In welchen Situationen kann uns lineare Optimierung im Alltag nützlich sein?

Lineare Optimierung kann immer dann angewendet werden, wenn man die optimale Lösung für eine alltägliche Situation sucht, die mit Nebenbedingungen verbunden ist. Um die optimale Lösung zu finden, muss die Problemstellung mithilfe mathematischer Formeln definiert werden. In den folgenden Rechenbeispielen werden wir unter anderem sehen, wie man die optimale Lösung für ein Transportunternehmen finden kann, um deren Kosten zu minimieren und wie man die Kosten eines Schulausflugs mithilfe der linearen Optimierung so gering wie möglich halten kann.

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Los geht's

Problemstellungen

 

 1  Ein Transportunternehmen verfügt über zwei Arten von LKWs: LKWs vom Typ A mit einem Kühlraum von {20 m^3} und einem ungekühlten Raum von {40 m^3}; und LKWs vom Typ B mit derselben Transportfläche, die zu 50% gekühlt und zu 50% ungekühlt ist. Das Unternehmen wird damit beauftragt, {3,000 m^3} eines gekühlten Produkts und {4,000 m^3} eines anderen, das keine Kühlung benötigt, zu transportieren. Die Kosten für die Fahrt des LKW-Typs A betragen {30}€, die für LKW-Typ B {40}€.
Wie viele LKWs sollten jeweils eingesetzt werden, um die Gesamtkosten so gering wie möglich zu halten?

 

 1  Definiere die Unbekannten.

{x =} LKWs vom Typ A

{y =} LKWs vom Typ B

 2  Zielfunktion

{f(x,y) = 30x + 40y}

 3  Restriktionen

A B Gesamt
Gekühlt 20 30 3 000
Ungekühlt 40 30 4 000

{20x + 30y \ge  3 000}

{40x + 30y \ge  4 000}

{x \ge  0}

{y \ge  0}

 4  Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

mögliche-lösungen-1
Mögliche Lösungen - Aufgabe 1

 5  Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

koordinaten-eckpunkte-1
Koordinaten ermitteln – Aufgabe 1

 6  Berechne den Wert der Zielfunktion.

{f(0, 400/3) = 30 \cdot 0 + 40 \cdot 400/3 = 5 333.332}

{f(150, 0) = 30 \cdot 150 + 40 \cdot 0 = 4 500}

 

Da {x} und {y} natürliche Zahlen sein müssen, rundet man den Wert von {y} ab.

{f(50, 67) = 30 \cdot 50 + 40 \cdot 67 = 4180}

 

Wir prüfen, welchen Wert {x} für {y = 66} in der Gleichung {20x + 30y = 3000} einnimmt, die in den Bereich der realisierbaren Lösungen fällt; {x = 51}. Man erhält eine natürliche Zahl.

{f(51, 66) = 30 \cdot 51 + 40 \cdot 66 = 4170}

 

Die minimalen Kosten betragen {4 170} € beim Einsatz von {A = 51} und {B = 66}.

 

 

 2  Eine Schult organisiert einen Ausflug für {400} Schüler. Das Busunternehmen besitzt {8} Busse für jeweils {40} Personen und {10} für {50} Personen, aber verfügt lediglich über {9} Fahrer. Die Miete eines großen Busses kostet {800} €; die eines kleinen {600} €. Ermittle, wie viele Busse welcher Art gebucht werden müssen, um die Ausflugskosten so gering wie möglich zu halten.

 

 1  Definiere die Unbekannten.

{x =} kleine Busse

{y = }große Busse

 2  Zielfunktion

{f(x, y) = 600x + 800y}

 3  Restriktionen

{40x + 50y \ge  400}

{x + y \le 9}

{x \ge  0}

{y \ge  0}

{x \le 8}

{y \le 10}

 4  Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

grafica conjunto soluciones factibles problema autobus

 5  Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

grafica coordenadas de los vertices problema autobuses

 6  Berechne den Wert der Zielfunktion.

{f(0, 8) = 600 \cdot 0 + 800 \cdot 8 = 6 400}

{f(0, 9) = 600 \cdot 0 + 800 \cdot 9 = 7 200}

{f(5, 4) = 600 \cdot 5 + 800 \cdot 4 = 6 200} €    Mínimo

 

Die geringsten Kosten liegen bei {6 200} €, wenn man {4} große Busse und {5} kleine Busse mietet.

