Kapitel
In welchen Situationen kann uns lineare Optimierung im Alltag nützlich sein?
Lineare Optimierung kann immer dann angewendet werden, wenn man die optimale Lösung für eine alltägliche Situation sucht, die mit Nebenbedingungen verbunden ist. Um die optimale Lösung zu finden, muss die Problemstellung mithilfe mathematischer Formeln definiert werden. In den folgenden Rechenbeispielen werden wir unter anderem sehen, wie man die optimale Lösung für ein Transportunternehmen finden kann, um deren Kosten zu minimieren und wie man die Kosten eines Schulausflugs mithilfe der linearen Optimierung so gering wie möglich halten kann.
Problemstellungen
Ein Transportunternehmen verfügt über zwei Arten von LKWs: LKWs vom Typ A mit einem Kühlraum von 
und einem ungekühlten Raum von 
; und LKWs vom Typ B mit derselben Transportfläche, die zu 50% gekühlt und zu 50% ungekühlt ist. Das Unternehmen wird damit beauftragt, 
eines gekühlten Produkts und 
eines anderen, das keine Kühlung benötigt, zu transportieren. Die Kosten für die Fahrt des LKW-Typs A betragen 
€, die für LKW-Typ B 
€.
Wie viele LKWs sollten jeweils eingesetzt werden, um die Gesamtkosten so gering wie möglich zu halten?
1 Definiere die Unbekannten.
LKWs vom Typ A
LKWs vom Typ B
2 Zielfunktion
3 Restriktionen
| A | B | Gesamt | |
|---|---|---|---|
| Gekühlt | 20 | 30 | 3 000 |
| Ungekühlt | 40 | 30 | 4 000 |
4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.
Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.
6 Berechne den Wert der Zielfunktion.
Da 
und 
natürliche Zahlen sein müssen, rundet man den Wert von ab.
Wir prüfen, welchen Wert für 
in der Gleichung 
einnimmt, die in den Bereich der realisierbaren Lösungen fällt; 
. Man erhält eine natürliche Zahl.
Die minimalen Kosten betragene 
€ beim Einsatz von 
und 
.
Eine Schult organisiert einen Ausflug für 
Schüler. Das Busunternehmen besitzt 
Busse für jeweils Personen und 
für 
Personen, aber verfügt lediglich über 
Fahrer. Die Miete eines großen Busses kostet 
€; die eines kleinen 
€. Ermittle, wie viele Busse welcher Art gebucht werden müssen, um die Ausflugskosten so gering wie möglich zu halten.
1 Definiere die Unbekannten. kleine Busse
große Busse
2 Zielfunktion
3 Restriktionen
4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.
5 Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.
6 Berechne den Wert der Zielfunktion.
€
€
€ Mínimo
Die geringsten Kosten liegen bei 
€, wenn man 
große Busse und 
kleine Busse mietet.
Eine Textilfabrik stellt zwei Arten von Kleidungsstücken unterschiedlicher Baumwoll- und Polyesteranteile her: Modell A wird aus Gramm Polyester und 
Gramm Baumwolle hergestellt, während für Modell B Gramm Polyester und 
Gramm Baumwolle benötigt werden. Das Unternehmen verfügt über 
Gramm Polyester und 
Gramm Baumwolle. Der Grenznutzen von Modell A beträgt €; der von Modell B 
€.
Ermittle die Anzahl, die von jedem der Kleidungsstücke hergestellt werden muss, um den höchstmöglichen Grenznutzen aus dem Verkauf der Kleidungsstücke zu erhalten.
1 Definiere die Unbekannten. Anzahl der Kleidungsstücke Modell A
Anzahl der Kleidungsstücke Modell B
2 Zielfunktion
3 Restriktionen
4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.
5 Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.
6 Berechne den Wert der Zielfunktion.
€
€
€
€
Der höchstmögliche Grenznutzen beträgt 
€ und wird dann erzielt, wenn 
Kleidungsstücke des Modells A und des Modells B hergestellt werden.
