Algebra: Einführung in das Rechnen mit Variablen

"Mathematik ist der einzige Weg, diese Welt zu verstehen." – Kai Noack

Konstante, Gleichung, Exponent, Ausdruck, Zahl, Faktor, Term, Variable, Formel, Zeichen, Multiplikation, Variablen, Wert, Rechnen mit Buchstaben, Funktion ... Ob Du noch in der Schule bist oder nicht, die oben genannten Namen erinnern Dich bestimmt an eine bekannte akademische Disziplin, die Dich entweder zusammenzucken oder Freudensprünge machen lässt. Von welcher Disziplin sprechen wir?Algebra! Eines der berüchtigtsten Schulfächer auf diesem Planeten. Algebra ist eine vielschichtige Disziplin, die viel zu bieten und zu analysieren hat. In diesem Text wollen wir uns insbesondere die Variablen etwas genauer anschauen. Was ist eine Variable und wie kann ich sie in algebraischen Ausdrücken bzw. Termen verwenden? Bist Du bereit für einen wilden Ritt durch die Welt von Algebra?

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Und los geht's

Was ist eine Variable?

Der Name des Faches „Mathematik“ kommt vom griechischen Wort „máthēma“. Das bedeutet „Wissen, Studieren und Lernen“. Es umfasst Themen wie Quantität, Struktur, Raum und Veränderung. Diese Bereiche haben wiederrum ihre eigenen Unterkategorien. Wir müssen also zahlreiche Begriffe und Definitionen berücksichtigen, wenn wir Matheaufgaben bearbeiten. Algebra zum Beispiel ist ein umfangreiches Themengebiet, das allgemein als die Lehre von mathematischen Zeichen und von den Regeln zur Veränderung dieser Zeichen verstanden werden kann. Kurz gesagt, es geht um Rechnen mit Buchstaben. In der Regel wird das Fach innerhalb der Mathematik angesiedelt, wo es aufgrund der vielen Regeln einen einzigartigen Zweig der Mathematik definiert. Ohne weiter abzuschweifen, wollen wir nun einen der wichtigsten Aspekte in Algebra etwas genauer betrachten: Variablen. Bevor Du irgendwelche algebraischen Gleichungen lösen kannst, wirst Du Dich wohl oder übel zunächst einmal mit den Variablen vertraut machen müssen. Ein gutes Verständnis von Variablen ist außerdem notwendig, um algebraische Ausdrücke/Terme effektiv übersetzen, bearbeiten und berechnen zu können. Aber was ist eine Variable denn nun? Eine grobe Variable Definition wäre: Eine Variable ist ein Buchstabe mit der Funktion, eine Zahl zu ersetzen.

Üblicherweise verwendet man als Variablen die Buchstaben x, y, z, a, b, c, m und n. Du kannst aber auch einen anderen Buchstaben oder Code verwenden, abgesehen von den Buchstaben i und e. In Algebra haben i und e eindeutige Werte und werden deshalb nicht für Variablen verwendet. Auch den Buchstaben o wirst Du in einer Gleichung eher selten sehen, da man ihn leicht mit der Zahl 0 verwechseln kann. Wichtig: Variablen werden verwendet, um verbale Ausdrücke in algebraische Ausdrücke umzuwandeln, also Gleichungen, die aus Buchstaben bestehen, die für Zahlen stehen. Es gibt bestimmte Begriffe, mit welchen alle Wörter einfach in Buchstaben und Zahlen übersetzt werden können. Die Begriffe ändern sich je nachdem, ob es sich um Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division handelt. Die folgenden Begriffe sind variabel und in Abschnitte unterteilt:

• Addition: Summe, größer als, Anstieg.
• Subtraktion: Verlust, kleiner als, Abnahme.
• Multiplikation: mal, Produkt, multipliziert mit.
• Division: Hälfte, geteilt durch, Anteil.

Triffst Du innerhalb eines mathematischen Problems auf diese Worte, sind sie eng mit Variablen verbunden. Übrigens: Um den algebraischen Term berechnen und lösen zu können, musst Du die jeweiligen Werte der Variablen einfügen. Und um beim Bearbeiten der Gleichung keine Fehler zu machen, musst Du außerdem den Rechenweg beachten. Die richtige Reihenfolge beim Rechen ist Folgende:

1. Klammerrechnung
2. Potenzrechnung
3. Punktrechnung (Multiplikation und Division)
4. Strichrechnung (Addition und Subtraktion)
5. Von links nach rechts

Es lässt sich nicht leugnen, dass Algebra nicht so einfach ist. Jetzt weißt Du aber zumindest schon einmal, was eine Variable ist, kennst eine Variable Definition und weißt, dass es bei Algebra um Rechnen mit Buchstaben geht. Lies den Text weiter, um Dir Beispiele von Gleichungen mit Variablen anzusehen. Du bist auf der Suche nach Mathematik Nachhilfe?

