Berechnung des Maximalgewinns: Aufgabe 1

1Ein Kaufhaus beauftragt einen Hersteller mit der Produktion von Sporthosen und -jacken. Der Hersteller disponiert für die Produktion 750 m Baumwolle und 1000 m Polyester. Für jede Hose werden 1 m Baumwolle und 2 m Polyester benötigt. Für jede Jacke werden 1.5 m Baumwolle und 1 m Polyester benötigt. Der Preis der Hose liegt bei 50 € und der Preis der Jacke bei 40 €. Wie viele Hosen und Jacken muss der Hersteller an das Kaufhaus liefern, damit er einen maximalen Gewinn erzielen kann?

 1  Auswahl der Unbekannten.

 

{x = \mbox{Anzahl der Hosen}}

{y = \mbox{Anzahl der Jacken}}

 

 2  Zielfunktion

 

{f(x,y)= 50x + 40y}

 

 3  Einschränkungen

 

Um die Einschränkungen festzulegen, nutzen wir eine Tabelle:

 HosenJackenverfügbar
Baumwolle11,5750
Polyester211000

 

{x + 1.5y \le 750 \ \ \ \longrightarrow \ \ \ 2x+3y\le 1500}

{2x + y \le  1000}

 

Da es sich bei der Anzahl der Hosen und Jacken um natürliche Zahlen handelt, haben wir zwei weitere Einschränkungen:

 

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Wir bestimmen die Gesamtheit der durchführbaren Lösungen

 

Wir müssen die Einschränkungen graphisch darstellen.

 

Da {x \ge 0} und {y \ge 0}, nehmen wir uns den ersten Quadranten vor.

 

Wir stellen die Geraden ausgehend von ihren Schnittpunkten mit den Achsen dar.

 

Aufgabe zur linearen Optimierung, graphische Darstellung 1

 

Wir lösen die Ungleichung graphisch: {2x + 3y \le 1500}; dafür nehmen wir einen Punkt auf der Ebene, zum Beispiel {(0,0)}.

 

{2\cdot 0 + 3\cdot 0 \le 1 500}

 

Da {0 \le 1 500}, befindet sich der Punkt {(0,0)} in der Halbebene an dem Punkt, an dem die Ungleichheit erfüllt ist.

 

Analog dazu lösen wir {2x + y \le 1000}.

 

{2\cdot 0 + 0 \le 1 00}

 

Der Schnittbereich der Lösungen der Ungleichungen ist die Lösung für das Ungleichungssystem, das die Gesamtheit der durchführbaren Lösungen bildet.

 

Aufgaben zur linearen Optimierung 3 Grafik des Schnittbereichs der Lösungen

 

 5  Wir berechnen die Koordinaten der Scheitelpunkte des Bereichs der durchführbaren Lösungen.

 

Die optimale Lösung, falls sie eindeutig ist, befindet sich an einem Scheitelpunkt des Bereichs; diese sind die Lösungen für die Systeme:

 

{2x + 3y = 1500; \ \ \  x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \(0, 500)}

{2x + y = 1000; \ \ \  y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (500, 0)}

{2x + 3y =1500; \ \ \ 2x + y = 1000 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (375, 250)}

 

Aufgaben zur linearen Optimierung 4 Grafik des Schnittbereichs der Lösungen

 

 6  Wir berechnen den Wert der Zielfunktion, für den wir in der Zielfunktion jeden einzelnen der Scheitelpunkte ersetzen

 

{f(x, y) = 50x + 40y}

{f(0, 500) = 50 \cdot 0 + 40 \cdot 500 = 20000}

{f(500, 0) = 50 \cdot 500 + 40 \cdot 0 = 25000}

{f(375, 250) = 50 \cdot 375 + 40 \cdot 250 = 28750} €    Maximum

 

Die optimale Lösung ist die Produktion von  375 Hosen und  250 Jacken, um einen Gewinn von  28750 € zu erzielen.

Berechnung des Maximalgewinns: Aufgabe 2

2Ein Unternehmen produziert und verkauft zwei Modelle von Lampen {L_{1}} und {L_{2}}. Für deren Herstellung werden für das Modell {L_{1}} 20 Minuten manuelle Arbeit und  30 Minuten manuelle Arbeit für das Modell {L_{2}} benötigt; für {L_{1}} fallen 10 Minuten und für {L_{2}} 20 Minuten maschinelle Arbeit an. Pro Monat fallen für die manuelle Arbeit  100 und für die maschinelle Arbeit  80 Stunden an. Da der Gewinn pro Einheit bei  15 und  10 Euro für {L_{1}} und {L_{2}} liegt, muss die Produktion entsprechend geplant werden, um den Maximalgewinn zu erzielen.

