Optimierung der Produktion in einer Lampenfabrik

Ein Unternehmen stellt zwei Arten von Lampen, Modell L1 und Modell L2, her und vertreibt diese.

Für die Herstellung von Modell L1 ist manuelle Arbeit von 20 Minuten, für Modell L2 von 30 Minuten nötig; für Modell L1 werden 20 Minuten maschinelle Arbeit benötigt, für Modell L2 10 Minuten.

Das Unternehmen verfügt über Arbeitskraft für 100 Stunden manuelle Arbeit und 80 Stunden maschinelle Arbeit pro Monat. Der Gewinn pro verkaufter Lampe beträgt 15€ für Modell L1 und 10€ für Modell L2.

Unter welchen Bedingungen wird der höchste Gewinn erzielt?

 

 

Ein Unternehmen stellt zwei Arten von Lampen, Modell L1 und L2, her und vertreibt diese.
Für die Herstellung von Modell L1 ist manuelle Arbeit von 20 Minuten, für Modell L2 von 30 Minuten nötig; für Modell L1 werden 20 Minuten maschinelle Arbeit benötigt, für Modell L2 10 Minuten.

 

Das Unternehmen verfügt über Arbeitskraft für 100 Stunden manuelle Arbeit und 80 Stunden maschinelle Arbeit pro Monat. Der Gewinn pro verkaufter Lampe beträgt 15€ für Modell L1 und 10€ für Modell L2.Unter welchen Bedingungen wird der höchste Gewinn erzielt?

 

 1  Definiere die Unbekannten.

 

x = Anzahl der Lampen des Modells L1

y = Anzahl der Lampen des Modells L2

 

 2  Zielfunktion

 

f(x, y) = 15x + 10y

 

 3  Restriktionen

 

Rechne die Zeitangaben in Stunden um

 

20 min = 1/3 h

30 min = 1/2 h

10 min = 1/6 h

 

Um die Restriktionen zu definieren, stellt man alle Werte in einer Tabelle dar:

 

L1 L2 Benötigte Zeit
Manuelle Arbeit 1/3 1/2 100
Maschinelle Arbeit 1/3 1/6 80

 

1/3x + 1/2y ≤ 100

1/3x + 1/6y ≤ 80

 

Da die Anzahl der Lampen mit natürlichen Zahlen angegeben wird, gelten außerdem die folgenden Restriktionen:

 

x ≥ 0

y ≥ 0

 

 4  Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

 

Stelle die Restriktionen dazu grafisch dar.
Da x ≥ 0 und y ≥ 0 schaut man sich nur den ersten Quadranten an.
Zeichne die Geraden in das Koordinatensystem mit den Schnittpunkten auf der jeweiligen Achse ein.

 

Löse die Ungleichung mit der grafischen Methode: 1/3 x + 1/2 y ≤ 100; Wähle dafür einen Punkt auf der Ebene, zum Beispiel (0,0).

 

1/3·0 + 1/2·0 ≤ 100

1/3·0 + 1/6·0 ≤ 80

 

Die Zone, in der sich die Lösungen der Ungleichungen schneiden, stellt die zulässige Lösungsmenge dar.

 

 

zulässige-lösungsmenge-1
Darstellung im Koordinatensystem 1
 

 

 5  Ermittle nun, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

 

Wenn es nur eine Optimallösung gibt, befindet sich diese an einem Eckpunkt. Dies sind die Lösungen des Systems:

 

1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)

1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 

1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60) 

 

koordinaten-ermitteln-1
Eckpunte zulässiger Lösungsbereich 1

 

 

 

 6  Berechne nun den Wert der Zielfunktion

 

Setze die Werte jedes Eckpunkts in die Zielfunktion ein.

 

f(x, y) = 15x + 10y

f(0, 200) = 15·0 + 10·200 = 2 000 €

f(240, 0 ) = 15·240 + 10·0 = 3 600 €

f(210, 60) = 15·210 + 10·60 = 3 750 € (Maximum)

 

Die Optimallösung ist es, 210 Lampen des Modells L1 und 60 Lampen des Modells L1 herzustellen, um einen Gewinn von 3 750 € zu erzielen.

 

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Los geht's

Optimierung beim Verkauf von Schulmaterialien

 

Zu Beginn des neuen Schuljahrs sind Schulmaterialien im Angebot.

Ein Warenhaus möchte 600 Schulhefte, 500 Schulordner und 400 Kugelschreiber in Form von zwei unterschiedlichen Sets anbieten:
Das erste Set enthält 2 Schulhefte, 1 Ordner und 2 Kugelschreiber; das zweite enthält 3 Schulhefte, 1 Ordner und 1 Kugelschreiber.

