Aufgabenstellung

Ein Warenhaus bestellt Sporthosen und-jacken bei einem Hersteller. Der Hersteller verfügt für die Produktion über 750 m Baumwollstoff und 1000 m Polyesterstoff. Für die Herstellung jeder Hose benötigt er 1 m Baumwollstoff und 2 m Polyesterstoff; für jede Jacke 1.5 m Baumwollstoff und 1 m Polyesterstoff. Eine Hose soll im Verkauf 50 € kosten, eine Jacke 40 €.

 

¿Wie viele Hosen und Jacken muss der Hersteller liefern, damit das Warenhaus den größtmöglichen Gewinn erzielt?

 

Lösung:

 

 1  Definiere die Unbekannten

 

{x = \mbox{Anzahl der Hosen}}

 

{y = \mbox{Anzahl der Jacken}}

 

 2  Zielfunktion

 

{f(x,y)= 50x + 40y}

 

 3  Restriktionen

 

Um die Restriktionen zu definieren, stellt man alle Werte in einer Tabelle dar:

 

Hosen Jacken verfügbar
Baumwollstoff 1

1,5

750

Polyesterstoff 2

1

1000

 

{x + 1.5y  \le 750 2x+3y \le 1500}

{2x + y \le 1000}

 

Da die Anzahl der Hosen und Jacken mit natürlichen Zahlen angegeben werden, gibt es außerdem die folgenden beiden Restriktionen:

 

{x \ge 0}

{y \ge 0}

 

 4  Finde die Menge der realisierbare Lösungen. Stelle dazu die Restriktionen grafisch dar.

 

Da {x \ge 0} ist und {y \ge 0}, schaut man sich nur den ersten Quadranten an.

 

Zeichne die Geraden in das Koordinatensystem mit den Schnittpunkten auf der jeweiligen Achse ein.

 

Darstellung im Koordinatensystem 1

 

Löse die Ungleichung mit der grafischen Methode: {x + 1.5y \le 750}
Wähle dafür einen Punkt auf der Ebene, zum Beispiel {(0,0)}.

 

{0 + 1.5(0) \le 750}

 

{0 \le 750}
Der Punkt {(0,0)} befindet sich also auf der Halbebene, für die die Ungleichung Lösungswerte besitzt.

 

Löse analog dazu {2x + y \le 1000}.

 

{2(0) + 0 \le 1 000}

 

Die Zone, in der sich die Lösungen der Ungleichungen schneiden, stellt die zulässige Lösungsmenge dar.

 

Darstellung im Koordinatensystem 2

 

 5  Ermittle nun, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

 

Wenn es nur eine Optimallösung gibt, befindet sich diese an einem Eckpunkt. Dies sind die Lösungen des Systems:

 

{2x + 3y = 1500;  \  \  \ x = 0; \ \ \ \Longrightarrow  \ \ \ (0, 500)}

{2x + y = 1000; \ \ \  y = 0; \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ (500, 0)}

{2x + 3y =1500; \ \ \  2x + y = 1000; \ \ \ \Longrightarrow \ \ \  (375, 250)}

 

Darstellung im Koordinatensystem 3

 

 6  Berechne nun den Wert der Zielfunktion

 

Setze die Werte jedes Eckpunkts in die Zielfunktion ein.

 

{f(x, y) = 50x + 40y}

{f(0, 500) = 50(0) + 40(500) = 20 000}

{f(500, 0) = 50(500) + 40(0) = 25 000}

{f(375, 250) = 50(375) + 40(250) = 28 750} €, d.h. man erhält einen Maximalwert.

 

Die Optimallösung ist es, 375 Hosen und 250 Jacken herzustellen, um einen Gewinn von 28750 € zu erzielen.

 

Nicht immer gibt es eine einzige optimale Lösung.

 

Wenn die Zielfunktion des Rechenbeispiels folgende gewesen wäre:

 

{f(x,y)= 20x + 30y}

{f(0,500) = 20(0) + 30(500) = 15 000} € (Maximum)

{f(500, 0) = 20(500) + 30(0) = 10 000}

{f(375, 250) = 20(375) + 30(250) = 15 000} € (Maximum)

 

In diesem Fall wären alle ganzen Zahlen, die sich auf der schwarz eingezeichneten Geraden befinden, Maximalwerte.

 

Darstellung im Koordinatensystem 4

 

{f(300, 300)= 20(300) + 30(300) = 15 000}

 

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.