Der Dreisatz gehört zu den Grundlagen der Mathematik. Es ist mehr als sinnvoll, ihn zu lernen, denn im Alltag ist er Dir eine große Hilfe.Vielleicht wendest Du ihn sogar an, ohne Dir dessen bewusst zu sein. Nicht selten rechnen wir Verhältnisse aus, um einen Preis, eine Dauer oder ein Gewicht auszurechnen.

Mit ihm löst Du Aufgaben mit Werten, die proportional oder antiproportional zueinander stehen. Entweder vergrößern sich beide Werte (proportional), oder nur ein Wert vergrößert sich und der andere wird verringert (antiproportional). Der Lösungsweg beinhaltet drei Schritte, daher der Name Dreisatz.

Du wirst ihn also in Deinem Leben noch öfter gebrauchen und Deinem Lehrer dankbar sein, Dir den Dreisatz beigebracht zu haben!

In diesem Artikel erklären wir ihn Dir noch einmal und geben Dir leicht verständliche Beispiele dafür.

Welche Grundlagen muss ich in Mathe beherrschen?

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Die proportionale Zuordnung

Eine proportionale Zuordnung erkennst Du, wenn Du die Aufgabe mit den Worten „je mehr, desto mehr“ formulieren kannst.

Beginnen wir mit einem ganz alltäglichen Beispiel: Du steht im Supermarkt an der Käsetheke und möchtest einen sechs Monate lang gereiften Gouda kaufen. 200g kosten 3,50€. Du möchtest aber 500g kaufen, schließlich erwartest Du Gäste. Wie viel kostet diese Menge?

Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen
Je mehr Gäste, desto mehr Gouda. | Quelle: unsplash

Beim proportionalen Zusammenhang gilt: Je größer eine Menge, desto größer die andere Menge. Je mehr Käse Du kaufst, desto mehr musst Du also bezahlen.

Um den Preis auszurechnen, wenden wir den Dreisatz an (das Symbol ≙ bedeutet „entspricht“):

200g ≙ 3,50€ (hier teilen wir durch 2, um den Preis für 100g auszurechnen)

100g ≙ 1,75€ (nun multiplizieren wir mit 5)

500g ≙ 8,75€

Der Preis für 500g Gouda beträgt also 8,75 Euro.

Es gibt auch Aufgaben, in denen man nicht unbedingt auf 1 herunterrechnen muss sondern auf eine andere Zahl, weil sie sich für das Weiterrechnen besser eignet. Zum Beispiel kosten 15 Meter Stoff 71,25. Du möchtest aber nur 9 Meter kaufen. Hier eignet sich die 3 als Zwischenwert (Du teilst also erst durch 5), den Du im dritten Schritt dann mit 3 multiplizierst:

15m ≙ 71,25€ (wir teilen durch 5)

3m ≙ 14,25€ (nun multiplizieren wir mit 3)

9m ≙ 42,75€

9 Meter Stoff kosten also 42,75 Euro.

Solche eine Aufgabe kannst Du auch mittels einer Bruchgleichung lösen, indem Du nach x auflöst:

\frac{15m}{71,25 Euro} = \frac{9m}{x Euro}

Damit x alleine steht und wir nicht viel herumrechnen müssen, nehmen wir von beiden Brüchen den Kehrwert und multiplizieren beide Seiten mit 9:

\frac{71,25}{15} = \frac{x}{9} \frac{71,25\cdot9}{15}=x

Das rechnen wir nun aus und erhalten so den Wert von x:

x=42,75

Wie Du siehst, kommt mit der Bruchgleichung dasselbe heraus wie mit dem Dreisatz.

Bei den drei Schritten des Dreisatzes handelt es sich stets um Verhältnisse bzw. proportionale Zuordnungen. Das siehst Du, wenn Du von jeder Zeile den Quotienten bildest. Nehmen wir unser Stoffbeispiel: 71,25:15 ergibt 4,75. 14,25:3 ergibt auch 4,75 und 42,75:9 ebenfalls!

Hier noch ein drittes Beispiel: Ein Mann braucht mit dem Auto für eine 60 km lange Strecke 25 Minuten. Eines Tages bleibt sein Auto nach 15 Minuten stehen. Wie viel Kilometer hat er bislang zurückgelegt?

