Die vier Grundrechenarten bilden das Fundament der Mathematik. ihnen begegnest Du nicht nur in der Schule ab der 1. Klasse, sondern auch im Alltag. Ob beim Zusammenrechnen der Preise im Supermarkt, zu Hause beim Ausmessen oder später im Beruf, die Mathematik und speziell die Grundrechenarten brauchst Du überall.

Es ist also überaus wichtig, sie gut zu beherrschen.

Wie heißen die vier Grundrechenarten? Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Beginnen wir mit der ersten.

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Die Addition

Die Addition ist die erste Grundrechenart. Hierbei werden zwei oder mehrere Zahlen zusammengezählt. Der Operator dieser Rechenart ist das Plus (+).

Beispiel: 2+8=10 oder 4+3 +1=8

Die Zahlen, die man miteinander summiert, nennt man Summanden, das Ergebnis die Summe: Summand + Summand = Summe.

Kannst Du im Kopf addieren?
Die Addition brauchst Du nicht nur in der Schule. Auch beim Mölkky kommst Du ohne das Addieren nicht weit! | Quelle: unsplash

Das schriftliche Rechnen größerer Zahlen wird in der 3. Klasse gelernt, das heißt das Rechnen mit Stift und Papier ohne Taschenrechner. Das ist auch sehr wichtig fürs Leben, denn manchmal hat man einfach keinen Taschenrechner oder kein Smartphone zur Hand, um eine Aufgabe herauszubekommen.

Beim schriftlichen Addieren werden Einer, Zehner, Hunderter, Tausender und so weiter jeweils einzeln addiert. Dafür schreibt man die Zahlen untereinander (die Einer immer unter die Einer, die Zehner unter die Zehner und so weiter). Nun werden erst die Einer (hier also 5+0=5), dann die Zehner (2+5=7) und dann die Hunderter (1+4=5), also von hinten nach vorne, addiert:

__125
+ 450
__575

Das geht natürlich auch, wenn eine Zahl nur Einer und Zehner und die andere Zahl Einer, Zehner und Hunderter besitzt. Auch hier wird von hinten nach vorne addiert: 4+3=7, 2+5=7, 3+0=3):

_324
+  53
_377

Addition mit Übertrag: Manchmal kommt beim schriftlichen Addieren der einzelnen Zahlen eine Summe heraus, die größer als 9 ist. In dem Fall wird nur der Einer dieser Summe unter den Strich geschrieben und der Zehner bei der nächsten Addition dazugerechnet. In unserem Beispiel ergeben die Einer zusammen 14 (8+6=14). Wir tragen also die 4 unten ein und merken uns die 1. Diese verrechnen wir nun mit den Zehnern (5+2+1=8). Dann zählen wir die Hunderter zusammen (2+3=5). Die Summe lautet also 584.

_-258
+ 326
_-584

Addition mit Komma: Wenn zwei oder mehrere Kommazahlen miteinander addiert werden sollen, müssen die Kommata immer untereinander stehen. Auch in der Summe steht das Komma an derselben Stelle wie in den Summanden. Beispiel:

_14,34
+ 23,4
_37,74

Auch hier wird wieder von hinten nach vorne gerechnet, also zuerst 4+0=4, dann 3+4=7, dann 4+3=7 und schließlich 1+2=3. Das Komma der Summe kommt an dieselbe Stelle wie oben.

Auch bei der Addition mit Kommazahlen wird, wenn nötig, mit Übertrag gerechnet. In unserem Beispiel zählen wir zunächst 7+5=12 zusammen, wir schreiben die 2 unter den Strich und merken uns 1, dann zählen wir 6+2+1=9 zusammen und schließlich 3+1=4. Das Komma setzen wir an dieselbe Stelle:

_-3,67
+ 1,25
-_4,92

Hier findest Du Übungen zum schriftlichen Addieren.

Wie addiert man Brüche und wie geht Bruchrechnen einfach erklärt?

Die Subtraktion

Die Subtraktion ist die zweite Grundrechenart. Hierbei werden eine oder mehrere Zahlen von einer anderen abgezogen. Der Operator dieser Rechenart ist das Minus (-).

Beispiel: 10-2=8 oder 15-5-2=8

Die Zahl, von der man abzieht, bezeichnet man als Minuend, die Zahl, die abgezogen wird, als Subtrahend. Das Ergebnis nennt man Differenz: Minuend – Subtrahend = Differenz.