 1  Auswahl der Unbekannten.

 

{x = \mbox{Anzahl der Lampen} \; L_{1}}

{y = \mbox{Anzahl der Lampen} \; L_{2}}

 

 2  Zielfunktion

 

{f(x, y) = 15x + 10y}

 

 3  Einschränkungen

 

Wir geben die Zeiten in Stunden an

 

{20 \; min = 1/3 \; h}

{30 \; min = 1/2 \; h}

{10 \; min = 1/6 \; h}

 

Um die Einschränkungen zu beschreiben, nutzen wir eine Tabelle:

 L1L2Zeit
Manuell1/31/2100
Maschinell1/31/680

 

{1/3x + 1/2y \le 100}

{1/3x + 1/6y \le 80}

 

Da die Anzahl der Lampen natürliche Zahlen sind, haben wir zwei weitere Einschränkungen:

 

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Wir bestimmen die Gesamtheit der durchführbaren Lösungen

 

Wir müssen die Einschränkungen graphisch darstellen.

 

Da {x \ge 0} und {y \ge 0}, nehmen wir uns den ersten Quadranten vor.

 

Wir stellen die Geraden ausgehend von ihren Schnittpunkten mit den Achsen dar.

 

Wir lösen die Gleichung graphisch: {1/3 x + 1/2 y \le 100}; dazu nehmen wir einen Punkt in der Ebene, zum Beispiel  (0,0).

 

{1/3\cdot 0 + 1/2\cdot 0 \le 100}

{1/3\cdot 0 + 1/6\cdot 0 \le 80}

 

Der Schnittbereich der Lösungen der Ungleichungen ist die Lösung für das Ungleichungssystem, das die Gesamtheit der durchführbaren Lösungen bildet.

 

Aufgaben zur linearen Optimierung 4 Schnittbereich der Lösungen

 

 5  Wir berechnen die Koordinaten der Scheitelpunkte des Bereichs der durchführbaren Lösungen.

 

Die optimale Lösung, wenn sie eindeutig ist, befindet sich an einem Scheitelpunkt des Bereichs. Diese sind die Lösungen der Systeme:

 

{1/3x + 1/2y = 100; \ \ \ x = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  (0, 200)}

{1/3x + 1/6y = 80;  \ \ \ y = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (240, 0)}

{1/3x + 1/2y = 100; \ \ \ 1/3x + 1/6y=80 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (210, 60)}

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 5

 

 6  Wir berechnen den Wert der Zielfunktion

 

Wir ersetzen in der Zielfunktion jeden einzelnen der Scheitelpunkte.

 

{f(x, y) = 15x + 10y}

{f(0, 200) = 15\cdot 0 + 10\cdot 200 = 2 000}

{f(240, 0 ) = 15\cdot 240 + 10\cdot 0 = 3 600}

{f(210, 60) = 15\cdot 210 + 10\cdot 60 = 3 750} €    Maximum

 

Die optimale Lösung ist die Herstellung von 210 Stücken von Modell {L_{1}} und 60 von Modell {L_{2}}, um einen Gewinn von  3 750 € zu erzielen.

 

Rechenaufgabe zur Kostenminimalisierung

3Ein Transportunternehmen hat zwei Typen von LKW. Typ {A} mit einem gekühlten Bereich von   20 m³ und einem ungekühlten Bereich von  40 m³. Typ  {B} hat das gleiche Gesamtfassungsvermögen, mit einem Anteil an gekühltem und ungekühltem Bereich von  50 %. Das Unternehmen wird beauftragt, einen Transport von  3 000 m³ eines Produkts, das gekühlt werden muss und  4 000 m³ eines anderen Produkts, das keine Kühlung benötigt, durchzuführen. Der Preis pro Kilometer mit einem LKW vom Typ {A} beträgt  30 € und mit einem LKW vom Typ {B}  40 €. Wie viele LKW von jedem Typ müssen eingesetzt werden, damit die Gesamtkosten minimal bleiben?

 1  Auswahl der Unbekannten.

 

{x = \mbox{Lastwagen vom Typ} \; A}

{y = \mbox{Lastwagen vom Typ} \; B}

 

 2  Zielfunktion

 

{f(x,y) = 30x + 40y}

 

 3  Bedingungen

 ABGesamt
Gekühlt20303000
Ungekühlt40304000

 

{20x + 30y \ge 3 000}

{40x + 30y \ge 4 000}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Wir bestimmen die Gesamtheit der durchführbaren Lösungen

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 6

 

 5  Wir berechnen die Koordinaten der Scheitelpunkte des Bereichs der durchführbaren Lösungen.

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 7

 

 6  Wir berechnen den Wert der Zielfunktion

 

{f(0, 400/3) = 30 \cdot 0 + 40 \cdot 400/3 = 5 333.332}

{f(150, 0) = 30 \cdot 150 + 40 \cdot 0 = 4 500}

 

Da {x} und {y} natürliche Zahlen sein müssen, runden wird den Wert für {y}.