Wie weit ist das Auto gefahren?
Ein Blick auf die Uhr, und schon weißt Du, wie viel Kilometer Du zurückgelegt hast! | Quelle: unsplash

Wir notieren:

60 km ≙ 25 Minuten

Wir teilen beide Seiten durch 5, das ergibt dann:

12 km ≙ 5 Minuten

Um auf 15 Minuten zu kommen, multiplizieren wir beide Seiten mit 3:

36 km ≙ 15 Minuten

Der Mann hatte also bereits 36 km zurückgelegt.

Auch bei einer Taxifahrt handelt es sich um einen proportionalen Zusammenhang: Je länger die Strecke, desto höher der Fahrpreis. Je älter ein Baum, desto höher ist er, und mehr Kartoffeln in der Kiste liegen, desto schwerer ist sie.

Was sind die Grundrechenarten der Mathematik?

Die antiproportionale Zuordnung

Eine antiproportionale Zuordnung erkennst Du, wenn Du die Aufgabe mit den Worten „je mehr, desto weniger“ formulieren kannst.

Bei der antiproportionalen Zuordnung handelt es sich um den umgekehrten Dreisatz. Nehmen wir als Beispiel das Herbstlaub, das vom Rasen mit der Harke weg gekehrt werden soll. Hast Du einen Helfer, seid Ihr also zu zweit, benötigt Ihr dafür 6 Stunden – es ist eine sehr große Wiese. Seid Ihr jedoch zu fünft, braucht Ihr weniger Zeit. Doch wie viel?

Schreiben wir zunächst auf:

2 Personen ≙ 5 Std.

Um auf 5 Personen zu kommen, muss die 2 mit 2,5 multipliziert werden. Um auf die Dauer bei 5 Personen zu kommen, müssen die 5 Std. jedoch nicht mit 2,5 multipliziert sondern durch 2,5 geteilt werden. Das ergibt dann:

5 Personen ≙ 2 Std.

Auf der rechten Seite musst Du also immer mit dem Gegenteil rechnen.

Ein anderes Beispiel: Zwei Wasserschläuche brauchen drei Tage, um die Becken des Freibads zu füllen. Wie viele Schläuche werden benötigt, um die Becken in 12 Stunden zu füllen?

Dreisatz bei Antiproportionaler Zuordnung
Nach einer kleiner Rechnung rein ins kühle Nass! | Quelle: visualhunt

Wir notieren:

2 Schläuche ≙ 3 Tage

Um auf einen Tag zu kommen, teilen wir rechts durch 3 und multiplizieren links mal 3:

6 Schläuche ≙ 1 Tag

12 Stunden sind ein halber Tag, also teilen wir rechts durch 2 und multiplizieren links mal 2:

12 Schläuche ≙ 0,5 Tage

Um die Becken in 12 Stunden zu füllen, würden 12 Schläuche gebraucht werden.

Auch diesen antiproportionalen Zusammenhang kannst Du natürlich als Bruchgleichung schreiben. Dazu multiplizierst Du die Werte in der Reihe miteinander, in der alle Werte bekannt sind, also 2 Schläuche ≙ 3 Tage, und teilst sie durch 0,5 Tage, da wir die Anzahl der Schläuche (x) für 0,5 Tage suchen:

x=\frac{2\cdot3}{0,5}=12

So haben wir die Anzahl der Schläuche mittels einer Bruchgleichung herausgefunden.

Wie auch bei der proportionalen Zuordnung handelt es sich stets um Verhältnisse. Um das zu überprüfen, musst Du hier jedoch nicht den Quotienten bilden sondern das Produkt: 2x3=6, 6x1=6, 12x0,5=6!

Auch beim Verhältnis zwischen Geschwindigkeit und Fahrtdauer handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung und demnach um einen umgekehrten Dreisatz, denn je höher die durchschnittliche Geschwindigkeit, desto geringer die Fahrzeit bis zum Ziel.

Wie geht Bruchrechnen?

Aufgaben zum Üben

Dreisatz Übungen für den Durchblick.
Du hast den Dreisatz verstanden? Ein Grund zum Feiern! | Quelle: unsplash

Nr. 1: Du feierst Geburtstag und möchtest Deine drei besten Freunde einladen. Du hast ausgerechnet, dass Du 18     Euro brauchst, um für drei Gäste Snacks und Getränke zu kaufen. Dann entscheidest Du Dich jedoch um und möchtest mit Freunden und Familie zusammen feiern. So kommen noch sechs Leute hinzu. Wie viel Geld benötigst Du, um für alle einzukaufen?