3 Eine Textilfabrik stellt zwei Arten von Kleidungsstücken unterschiedlicher Baumwoll- und Polyesteranteile her: Modell A wird aus {10} Gramm Polyester und {2} Gramm Baumwolle hergestellt, während für Modell B {5} Gramm Polyester und {6} Gramm Baumwolle benötigt werden. Das Unternehmen verfügt über {300} Gramm Polyester und {120} Gramm Baumwolle. Der Grenznutzen von Modell A beträgt {10} €; der von Modell B {12} €.

Ermittle die Anzahl, die von jedem der Kleidungsstücke hergestellt werden muss, um den höchstmöglichen Grenznutzen aus dem Verkauf der Kleidungsstücke zu erhalten.

 

1 Definiere die Unbekannten.

{x =} Anzahl der Kleidungsstücke Modell A

{y = } Anzahl der Kleidungsstücke Modell B

2 Zielfunktion

{f(x, y) = 10x + 12y}

3 Restriktionen

{10x + 5y \le 300}

{2x + 6y \le 120}

{x \ge  0}

{y \ge  0}

4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

ejercicios programacion lineal 5

5 Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

ejercicios programacion lineal 6

6 Berechne den Wert der Zielfunktion.

{f(0, 0) = 10 \cdot 0 + 12 \cdot 0 = 0}

{f(0, 20) = 10 \cdot 0 + 12 \cdot 20 = 240}

{f(30, 0) = 10 \cdot 30 + 12 \cdot 0 = 300}

{f(24, 12) = 10 \cdot 24 + 12 \cdot 12 = 384}

 

Der höchstmögliche Grenznutzen beträgt {384}€ und wird dann erzielt, wenn {24} Kleidungsstücke des Modells A und {12} des Modells B hergestellt werden.

4 Dieselbe Fabrik aus Beispiel 3 stellt zwei Arten von Kleidungsstücken zu anderen Bedingungen her. Für die Herstellung von Modell A werden {10} Polyester und {2} Baumwolle benötigt, während für Modell B {5} Gramm Polyester und {6} Gramm Baumwolle benötigt werden. Die Fabrik verfügt über {300} Gramm Polyester und {120} Gramm Baumwolle. Der Grenznutzen von Modell A beträgt {10} €; der von Modell B {30} €.

Ermittle die Anzahl, die von jedem der Kleidungsstücke hergestellt werden muss, um den höchstmöglichen Grenznutzen aus dem Verkauf der Kleidungsstücke zu erhalten.

 

1 Definiere die Unbekannten.

{x =} Anzahl der Kleidungsstücke Modell A

{y = } Anzahl der Kleidungsstücke Modell B

2 Zielfunktion

{f(x, y) = 10x + 30y}

3 Restriktionen

{10x + 5y \le 300}

{2x + 6y \le 120}

{x \ge  0}

{y \ge  0}

4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

ejercicios programacion lineal 5

5 Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

ejercicios de programacion lineal 7

6 Berechne den Wert der Zielfunktion.

{f(0, 0) = 10 \cdot 0 + 30 \cdot 0 = 0}

{f(0, 20) = 10 \cdot 0 + 30 \cdot 20 = 600}

{f(30, 0) = 10 \cdot 30 + 30 \cdot 0 = 300}

{f(24, 12) = 10 \cdot 24 + 30 \cdot 12 = 600}

 

Die optimalen Lösungen sind alle Werte, die auf dem farbig hinterlegten Bereich der Geraden {2x + 6y = 120} liegen; die Rechenaufgabe besitzt also mehrere alternative Optimallösungen mit einem höchstmöglichen Grenznutzen von {600} €.

5 Auf einer Farm erhalten die Tiere zwei Arten von Futter mit unterschiedlichem Nährwert. Das erste Futter enthält {30 mg/oz} Aminosäuren vom Typ 1 und {20 mg/oz} Aminosäuren vom Typ 2. Das zweite Futter enthält {80 mg/oz} Aminosäuren vom Typ 1 und {40 mg/oz} Aminosäuren vom Typ 2. Futter 1 kostet {0.2} € pro Kilogramm; Futter 2 dagegen {0.5}. Das Futter kann beliebig kombiniert werden, solange immer mindestens drei Gramm von Typ 2 pro Ration enthalten sind. Wenn der tägliche Mindestbedarf an Aminosäuren von Typ 1 {690 mg} und von Typ 2 {430 mg} beträgt, wie viel Gramm welchen Futters muss jedes Tier erhalten, um die Fütterungskosten so gering wie möglich zu halten?