Dieselbe Fabrik aus Beispiel 3 stellt zwei Arten von Kleidungsstücken zu anderen Bedingungen her. Für die Herstellung von Modell A werden Polyester und Baumwolle benötigt, während für Modell B Gramm Polyester und Gramm Baumwolle benötigt werden. Die Fabrik verfügt über Gramm Polyester und Gramm Baumwolle. Der Grenznutzen von Modell A beträgt €; der von Modell B €.
Ermittle die Anzahl, die von jedem der Kleidungsstücke hergestellt werden muss, um den höchstmöglichen Grenznutzen aus dem Verkauf der Kleidungsstücke zu erhalten.
1 Definiere die Unbekannten. Anzahl der Kleidungsstücke Modell A
Anzahl der Kleidungsstücke Modell B
2 Zielfunktion
3 Restriktionen
4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.
5 Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.
6 Berechne den Wert der Zielfunktion.
€
€
€
€
Die optimalen Lösungen sind alle Werte, die auf dem farbig hinterlegten Bereich der Geraden 
liegen; die Rechenaufgabe besitzt also mehrere alternative Optimallösungen mit einem höchstmöglichen Grenznutzen von €.
Auf einer Farm erhalten die Tiere zwei Arten von Futter mit unterschiedlichem Nährwert. Das erste Futter enthält 
Aminosäuren vom Typ 1 und 
Aminosäuren vom Typ 2. Das zweite Futter enthält 
Aminosäuren vom Typ 1 und 
Aminosäuren vom Typ 2. Futter 1 kostet 
€ pro Kilogramm; Futter 2 dagegen 
. Das Futter kann beliebig kombiniert werden, solange immer mindestens drei Gramm von Typ 2 pro Ration enthalten sind. Wenn der tägliche Mindestbedarf an Aminosäuren von Typ 1 
und von Typ 2 
beträgt, wie viel Gramm welchen Futters muss jedes Tier erhalten, um die Fütterungskosten so gering wie möglich zu halten?
1Definiere die Unbekannten.
Gramm des Nahrungsmittels Typ 1
Gramm des Nahrungsmittels Typ 2
2 Zielfunktion
3 Restriktionen
4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.
5 Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.
6 Berechne den Wert der Zielfunktion.
€
€
Der Optimalwert liegt bei 
. Die geringsten Fütterungskosten pro Tier liegen bei 
€ und werden dann erzielt, wenn man 
Gramm Futter von Typ 1 und 
von Typ 2 gibt.
Ein Händler kauft Birnen und Äpfel im Wert von 
€. Die Birnen erhält er für 
€ pro Kilogramm, die Äpfel für 
€ pro Kilogramm. In seinem Fahrzeug kann er maximal 
transportieren. Er möchte die Birnen für 
€ und die Äpfel für 
€ weiterverkaufen. Seinen Kunden muss er dabei mindestens 
Birnen zur Verfügung stellen.
Wie viel Kilo Birnen und Äpfel muss er jeweils kaufen, um den größten Gewinn aus dem Verkauf zu ziehen?
1 Definiere die Unbekannten.
Kilo Birnen
Kilo Äpfel
2 Zielfunktion
3 Restriktionen
4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.
5 Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.
6 Berechne den Wert der Zielfunktion.
€
€
€
Der Optimalwert beträgt 
und bringt den höchstmöglichen Gewinn von 
€.
Ein Unternehmen, das Dekoartikel herstellt, verfügt über 
Einheiten Material und 
Stunden Arbeitskraft. Um Dekoartikel vom Typ 1 herzustellen, werden Einheiten Material und Stunden Arbeitskraft benötigt; für einen Dekoartikel vom Typ 2 Einheiten Material und Stunden Arbeitskraft. Der Gewinn, der durch den Verkauf von Artikel 1 erzielt werden kann, beträgt 
€, von Artikel 2 
€. Das Unternehmen hat sich vorgenommen, von Artikel 1 mindestens ein Stück zu produzieren.
Wie viele Artikel müssen jeweils hergestellt werden, um den höchsten Gewinn zu erzielen?
1 Definiere die Unbekannten.
Dekoartikel Typ 1
Dekoartikel Typ 2
2 Zielfunktion
3 Restriktionen
4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.
5 Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.
6 Berechne den Wert der Zielfunktion.
€
€
€
Beim Optimalwert von 
Dekoartikeln wird der höchstmögliche Gewinn von 
€ erzielt.
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