben.
Algebra ist auch für andere mathematische Teilgebiete wie Statistik und Integralrechnung wichtig. Daher ist es sinnvoll, die Grundlagen der Gleichungen und Ungleichungen zu verstehen, damit du auch andere Bereiche der Mathematik meistern kannst.
Dir gefällt unser Artikel? Hinterlasse eine Bewertung!
Loading...