Terme multiplizieren: Das solltest Du beachten

Im vorausgehenden Kapitel haben wir bereits gelernt, dass eine Variable nahezu jedes Zeichen sein kein, von Buchstaben bis hin zu irgendeinem anderen Code. Neben den Variablen gibt es dann noch die sogenannten Koeffizienten. Ein Koeffizient ist ein Zahlenwert, der vor einer Variable steht.Koeffizient und Variable zusammen bilden einen Term.

Beim Multiplizieren von Termen gibt es Folgendes zu beachten:

• Der Übersicht halber solltest Du die Terme zunächst einmal ordnen: Setze einfach die Koeffizienten nach vorne, schreibe die Variable dahinter und ordne die Variablen am besten noch alphabetisch.

Beispiel 1: 5•x•2•x wird zu 5•2•x•x Beispiel 2: 5•x•2•y wird zu 5•2•x•y

• Multipliziere jetzt die Koeffizienten.

Beispiel 1: 5•2•x•x wird zu 10•x•x Beispiel 2: 5•2•x•y wird zu 10•x•y

• Zum Schluss werden gleiche Variablen ebenfalls multipliziert, während unterschiedliche Variablen stehen bleiben.

Beispiel 1: 10•x•x wird zu 10•x²bzw. 10x² (das Multiplikationszeichen kann an dieser Stelle einfach weggelassen werden ohne die Funktion zu verlieren) Beispiel 2: 10•x•y bleibt bzw. wird zu 10xy

Beispiele für algebraische Ausdrücke oder Gleichungen mit Variablen

Die besonderen Funktionen, Regeln und Definitionen in Algebra lassen sich sowohl mündlich als auch schriftlich gut erklären. Dennoch ist es im mathematischen Bereich stets sinnvoll, sich konkrete Beispiele anzuschauen. Anhand von Beispielen ist es leichter, die Informationen zu verstehen und selbst anzuwenden. Das gilt besonders für den Typ Schüler*innen, der sowie schon Schwierigkeiten hat, Mathe zu verstehen. Deshalb werden wir uns im Folgenden ein paar Beispiele anschauen. Im ersten Beispiel sehen wir einen algebraischen Term, den wir auf der Seite von Khanacademy.org gefunden haben.

Beispiel 1:

Du arbeitest in einem Restaurant und hast einen Stundenlohn von 10€. Zusätzlich bekommst Du immer noch reichlich Trinkgeld. Dein Stundenlohn ist also eigentlich ein bisschen höher als 10€. Die Gleichung, mit der Du den tatsächlichen Wert Deines Stundenlohns ausrechnen kannst, könnte so aussehen: 10 + t = Stundenlohn Der Buchstabe „t“ ist unsere Variable („t“ wie in Trinkgeld). Für diesen algebraischen Term ist eine Variable notwendig, da die Höhe Deines Trinkgeldes von Stunde zu Stunde anders ausfällt. Die Daten ändern sich also laufend. Beispielsweise könntest Du innerhalb einer Arbeitsstunde 30€ Trinkgeld erhalten. Dann würde „t“ für die Zahl 30 stehen und die Formel würde 10 + 30 lauten. Die Höhe Deines Stundenlohns wäre bei dieser Lösung also bei 40€. In der nächsten Stunde geht Dein Trinkgeld aufgrund der Happy Hour im Restaurant nebenan allerdings drastisch runter, die Kunden zahlen Dir nur 5€ Trinkgeld. Die Formel für Deinen Stundenlohn würde dann also 10 + 5 lauten und die Lösung wäre 15€ Stundenlohn.

Dieses erste Beispiel für Gleichungen mit Variablen ist recht einfach, da die Formel nur eine Variable enthält. Jetzt hast Du aber eine ungefähre Idee davon, wie in der Mathematik Variablen funktionieren. Für die Variable hättest Du natürlich auch einen anderen Buchstaben oder Code verwenden können, es ist aber immer sinnvoll ein Zeichen zu verwenden, das Sinn macht und Dich nicht unnötig verwirrt.