1 Definiere die Unbekannten.

{x =} Gramm des Nahrungsmittels Typ 1

{y = } Gramm des Nahrungsmittels Typ 2

2 Zielfunktion

{f(x, y) =0.20x + 0.5y}

3 Restriktionen

{30x + 80y \ge  690}

{20x + 40y \ge  430}

{x \ge  0}

{y \ge  3}

4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

ejercicio programacion lineal 8

5 Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

ejercicio programacion lineal 9

6 Berechne den Wert der Zielfunktion.

{f(0, 10.75) = 0.2 \cdot 0 + 0.5 \cdot 10.75 = 5.4}

{f(15.5, 3) = 0.2 \cdot 15.5 + 0.5 \cdot 3 = 4.6}

Der Optimalwert liegt bei {(15.5, 3)}. Die geringsten Fütterungskosten pro Tier liegen bei {4.6} € und werden dann erzielt, wenn man {15.5} Gramm Futter von Typ 1 und {3} von Typ 2 gibt.

6 Ein Händler kauft Birnen und Äpfel im Wert von {200} €. Die Birnen erhält er für {0.6} € pro Kilogramm, die Äpfel für {1} € pro Kilogramm. In seinem Fahrzeug kann er maximal {700 kg} transportieren. Er möchte die Birnen für {1.5} € und die Äpfel für {2.75} € weiterverkaufen. Seinen Kunden muss er dabei mindestens {200 kg} Birnen zur Verfügung stellen.
Wie viel Kilo Birnen und Äpfel muss er jeweils kaufen, um den größten Gewinn aus dem Verkauf zu ziehen?

1 Definiere die Unbekannten.

{x =} Kilo Birnen

{y = } Kilo Äpfel

2 Zielfunktion

{f(x, y) = 1.50x + 2.75y}

3 Restriktionen

{0.6x + y \le 200}

{x + y \le 700}

{x \ge  200}

{y \ge  0}

4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

ejercicios de programacion lineal 10

5 Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

ejercicios de programacion lineal 11

6 Berechne den Wert der Zielfunktion.

{f(200, 0) = 1.5 \cdot 200 + 2.75 \cdot 0 = 300}

{f(333.33, 0) = 1.5 \cdot 333.33 + 2.75 \cdot 0 = 500}

{f(200, 80) = 1.5 \cdot 200 + 2.75 \cdot 80 = 520}

 

Der Optimalwert beträgt {(200, 80)} und bringt den höchstmöglichen Gewinn von {520} €.

7 Ein Unternehmen, das Dekoartikel herstellt, verfügt über {63} Einheiten Material und {54} Stunden Arbeitskraft. Um Dekoartikel vom Typ 1 herzustellen, werden {3} Einheiten Material und {9} Stunden Arbeitskraft benötigt; für einen Dekoartikel vom Typ 2 {4} Einheiten Material und {6} Stunden Arbeitskraft. Der Gewinn, der durch den Verkauf von Artikel 1 erzielt werden kann, beträgt {15} €, von Artikel 2 {11} €. Das Unternehmen hat sich vorgenommen, von Artikel 1 mindestens ein Stück zu produzieren.
Wie viele Artikel müssen jeweils hergestellt werden, um den höchsten Gewinn zu erzielen?

1 Definiere die Unbekannten.

{x =} Dekoartikel Typ 1

{y = } Dekoartikel Typ 2

2 Zielfunktion

{f(x, y) = 15x + 11y}

3 Restriktionen

{3x + 4y \le 63}

{9x + 6y \le 54}

{x \ge  1}

{y \ge  0}

4 Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

ejercicios de programacion lineal 12

5 Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

ejercicios de programacion lineal 13

6 Berechne den Wert der Zielfunktion.

{f(1, 0) = 15 \cdot 1 + 11 \cdot 0 = 15}

{f(6, 0) = 15 \cdot 6 + 11 \cdot 0 = 90}

{f(1, 7) = 15 \cdot 1 + 11 \cdot 7 = 92}

 

Beim Optimalwert von {(1, 7)} Dekoartikeln wird der höchstmögliche Gewinn von {92} € erzielt.

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.