Im Matheunterricht kommst Du um Funktionen nicht herum. Doch was beschreiben sie? Sie stellen Beziehungen bzw. Zuordnungen zwischen zwei Mengen dar, indem einem x-Wert jeweils ein y-Wert zugeordnet wird. Dabei ist die Definitionsmenge die Menge der x-Werte, die Zielmenge oder Wertemenge die Menge der y-Werte.

Was bedeutet das konkret? Nehmen wir als Beispiel die Anzahl der Beine von Tieren. Die Zuordnung ist hier also „Tiere → Anzahl der Beine“. Die Definitionsmenge bilden hier die Tiere, also zum Beispiel Katze, Marienkäfer und Spinne. In der Zielmenge stehen die Anzahl der Beine, also vier, sechs und acht. Die Elemente der Definitionsmenge werden nun den Elementen der Zielmenge zugeordnet (also die Katze der vier, der Marienkäfer der sechs und die Spinne der acht).

In der Mathematik werden auf dieselbe Weise Zuordnungen durchgeführt, nur eben mit Zahlen. Hier stehen zwei Variablen in einer Beziehung zueinander. Und wie das funktioniert, schauen wir uns im Folgenden an.

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Und los geht's

Erklärung der Begriffe

Zunächst einmal zur Schreibweise. Es gibt folgende gängige Schreibweisen:

f:x → 2x+1 (Diese Schreibweise nennt man die Funktionsvorschrift: Die Funktion f ordnet dem x den Wert 2x+1 zu)

f(x)=2x+1 (Das ist die Funktionsgleichung, oder kürzer: y=2x+1)

Dabei nennt man 2x+1 den Funktionsterm.

Die in der Schule geläufigste Schreibweise ist die der Funktionsgleichung.

Wie bereits oben erwähnt, wird einem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zugeordnet, oder wie hier: Einem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet.

Das erklären wir nun anhand eines konkreten Beispiels:

Tim und Tom haben jeweils eine bestimmte Menge an Sammelkarten. Tim hat 6, Tom hat 15. Also wird Tim die 6, Tom die 15 zugeordnet.

Verstehst Du die Funktionen?
Welche Karte gehört wem? | Quelle: unsplash

Die Menge aller Sammelkarten nennt man die Definitionsmenge D (hier stehen die 6 und die 15). Die Sammelkartenbesitzer Tim und Tom bilden die andere Menge, die Ziel- oder Wertemenge. Tim und Tom sind ja das Ziel, denn sie besitzen die Karten.

Die Funktion ordnet jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zu. Jede Karte wird also einem Besitzer zugeordnet, gehört also entweder Tim oder Tom, und nicht beiden gleichzeitig.

Würde jedes Element der Definitionsmenge mehreren Elementen der Zielmenge zugeordnet, würde es sich nicht mehr um eine Funktion sondern um eine Relation handeln.

Die Zahlen der Definitionsmenge können eine bestimmte Auswahl an Zahlen sein, wie zum Beispiel die reellen (R), die natürlichen (N) oder die rationalen Zahlen (Q).

Was für Zahlen in der Zielmenge stehen, hängt von der Funktion ab.

Wie heißen die Grundrechenarten?

Die Funktionsgleichung

Mit einer Funktionsgleichung werden nun die Zahlen der Definitionsmenge jeweils einer Zahl der Zielmenge zugeordnet, also zum Beispiel f(x)=2x+1 oder y= 2x+1.

Das x steht für jedes Element aus der Definitionsmenge, das in die Gleichung eingesetzt wird. Heraus kommt dabei ein Element aus der Zielmenge. Wenn zum Beispiel x=2 ist, dann gilt:

f(2)=4+1=5

Unsere Funktion f(x) ordnet also der Zahl 2 die Zahl 5 zu (y=5). Der Funktionswert von f an der Stelle 2 ist gleich 5.

Wenn x=3, dann schreiben wir f(3)=6+1=7, und wenn x=-1, dann rechnen wir f(-1)=-2+1=-1

Jeder Zahl x wird eine Zahl y zugeordnet. Dabei können auch mehrere Zahlen x derselben Zahl y zugeordnet werden, jedoch nicht umgekehrt. Das heißt, bei zwei verschiedenen x-Werten kann durchaus dasselbe Ergebnis herauskommen.

Die Variable x ist also unabhängig („unabhängige Variable“), die Variable y abhängig („abhängige Variable“). Denn abhängig vom x-Wert kommt ein y-Wert heraus.

Kannst Du Gleichungen mit x ausrechnen?
Die Variable x wirst Du noch öfter vorfinden! | Quelle: visualhunt

Was sind die Grundlagen der Mathematik?