Beim schriftlichen Subtrahieren werden Einer, Zehner, Hunderter, Tausender und so weiter wieder untereinander geschrieben und jeweils voneinander abgezogen. Zuerst werden die Einer (hier also 5-0=5), dann die Zehner (4-3=1) und dann die Hunderter (2-1=1) voneinander abgezogen:

_245
- 130
_-115

Kannst Du schriftlich subtrahieren?
Nicht immer hat man einen Rechner zur Hand. Umso wichtiger ist es, schriftlich rechnen zu können! | Quelle: unsplash

Wenn eine Zahl nur aus Einer und Zehner und die andere Zahl aus Einer, Zehner und Hunderter besteht, gilt die leere Stelle als Null, wie auch bei der Addition. Auch hier wird von hinten nach vorne subtrahiert: 4-3=1, 2-1=1, 3-0=3):

_324
-   13
_-311

Gibt es mehrere Zahlen, die subtrahiert werden sollen, werden die Subtrahenden miteinander addiert und vom Minuenden abgezogen. In unserem Beispiel addieren wir also, beginnend bei den Einern, 3+5=8. Da der Einer des Subtrahenden eine Null ist, notiert man nun die Differenz von der 8 bis zur 10 (also 2) und merkt sich die 1 als Übertrag. Bei den Zehnern rechnet man also 1+1+1=3, und 3-3=0.

---30
-   13
-   15
__-2

Subtraktion mit Übertrag: Dabei wird, wie bereits in der vorigen Rechnung durchgeführt, das Abziehverfahren angewandt. Das Abziehverfahren kommt dann zum Einsatz, wenn bei einer Subtraktion zweier Einer zum Beispiel eine negative Zahl herauskäme. Um das zu vermeiden, wird der Einer in einen Zehner umgewandelt.

In der Aufgabe 36-19 müsste man also zuerst 6-9 rechnen. Da hier jedoch -3 herauskäme, wenden wir das Abziehverfahren an, das heißt, wir verwandeln die 6 in eine 16 und zählen die 1 der 16 zu den Zehnern hinzu. Wir subtrahieren also: 16-9=7 und 3-(1+1)=1.

_-36
-  19
__17

Subtraktion mit Komma: Wie auch bei der Addition werden die Kommata einer Subtraktion untereinander geschrieben und es wird ganz normal von hinten nach vorne gerechnet, als ob das Komma nicht da wäre. In der Differenz steht das Komma wieder an derselben Stelle:

_12,6
-  8,3
__4,3

Dies gilt natürlich auch, wenn ein Übertrag vorhanden ist. Für 12,6-8,9 subtrahieren wir 16-9=7 und zählen die 1 zur 8 hinzu. Das macht dann 12-9=3:

_12,6
-  8,9
__3,7

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Die Multiplikation

Die Multiplikation, oder das Malnehmen, lernst Du in der 2. Klasse. Es ist nichts anderes als das Addieren mehrerer Zahlen. Durch das Auswendiglernen des 1x1 musst Du jedoch gar nicht mehr umständlich addieren sondern weißt das Ergebnis sofort!

So kann man jede Multiplikationsaufgabe auch als Additionsaufgabe schreiben:

3x6=18 ist dasselbe wie 6+6+6=18

Wie Du schon gesehen hast, ist der Operator dieser Rechenart ist das Malzeichen (x oder einfach nur ein Punkt).

Die Zahlen, die miteinander multipliziert werden, nennt man Faktoren, das Ergebnis das Produkt: 1. Faktor x 2. Faktor = Produkt.

Dabei ist es egal, in welcher Reihenfolge die Faktoren stehen, das Produkt ist stets dasselbe (siehe Kommutativgesetz). Ob 5x2 oder 2x5, das Produkt ist immer 10.

Kennst Du das 1x1 auswendig?
Das 1x1 muss man aus dem Effeff kennen. | Quelle: unsplash

Beim schriftlichen Multiplizieren schreiben wir die kleinere Zahl nach dem Malzeichen und nehmen diese Zahl mit jeder einzelnen Zahl der größeren mal:

Für 1234x2 multiplizieren wir also zuerst 2x4, dann 2x3, dann 2x2 und als letztes 2x1. Das Produkt ist also 2468.

1234 x 2
___2468

Gibt es einen Übertrag, so wird er zum nächsten Ergebnis hinzuaddiert: Für die Aufgabe 1234x4 nehmen wir also zuerst 4x4=16 mal. Wir schreiben die 6 nach unten und merken uns die 1. Dann multiplizieren wir 4x3 und zählen die 1 hinzu. Das macht dann 13. Wir schreiben die 3 hin und merken uns wieder die 1, die wir zu 4x2 hinzuaddieren.

