Lasst uns ganz von vorne anfangen: Was ist eine Funktion?

Du weißt es nicht?

Schüler der gymnasialen Oberstufe sollten mit Funktionen vertraut sein. Trotzdem ist das Lösen von mathematischen Problemen für viele Abiturienten immer noch ein Graus. Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge ein Element der anderen Menge zuordnet. Das bedeutet im Klartext: In eine Funktion setzt Du x-Werte ein, um damit y-Werte mit der Gleichung zu berechnen.

Wenn Du in der Schule eine Funktion bzw. Gleichung vorgesetzt bekommst, dann solltest Du diese grafisch darstellen können.

In diesem Artikel stellen wir Dir die allgemeine Methode vor, die auch unsere Nachhilfelehrer von Superprof ihren Schülern in Mathe Nachhilfe beibringen, entweder bei persönlichen Treffen oder auch in Form von Online Nachhilfe Mathe per Video-Unterricht. Unsere Mathelehrer haben gute Tipps zum Lösen mathematischer Probleme für Dich parat.

Nehmen wir das Beispiel der folgenden Funktion f (x), die mathematisch so ausgedrückt wird:
f(x) = x3 + 3x2 -9x +6.

oder als Gleichung: y = x3 + 3x2 -9x +6

Wenn Du für das x eine Zahl in die Gleichung einsetzt, kannst Du y ausrechnen. Es gibt aber noch eine andere Möglichkeit: Die Wertetabelle.

Wie erstellt man eine Wertetabelle?

Um eine Wertetabelle zu erstellen, musst Du die Funktion aus der in der Anweisung angegebenen Gleichung ableiten.

Die Ableitungen von Potenz-, Invers- und Wurzelfunktionen werden mit folgender Formel berechnet:

Wenn f(x) = xn+a, dann f '(x) = nxn-1+a.

Genauer erklärt:

Wenn f (x) = x² + 1 ist, dann ist seine Ableitung f ' (x) = 2x +0, also 2x.
Nehmen wir das Beispiel von f(x) = 10x²+5x +2 : Wir erhalten f ' (x) = 10 · 2x2-1+5, also f ' (x) = 20x +5 : Die Ableitung einer Konstanten ist Null.

Es ist gar nicht so schwer, wenn man es richtig verstanden hat.

Wir berechnen jede Ableitung mit Potenzen auf diese Weise. Wenn also f (x) = x3, dann ist f '(x) = 3x².
Unsere Funktionf (x3 + 3x2 -9x +6) ist eine Polynomfunktion, die sich aus der Summe von 3 Termen der Form "axn" (a und n sind natürliche Zahlen) und einer Konstanten (der Zahl 6) zusammensetzt.
Die Ableitung von "axn" hat die Form "anxn-1", aber die Ableitung einer Konstanten ist Null.
Die Ableitung von f (x) ist: f '(x) = 3x2 +6x -9.

Die Produktregel zum Ableiten von Funktionen

Etwas komplizierter wird es, wenn eine Funktion in Form eines Produkts oder eines Quotienten vorliegt. Zum Beispiel ist f (x) = (2x + 1) (x²-2).

Hier ist ein sehr lehrreicher YouTube-Kanal, der von einem Mathematiklehrer erstellt wurde:

In der Mathematik stellen wir ein Produkt zweier Faktoren durch u und v dar. Nehmen wir als Beispiel u = (2x + 1) und v = (x²-2).
Um abzuleiten, müssen wir uns die folgenden Formeln merken: (uv) '= u'v + uv'.
Wir empfehlen Dir, jeden Ausdruck von u, u ', v und v' als Entwurf zu schreiben:

  • u = 2x+1,
  • u' = 2,
  • v = x²-2,
  • v' = 2x.

Jetzt kannst Du die Ableitung von f berechnen:

  • f ' (x) = u'v + uv' = 2 (x²-2) + 2x (2x+1),
  • f ' (x) = 2x² - 4 + 4x² + 2x,
  • f ' (x) = 6x² + 2x - 4.

Faktorisiere, wenn möglich, die Ableitung von f

Ziel dieses Schritts ist es, die Ableitung der Funktion f (x) zu faktorisieren, um sie in Form eines Produkts oder eines Quotienten auszudrücken.