Beispiel 2:

Jeder von uns geht regelmäßig in den Supermarkt, um Lebensmittel einzukaufen. Wusstest Du, dass Du mit einer einfachen algebraischen Formel Deine täglichen Ausgaben berechnen kannst? Du schreibst beispielsweise eine Einkaufsliste und bemerkst dabei, dass Du zwei Dutzend Eier (Kosten 6€), drei Leib Brot (je Brot 3€) und fünf Flaschen Saft (2€ pro Flasche) benötigst. Wie viel Geld solltest Du mit in den Supermarkt nehmen, um alles einkaufen zu können? Dank Algebra kannst Du ganz einfach die Lösung dieses Problems finden. Die Preise sind: a = Preis für zwei Dutzend Eier = 6€b = Preis für ein Brot = 3€c = Preis für eine Flasche Saft = 2€ Der algebraische Term, um den Wert Deines Einkaufs zu berechnen, wäre also Folgender: a + 3b + 5c = Geld, das Du zum Einkaufen benötigst.Wo sind die Variablen? In dieser Gleichung sind a, b und c die Variablen, denn der Preis der Lebensmittel kann steigen oder sinken, ohne dass Du vorher Bescheid weißt. Wenn Du nun die richtigen Werte in die Variablen setzt, kommt folgende Formel raus: 6€ + 3 • (3€) + 5 • (2€) = 6€ + 9€ + 10€ = 25€ Die Lösung: Du musst 25€ mit in den Supermarkt nehmen. Du bist auf der Suche nach Mathe Nachhilfe Online?

Tipps, um in Algebra richtig gut zu werden

Willst Du in Algebra richtig gut werden, wirst Du auf jeden Fall einige Höhen und Tiefen durchmachen müssen. Es wird Zeiten geben, in welchen Du demotiviert und entmutigt sein wirst und am liebsten aufgeben würdest. Auf der anderen Seite wird es aber auch Momente geben, in welchen Du die Informationen und Funktionen komplett verstehst und unbedingt noch mehr lernen willst. Leider gibt es kein perfektes Programm, mit dem Du am besten Algebra lernen kannst, da es eben nicht nur einen Lern-Typ gibt. Jeder*jede Schüler*in ist anders und jeder lernt anders. Du musst Deinen Lern-Typ deshalb selbst herausfinden und Dir Dein ganz eigenes Lern-Programm erstellen.

Dennoch gibt es ein paar hilfreiche Tipps, die Dir dabei helfen können, die algebraischen Regeln, Terme, Funktionen, Formeln usw. rasch zu verstehen. Die folgenden Informationen sollen Dir auf dem Weg zum Algebra-Profi helfen:

• Arbeite an Deinen Rechenfähigkeiten: Algebra ist komplex. Um Gleichungen und Formeln effektiv meistern zu können, solltest Du deshalb grundlegende Rechenfähigkeiten wie Addition und Multiplikation beherrschen. Hast Du schon seit der Grundschule Probleme mit dieser Seite der Mathematik, solltest Du Dich zunächst einmal darauf konzentrieren. Beherrscht Du erstmal das Rechnen, wirst Du auch in Algebra weniger Schwierigkeiten haben.
• Lerne algebraische Formeln auswendig: Triffst Du auf neue Formeln und Gleichungen, ist es wichtig, diese von Grund auf zu lernen, um Dein allgemeines Verständnis der Materie zu verbessern. Wie soll ich mir die Formeln merken? Karteikarten erstellen und immer wieder selbst laut vorlesen.
• Mache Deine Hausaufgaben: Dieser Punkt kann nicht genug betont werden. Klar, nach einem langen Schultag hat niemand mehr Lust auf Hausaufgaben. Aufs Sofa legen und Netflix schauen klingt allemal verlockender. Machst Du Deine Hausaufgaben aber regelmäßig, machst Du Dich mit der Materie vertraut und wirst schon bald besser in Algebra sein.
• Gib einem*einer Klassenkamerad*in Nachhilfe: Hilfst Du anderen Mitschüler*innen bei den Algebra Aufgaben, wirst Du nicht nur selbstbewusster, Du wirst Dein Wissen auch festigen und weiter vertiefen.

Wendest Du diese Tipps an, wirst Du in Algebra schon bald keine Probleme mehr haben und die verschiedenen Terme und Funktionen endlich verstehen. Nutze auch das online Angebot zum Algebra üben! Wir hoffen, der Text hat Dir geholfen! Benötigst Du dabei noch ein wenig Unterstützung, dann hole Dir einfach einen*eine Nachhilfelehrer*in bei Superprof! Die können Dir sogar noch in anderen Fächern wie beispielsweise Deutsch oder Englisch helfen und finden immer jemanden in deiner Nähe z.B. für Mathe Nachhilfe Berlin.