1234 x 4
___4936

Wenn die zweite Zahl eine zweistellige Zahl ist, wird zuerst der Zehner mit der ersten Zahl multipliziert und dann der Einer. Für 1234x12 multiplizieren wir also zuerst die 1 mit 4,3,2 und 1 und dann die 2. Am Ende werden beide Ergebnisse miteinander addiert:

1234 x 12
__-12340
____2468
___14808

Hinsichtlich der Multiplikation mit Komma, so wird das Komma im Produkt an dieselbe Stelle gesetzt wie im Faktor, zum Beispiel:

5 x 3,5
__-150
____25
__17,5

Wie geht der Dreisatz?

Die Division

Dividieren bedeutet teilen. Der Operator dieser Rechenart ist das Geteiltzeichen (:).

Beispiel: 10:5=2

Die Zahl, durch die geteilt wird, nennt man Dividend, die teilende Zahl Divisor und das Ergebnis Quotient: Dividend : Divisor = Quotient

Wie gut kannst Du dividieren?
Die Division braucht man in allen Lebenslagen! | Quelle: unsplash

Das schriftliche Dividieren schauen wir uns nun an: Wie rechnet man die Aufgabe 675:5? Zuerst überlegen wir uns, wie oft die 5 in die erste Zahl, die 6, hineinpasst. Sie passt 1 Mal hinein, der Rest ist 1. Dann holen wir die 7 hinunter:

675 : 5 = 1

17

Wie oft passt die 5 in die 17 hinein? 3 Mal, der Rest ist 2. Wir holen die 5 hinunter:

675 : 5 = 13

17
15
_25

Wie oft passt die 5 in die 25? Genau, 5 Mal. Das Ergebnis ist also 135:

675 : 5 = 135
5
17
15

_
25
_25
__0

Bleibt bei einer Aufgabe ein Rest, wie bei der Aufgabe 68:5, wird an den Rest eine Null gehängt und weiter gerechnet, wie oft die 5 in diese Zahl, in dem Fall die 30, hineinpasst. Diese Zahl kommt hinter das Komma:

68 : 5 = 13,6

18
15
_30

Bei der Division mit Komma wird das Komma, wie auch in den anderen Grundrechenarten, im Quotient an dieselbe Stelle (von hinten) gesetzt:

15,3 : 3 = 5,1
15
_03
__3 
__0

Rechenregeln

Regel Punkt vor Strich

In der Mathematik gilt die Regel, dass in einer Aufgabe mit mehreren Zahlen zuerst die Punktrechnungen gerechnet werden müssen, also Mal und Geteilt, und dann erst die Strichrechnungen (Plus und Minus).

In der Aufgabe 10x2+8:4 werden also zuerst 10x2 und 8:4 gerechnet, was dann 20+2 macht, und das ergibt 22.

Regel Klammer vor Punkt vor Strich

Klammern werden zuerst ausgerechnet, dann die Punkt- und als letztes die Strichrechnungen:

Beispiel: (4+6):2+3=10:2+3=5+3=8

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz besagt, dass man bei einer Addition oder Multiplikation die Reihenfolge von zwei Zahlen vertauschen kann. Ob Du nun 4+5 oder 5+4 rechnest, macht keinen Unterschied, genauso wenig wie bei der Aufgabe 7x8 oder 8x7. Die Ergebnisse sind stets dieselben.

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz besagt, dass in einer Rechnung, in der nur Additionen oder nur Multiplikationen vorkommen, die Klammern beliebig gesetzt werden können. Probiere es selbst aus: 2+6+10 ergibt dasselbe wie 2+(6+10), nämlich 18. Oder 3x4x2 ergibt dasselbe wie 3x(4x2), nämlich 24.

Distributivgesetz

Beim Distributivgesetz oder Verteilungsgesetz geht es um das Ausmultiplizieren von Klammern. Haben wir zum Beispiel ax(b+c), ergibt das ab+ac. Mit Zahlen: 2x(3+4)=6+8=14. Natürlich könnte man hier auch zuerst die Klammer ausrechnen, also 3+4, und dann alles mit 2 malnehmen, das macht ebenfalls 14, doch wenn Du später mit Zahlen und Variablen rechnest, ist es sicherer, das Distributivgesetz anzuwenden.

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