Die Faktorisierung ist ein wichtiger Schritt, der nicht vergessen werden sollte, da er die Untersuchung von f '(x) erheblich erleichtert.

Das Faktorisieren erleichtert die folgenden Schritte enorm.

Faktorisieren ist wie das Lösen eines mathematischen Puzzles.
Wir bemerken das wir in unserer anfänglichen Funktion (f(x) = x3 + 3x2 -9x +6), 3 als einen Faktor nehmen können, so dass wir dann f'(x) = 3(x2 +2x -3) erhalten.

x2 +2x -3 ist ein Trinom zweiten Grades der Form ax2 +bx +c mit a, b und c, die reelle Zahlen sind.
Um dieses Trinom zu faktorisieren, muss man zuerst die Diskriminante berechnen und die Wurzeln x1  und x2finden.
Die festgestellte Diskriminante lautet Δ = b2 -4ac = 22 -4×1×(-3) = 4 +12 = 16.

Die Diskriminanz-Regel lautet: Wenn die Diskriminanz kleiner als 0 ist, dann gibt es keine Lösung für die Gleichung. Wenn das Ergebnis Null ist, ist x = -b / 2a.

Wenn andererseits Δ positiv ist, lässt die Gleichung zwei verschiedene Lösungen zu, so dass x1 = (-b + √Δ)/2a et x2 = ( -b - √Δ)/2a.

Wir können dann die Wurzeln mit den folgenden zwei Formeln berechnen:

x1= (-2 - 4)/ 2 = -3

x2= (-2 + 4)/ 2 = 1

Beachte, dass, wenn die Diskriminante positiv ist (und beide Wurzeln existieren), das Trinom in der faktorisierten Form (x- x1) (x- x2) geschrieben werden kann, was x2 +2x -3 = (x-(-3)) (x-1) = (x+3) (x-1) ergibt. Die Ableitung der Funktion wird daher in der folgenden faktorisierten Form geschrieben:

f '(x) = 3 (x + 3) (x-1).

Betrachte das Vorzeichen von f '(x) über das Intervall I
3 ist eine positive Zahl, daher ist das Vorzeichen der Ableitung f '(x) identisch mit dem Vorzeichen von (x + 3) (x-1).

Wir wissen, dass, wenn f '(x) größer oder gleich 0 ist, die Funktion f über I zunimmt. Wenn umgekehrt f' (x) kleiner oder gleich 0 ist, nimmt f über I ab.

Und? Nimmt f (x) über das Startintervall zu oder ab?

Um das Vorzeichen von f 'zu kennen, genügt es, zu wissen, wann f' (x) sich selbst annuliert , und wir wissen, wie man die Vorzeichen-Tabelle einer Funktion vom Typ ax + b konstruiert.

f '(x) = 3x2 +6x -9 = 3(x+3)(x-1).

x+3 = 0 --> x=-3 et x-1=0 --> x=1.

Lösen wir die folgenden Ungleichungen:

x + 3 > 0 => x > -3, das Binomial x + 3 ist also positiv, wenn x größer als -3 ist, null, wenn x gleich -3 ist, und negativ, wenn x kleiner als -3 ist.

x - 1> 0 => x> 1, sodass das Binomial x-1 positiv ist, wenn x größer als 1 ist, null, wenn x gleich 1 ist, und negativ, wenn x kleiner als 1 ist.

Die Tabelle der Vorzeichen der Ableitung f '(x) ist hier dargestellt:

x- ∞                                 -3                                     1+∞
x + 3                 -                         0               +                                           +
x - 1                 -                                             -                   0                     +
f'(x)               +                         0                 -                   0                     +

f '(x) nimmt daher für alle x zu, die über das Intervall ]-∞; -3] definiert sind; -3], abnehmend auf [-3; 1] und steigend auf [1 ; +∞[.

Beachte, dass wir das Vorzeichen des Trinoms x2 +2x -3 mit einer anderen Methode hätten bestimmen können.

Wenn die Diskriminante positiv ist, nimmt das Trinom ax²+bx+c das entgegengesetzte Vorzeichen von a im Abstand zwischen den beiden Wurzeln x1 und x2 und das gleiche Vorzeichen wie an anderer Stelle an.