Nr. 2: Du möchtest Deine Wohnung renovieren lassen. Die Malerfirma kann Dir 4 Arbeiter zur Verfügung stellen, die dann 9 Tage fürs Renovieren bräuchten. Du möchtest aber, dass Deine Wohnung schon nach 6 Tagen fertig wird. Wie viel Arbeiter musst Du engagieren?

Nr. 3: Du möchtest Deinen Kleiderschrank sortieren und teilst Deine Kleidung in 7 Stapel à 10 Kleidungsstücke auf. In Deinem Kleiderschrank sind jedoch nur 5 Fächer. Wie viel Kleidungsstücke muss ein Stapel haben, um die     Kleidung in 5 Fächern aufzuteilen?

Nr. 4: Aus dem Wasserhahn laufen in 2 Stunden 200 Liter Wasser. Wie viel Liter laufen in 15 Stunden aus dem Hahn?

Lösungen

Aufgabe Nr. 1:

3 Gäste ≙ 18€

9 Gäste ≙ ?€

Hierbei handelt es sich um einen leichten proportionalen Zusammenhang.

In dieser Aufgabe müssen wir nicht auf einen Gast herunterrechnen, da die 9 ein Vielfaches der 3 ist. Es reicht also, die erste Reihe mit der 3 mal zu nehmen, um auf 9 zu kommen:

9 Gäste ≙ 54€

Du musst für Deine Geburtstagsfeier also für 54€ einkaufen.

Bilden wir in jeder Reihe den Quotienten, um die Richtigkeit unserer Lösung zu überprüfen:

18:3=6, 54:9=6

Aufgabe Nr. 2:

4 Arbeiter ≙ 9 Tage

? Arbeiter ≙ 6 Tage

Hierbei handelt es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang.

4 Arbeiter ≙ 9 Tage (wir rechnen aus, wie viel ein Arbeiter fürs Renovieren braucht: geteilt durch 4 auf der linken Seite und mal 4 auf der rechten Seite)

1 Arbeiter ≙ 36 Tage (um auf 6 Tage zu kommen, dividieren wir rechts durch 6 und multiplizieren wir links mal 6)

6 Arbeiter ≙ 6 Tage

Um in 6 Tagen fertig zu werden, benötigst Du also 6 Arbeiter.

Bilden wir in jeder Reihe das Produkt zur Überprüfung:

4x9=36, 1x36=36, 6x6=36

Aufgabe Nr. 3:

7 Stapel ≙ 10 Kleidungsstücke

5 Stapel ≙ ? Kleidungsstücke

Hierbei handelt es sich wieder um einen antiproportionalen Zusammenhang.

7 Stapel ≙ 10 Kleidungsstücke (wir rechnen auf 35 Stapel hoch, um später auf 5 herunterrechnen zu können. Dazu multiplizieren wir links mit 5 und dividieren rechts durch 5)

35 Stapel ≙ 2 Kleidungsstücke (um nun auf 5 Stapel zu kommen, dividieren wir links durch 7 und multiplizieren rechts mit 7)

5 Stapel ≙ 14 Kleidungsstücke

Jeder der 5 Stapel muss also 14 Kleidungsstücke haben.

Multiplizieren wir die Zahlen zur Probe:

7x10=70, 35x2=70, 5x14=70

Aufgabe Nr. 4:

2 Std. ≙ 200 l

15 Std. ≙ ? l

Hierbei handelt es sich wieder um einen proportionalen Zusammenhang.

2 Std. ≙ 200 l (wir rechnen auf 1 herunter und teilen beide Seiten durch 2)

1 Std. ≙ 100 l (nun multiplizieren wir mit 15, um auf 15 Std. zu kommen)

15 Std. ≙ 1500 l

In 15 Stunden fließen also 1500 Liter aus dem Wasserhahn.

Ist die Aufgabe richtig gelöst? Machen wir die Quotientenprobe:

200:2=100, 100:1=100, 1500:15=100

Wie rechnet man mit Funktionen?

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Christiane

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