 

{f(50, 67) = 30 \cdot 50 + 40 \cdot 67 = 4180}

 

Wir sehen nun, welchen Wert {x} für {y = 66} in der Gleichung {20x + 30y = 3000} einnimmt, der zum Bereich der durchführbaren Lösungen gehört; {x = 51}. Wir erhalten eine natürliche Zahl

 

{f(51, 66) = 30 \cdot 51 + 40 \cdot 66 = 4170}

 

Die Minimalkosten liegen bei {4 170} € für {A = 51} und {B = 66}

Decken von Mindestausgaben berechnen

4Auf einer Hühnerfarm soll das Futter der Hühner umgestellt werden, damit diese schneller wachsen. Sie erhalten eine Mischung aus 15 Einheiten einer Substanz {A} und weitere 15 Einheiten einer anderen Substanz {B}. Auf dem Markt sind nur zwei Arten von Zusammensetzungen erhältlich: Typ {X} mit einer Zusammensetzung aus einer Einheit von {A} und 5 von {B}. Der andere Typ, {Y}, ist eine Zusammensetzung aus fünf Einheiten von {A} und einer Einheit von {B}. Der Preis für Typ {X} liegt bei 10 Euro und für Typ {Y} bei 30 €. Welche Menge muss von jedem Typ gekauft werden, um die minimalen Kosten zu decken?

 1  Auswahl der Unbekannten.

 

{x = X}

{y = Y}

 

 2  Zielfunktion

 

{f(x,y) = 10x + 30y}

 

 3  Bedingungen

 XYMinimum
A1515
B5115

 

{x + 5y \ge 15}

{5x + y \ge 15}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Wir bestimmen die Gesamtheit der durchführbaren Lösungen

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 8

 

 5  Wir berechnen die Koordinaten der Scheitelpunkte des Bereichs der durchführbaren Lösungen.

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 9

 

 6  Wir berechnen den Wert der Zielfunktion

 

{f(0, 15) = 10 \cdot 0 + 30 \cdot 15 = 450}

{f(15, 0) = 10 \cdot 15 + 30 \cdot 0 = 150}

{f(5/2, 5/2) = 10 \cdot 5/2 + 30 \cdot 5/2 = 100}   Minimum

 

Die minimalen Kosten liegen bei {100} € für {X = 5/2} und {Y = 5/2}.

 

Berechnen eines Maximalgewinns: Aufgabe 1

5Zu Beginn des neuen Schuljahres sollen Schulmaterialien angeboten werden. Ein Kaufhaus möchte 600 Hefte, 500 Mappen und 400 Kugelschreiber anbieten, die auf zwei unterschiedliche Arten verpackt werden. Im ersten Paket sind 2 Hefte, 1 Mappe und 2 Kugelschreiber. Im zweiten Paket sind 3 Hefte, 1 Mappe und 1 Kugelschreiber. Die Preise für die Pakete liegen bei jeweils bei 6,5 und 7 €. Wie viele Pakete müssen von jeder Art verkauft werden, damit der Maximalgewinn erzielt werden kann?

 1  Auswahl der Unbekannten.

 

{x = P_{1}}

{y = P_{2}}

 

 2  Zielfunktion

 

{f(x, y) = 6.5x + 7y}

 

 3  Einschränkungen

 P1P2Verfügbar
Hefte23600
Mappen11500
Kugelschreiber21400

 

{2x + 3y \le 600}

{x + y \le 500}

{2x + y \le 400}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Wir bestimmen die Gesamtheit der durchführbaren Lösungen

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 10

 

 5  Wir berechnen die Koordinaten der Scheitelpunkte des Bereichs der durchführbaren Lösungen.

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 11

 

 6  Wir berechnen den Wert der Zielfunktion

 

{f(x,y) = 6,5 \cdot 200 + 7 \cdot 0 = 1300}

{f(x,y)= 6,5 \cdot 0 + 7 \cdot 200 = 1 400}

{f(x,y)= 6,5 \cdot 150 + 7 \cdot 100 = 1 675} €    Maximum

 

Die optimalen Lösungen sind 150 {P_{1}} und 100 {P_{2}}, damit 1 675 € erzielt werden können.