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Die Variationstabelle von f auf I zeichnen

f ist differenzierbar über I, für jeden Wert von x, der in I enthalten ist:

  • Wenn f '(x)> 0 für alle x, die zu I gehören, dann steigt f auf I genau an.
  • Wenn f '(x) <0 für alle x, die zu I gehören, dann nimmt f auf I streng ab.

Die Variationstabelle von f ist die schematische Darstellung der Richtungen, die von der für eine Funktion repräsentativen Kurve genommen werden.

Platziere zur Übung die Pfeile auf der folgenden Tabelle.
Die Variationstabelle von f ist gegeben durch:

x-∞                                           -3                                       1+∞
f(x)                                                   33                                                                                +∞

-∞                                                                                        1

Wir erinnern uns hier an die Anfangsfunktion: f(x) = x3 + 3x2 -9x +6. Durch Ersetzen des Wertes von x durch -3 und durch 1 erhalten wir f(-3) = 33 et f(1) = 1.

Berechnen wir nun die Grenzen der Funktion.

Wir gehen davon aus, dass f (x) gegen unendlich tendiert (ausgedrückt + ∞), wenn jedes x groß genug ist, dann ist f (x) so groß, wie wir wollen.

Wir halten also fest: lim (x+∞) f(x) = +∞.

Aus der Variationstabelle von f geht hervor, dass die Funktion am Punkt A (-3; 33) ein Maximum und am Punkt B (1; 1) ein Minimum hat.

Die Funktion über ihr Definitionsintervall bestimmen

Um einen Graphen zu zeichnen, der diese Funktion darstellt, genügt es, sein Minimum und sein Maximum auf dem Referenzrahmen zu platzieren und eine kleine Tabelle zu erstellen, die uns dabei hilft, einige Punkte zu setzen:

xf (x)
-51
-228
-117
06
5161

Und so sieht dann unsere Kurve aus:

Die Variation einer Funktion.

Ob Du es glaubst oder nicht: Es gibt viele Zusammenhänge zwischen der Kunst und der Mathematik.

Beim Zeichnen einer mathematischen Kurve sind der künstlerischen Freiheit allerdings Grenzen gesetzt.

Achte darauf, die Markierungen ganz korrekt auf der Kurve zu platzieren.

Die Variationstabelle einer Funktion dient zur einfachen Identifizierung von Asymptoten. Sie wird im Allgemeinen durch das Studieren des Vorzeichens der Ableitung erlangt.

Kleine Übung: Wie erstellt man die Variationstabelle der Gleichung y = - x²?

Im Mathematikunterricht arbeiten die Schüler mit ihrem Mathematiklehrer auch mit Tabellen, die nicht die gesamte Funktion, sondern nur einen Teil darstellen.

Dies ist der Fall, wenn Funktionen sich endlos wiederholen. Diese Funktionen werden als periodisch bezeichnet.

Mathematische Aufgaben zu lösen, kann spannend sein, wenn man weiss, wie man vorgehen muss. Wenn Du nur Bahnhof verstehst, macht es keinen Spaß. wenn Du aber die Grundlagen beherrscht, ist es wie Detektivarbeit. Sorge dafür, dass Mathematik für Dich keine Tortur wird!

Damit es bei Dir "Klick!" macht, gibt es häufig nur eine Lösung:
Du musst üben! Wiederhole alle Ausgaben wieder und wieder,  bis Du wirklich verstanden hast, was von Dir erwartet wird.

Achtung: Ein Überraschungstest!

Wir haben eine Funktion f (x) = 2x3 + 5x2-4x + 1, definiert auf [-100; 100],

  • Leite F (x) ab,
  • Untersuche die Variationsrichtung der abgeleiteten Funktion,
  • Steigt f (x) auf [-100; -50] an?
  • Erstelle eine Variationstabelle der Funktion,
  • Zeichne die grafische Darstellung der Funktion f.

Und? Fühlst Du Dich beim Zeichnen von Funktionen schon wohler?

Keine Panik und nur nicht aufgeben! Tatsächlich gibt es selbst heute noch ungelöste Rätsel der Mathematik, die bisher noch nicht einmal die größten Mathematiker enthüllen konnten! Das gibt Zuversicht, oder?😉

 

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Bertine

Ich bin studierte Ethnologin und Politikwissenschaftlerin, schreibe leidenschaftlich gerne und interessiere mich besonders für Sprachen, fremde Kulturen, Geschichte und Handwerk.