Darstellung im Koordinatensystem

Funktionen lassen sich auch in ein Koordinatensystem einzeichnen. Dieses besteht aus zwei rechtwinklig zueinander stehenden Zahlengeraden, die sich bei Null schneiden. Die senkrechte Achse heißt y, die waagerechte x.

Der Funktionsgraph zeigt uns bildlich, welcher Wert y zu welchem Wert x gehört und dass jeder Zahl x genau eine Zahl y zugeordnet wird. Es ist aber wie gesagt auch möglich, dass zwei x-Zahlen denselben y-Wert zugeordnet bekommen.

Um den Graphen zu zeichnen, legst Du Dir eine Wertetabelle an, das heißt, Du legst einfach einige x-Werte fest und rechnest die entsprechenden y-Werte aus:

x-2-1012
y=4x-2-3-1135

Die Veränderung der Funktionswerte wird so gleich viel anschaulicher und weniger abstrakt.

Mit der Wertetabelle lässt sich nun der Graph der Funktion zeichnen: Die Punkte werden an den entsprechenden Stellen ins Koordinatensystem gezeichnet und miteinander verbunden, das sieht dann so aus:

Kannst Du Graphen ins Koordinatensystem einzeichnen?
So sieht die Funktion f(x)=2x+1 bildlich aus. | Quelle: GeoGebra

Wie geht Bruchrechnung?

Arten von Funktionen

Es gibt verschiedene Arten von Funktionen. Die wichtigsten stellen wir Dir hier vor:

  • Proportionale Funktionen: Eine proportionale Funktion verläuft immer durch den     Koordinatenursprung, so auch f(x)=mx. Dabei gibt die m die Steigung der Geraden an. Ist m positiv (zum Beispiel f(x)=2x), steigt der Graph, ist m negativ (f(x)=-2x), fällt er.
  • Lineare Funktionen: Diese stellen ein lineares Verhältnis zwischen zwei Variablen dar. Im Koordinatensystem werden sie also auch durch eine Gerade dargestellt, jedoch verläuft sie nicht durch den Ursprung, so auch f(x)=mx+n. Der Buchstabe m stellt hier wieder die Steigung dar, n den y-Achsenabschnitt. Eine lineare Funktionsgleichung wäre zum Beispiel f(x)=2x+1.
  • Quadratische Funktionen: Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion beinhaltet immer ein x², der Graph ist eine Parabel. Die Funktionsgleichung der Normalparabel lautet: f(x)=x². Die Normalparabel lässt sich im Koordinatensystem auch verschieben: Bei f(x)=(x-2)² wird sie in x-Richtung nach rechts verschoben, bei f(x)=(x+2)² nach links. In y-Richtung wird sie bei f(x)=x²+2 nach oben verschoben, bei f(x)=x²-2 nach unten. Multipliziert man x² mit einer Zahl (f(x)=ax²), wird die Parabel gestaucht (0<a<1) oder gestreckt (1<a). Ist a negativ, zeigt die Öffnung der Parabel nach unten, sie wird also gespiegelt.
  • Potenzfunktionen: Das sind Funktionen, in denen die Variable x in der Basis einer Potenz steht: f(x)=xn.     Dabei darf n nicht Null sein, da bei jedem x sonst 1 herauskäme und die Funktion somit keine Potenzfunktion mehr wäre. Ist der Exponent positiv, größer als 1 und gerade (wie in f(x)=x² oder f(x)=x4), entsteht eine Parabel zweiter/vierter Ordnung usw. Ist der Exponent positiv, größer als 1 und ungerade (wie in f(x)=x3 oder f(x)=x5), entsteht eine Parabel dritter/fünfter Ordnung usw. Bei negativen Exponenten entstehen Hyperbeln.
  • Exponentialfunktionen: Hier steht die Variable x im Exponenten: f(x)=xbx . Bei einer Exponentialfunktionen steigt der Graph als Kurve an. Dabei bildet a den Anfangswert an und die Basis b gibt an, wie steil die Kurve wird (a darf dabei nicht Null sein und b muss größer als Null sein). Je nach Werten, die Du für a und b einsetzt, entstehen verschiedene steigende oder fallende Graphen.
  • Trigonometrische Funktionen: Diese werden auch Winkel- oder Kreisfunktionen genannt. Zu ihnen gehören die Funktionen Sinus und Cosinus. Eine Sinusfunktion f(x)=sin(x) schneidet die y-Achse bei (0/0) und sieht als Graph so aus:
Kennst Du die Sinusfunktion?
Die Sinusfunktion zeichnet sich als Graph durch ihre periodischen Wellen aus. | Quelle: GeoGebra

 

Eine Cosinusfunktion f(x)=cos(x) schneidet die y-Achse bei (0/1) und sieht so aus:

Wie Du siehst, sind es beide periodische Funktionen, deren Graphen sich nach jeder Periode wiederholen.

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Christiane

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