 

Berechnen eines Maximalgewinns: Aufgabe 2

6Ein Kaufhaus möchte 200 Hemden und 100 Hosen aus der vergangenen Saison abverkaufen. Dazu gibt es zwei Angebote A und B. Angebot A besteht aus einem Set aus einem Hemd und einer Hose und wird für 30 € angeboten. Angebot B besteht aus einem Set aus drei Hemden und einer Hose und wird für 50 € angeboten. Es sollen nicht weniger als 20 Set von Angebot A angeboten werden und auch nicht weniger als 10 von Angebot B. Wie viele müssen von jedem Set verkauft werden, damit der Maximalgewinn erzielt werden kann?

 1  Auswahl der Unbekannten.

 

{x = \mbox{Anzahl Set A}}

{y = \mbox{Anzahl Set B}}

 

 2  Zielfunktion

 

{f(x, y) = 30x + 50y}

 

 3  Einschränkungen

 ABMinimum
Hemden13200
Hosen11100

 

{x + 3y \le 200}

{x + y \le 100}

{x \ge 20}

{ y \ge 10}

 

 4  Wir bestimmen die Gesamtheit der durchführbaren Lösungen

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 12

 

 5  Wir berechnen die Koordinaten der Scheitelpunkte des Bereichs der durchführbaren Lösungen.

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 13

 

 6  Wir berechnen den Wert der Zielfunktion

 

{f(x, y) = 30 \cdot 20 + 50 \cdot 10 = 1100}

{f(x, y) = 30 \cdot 90 + 50 \cdot 10 = 3200}

{f(x, y) = 30 \cdot 20 + 50 \cdot 60 = 3600}

{f(x, y) = 30 \cdot 50 + 50 \cdot 50 = 4000} €    Maximum

 

Mit 50 Sets von jedem Typ wird ein Maximalgewinn von 4000 € erzielt.

 

Berechnen eines Maximalgewinns: Aufgabe 3

7Es werden 600 g einer pharmazeutischen Substanz für die Herstellung von großen und kleinen Tabletten benötigt. Die großen Tabletten wiegen 40 g und die kleinen 30 g. Es werden mindestens drei große Tabletten benötigt und mindestens doppelt so viele kleine wie große. Jede große Tablette erzielt einen Gewinn von 2 € und die kleine von 1 €. Wie viele Tabletten müssen jeweils hergestellt werden, damit der Maximalgewinn erzielt werden kann?

 1  Auswahl der Unbekannten.

 

{x = \mbox{große Tabletten}}

{y = \mbox{kleine Tabletten}}

 

 2  Zielfunktion

 

{f(x, y) = 2x + y}

 

 3  Einschränkungen

 

{40x + 30y \le 600}

{x \ge 3}

{y \ge 2x}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Wir bestimmen die Gesamtheit der durchführbaren Lösungen

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 14

 

 5  Wir berechnen die Koordinaten der Scheitelpunkte des Bereichs der durchführbaren Lösungen.

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 15

 

 6  Wir berechnen den Wert der Zielfunktion

 

{f(x, y) = 2 \cdot 3 + 16 = 22}

{f(x, y) = 2 \cdot 3 + 6 = 12}

{f(x, y) = 2 \cdot 6 + 12 = 24} €    Maximum

 

Der Maximalgewinn liegt bei 24 € und wird durch 6 große Tabletten und 12 kleine Tabletten erzielt.

 

Berechnen der kostengünstigsten Option

8Eine Schule bereitet einen Ausflug für 400 Schüler vor. Das Transportunternehmen hat 8 Busse mit 40 Plätzen und 10 mit 50 Plätzen, aber nur 9 Fahrer. Die Miete für einen Reisebus beträgt 800 €, für einen kleinen Bus 600 €. Berechne, wie viele Busse von jedem Typ benötigt werden, damit der Ausflug für die Schule so günstig wie möglich ist.

 1  Auswahl der Unbekannten.

 

{x = \mbox{kleine Busse}}

{y = \mbox{große Busse}}

 

 2  Zielfunktion

 

{f(x, y) = 600x + 800y}

 

 3  Einschränkungen

 

{40x + 50y \ge 400}

{x + y \le 9}

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Wir bestimmen die Gesamtheit der durchführbaren Lösungen

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 16

 

 5  Wir berechnen die Koordinaten der Scheitelpunkte des Bereichs der durchführbaren Lösungen.

 

Übungsaufgaben zur linearen Optimierung 17

 

 6  Wir berechnen den Wert der Zielfunktion

 

{f(0, 8) = 600 \cdot 0 + 800 \cdot 8 = 6 400}

{f(0, 9) = 600 \cdot 0 + 800 \cdot 9 = 7 200}

{f(5, 4) = 600 \cdot 5 + 800\cdot 4 = 6 200} €    Minimum

 

Der Mindestpreis liegt bei 6 200 €, und man benötigt 4 große Busse und 5 kleine Busse.

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.