Set 1 soll im Verkauf für 6,50€, Set 2 für 7€ erhältlich sein.

Wie viele Sets jeder Art sollten hergestellt werden, um den höchsten Gewinn zu erzielen?

 

 

Zu Beginn des neuen Schuljahrs sind Schulmaterialien im Angebot.

 

Ein Warenhaus möchte 600 Schulhefte, 500 Schulordner und 400 Kugelschreiber in Form von zwei unterschiedlichen Sets anbieten:
Das erste Set enthält 2 Schulhefte, 1 Ordner und 2 Kugelschreiber; das zweite enthält 3 Schulhefte, 1 Ordner und 1 Kugelschreiber.

 

Set 1 soll im Verkauf für 6,50€, Set 2 für 7€ erhältlich sein.

 

Wie viele Sets jeder Art sollten hergestellt werden, um den höchsten Gewinn zu erzielen?

 

 1  Definiere die Unbekannten.

x = P1

y = P2

 

2  Zielfunktion

f(x, y) = 6.5x + 7y

 

3  Restriktionen

 

 

P1 P2 Verfügbarkeit
Schulhefte 2 3 600
Schulordner 1 1 500
Kugelschreiber 2 1 400

 

2x + 3y ≤ 600

x + y ≤ 500

2x + y ≤ 400

x ≥ 0

y ≥ 0

 

4  Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

 

zulässige-lösungsmenge-2
Darstellung im Koordinatensystem 2

 

 

 

 

 

5  Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

 

koordinaten-ermitteln-2
Eckpunte zulässiger Lösungsbereich 2

 

 

 

6 Berechne den Wert der Zielfunktion

 

f(x,y) = 6.5 · 200 + 7 · 0 = 1300 €

f(x,y)= 6.5 · 0 + 7 · 200 = 1 400 €

f(x,y)= 6.5 · 150 + 7 · 100 = 1 675 €  , d.h. man erhält einen Maximalwert.

 

Die Optimallösung ist es, 150 P1 und 100 P2 zu vertreiben, um einen Gewinn von 1 675 € zu erzielen.

 

 

Optimierung der Fütterung auf einer Farm

 

Auf einer Hühnerfarm wird den Tieren Futter für eine schnelle Gewichtszunahme verabreicht, das sich zu mindestens 15 Einheiten eines Nährstoffes A und 15 eines Nährstoffes B zusammensetzt.

Auf dem Markt angeboten werden zwei Arten von Futter: Futter X mit einer Zusammensetzung von einer Einheit des Nährstoffes A und 5 des Nährstoffes B; und Futter Y mit einer Zusammensetzung von 5 Einheiten des Nährstoffes A und einer Einheit des Nährstoffes B. Futter X kostet 10€ und Futter Y 30€.

Wie viel muss von jedem Futter gekauft werden, um den Bedarf zum geringsten Preis abzudecken?

 

 

 

Auf einer Hühnerfarm wird den Tieren Futter für eine schnelle Gewichtszunahme verabreicht, das sich zu mindestens 15 Einheiten eines Nährstoffes A und 15 eines Nährstoffes B zusammensetzt.

 

Auf dem Markt angeboten werden zwei Arten von Futter: Futter X mit einer Zusammensetzung von einer Einheit des Nährstoffes A und 5 des Nährstoffes B; und Futter Y mit einer Zusammensetzung von 5 Einheiten des Nährstoffes A und einer Einheit des Nährstoffes B. Futter X kostet 10€ und Futter Y 30€.

 

Wie viel muss von jedem Futter gekauft werden, um den Bedarf zum geringsten Preis abzudecken?

 

1  Definiere die Unbekannten.

x = X

y = Y

 

2  Zielfunktion

f(x,y) = 10x + 30y

 

3  Restriktionen

 

 

X Y Minimum
A 1 5 15
B 5 1 15

 

x + 5y ≥ 15

5x + y ≥ 15

x ≥ 0

y ≥ 0

 

4  Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

 

zulässige-lösungsmenge-3
Darstellung im Koordinatensystem 3

 

 

 

 

 

5  Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

 

koordinaten-ermitteln-3
Eckpunte zulässiger Lösungsbereich 3

 

 

 

 

 

6  Berechne den Wert der Zielfunktion

 

f(0, 15) = 10 · 0 + 30 · 15 = 450

f(15, 0) = 10 · 15 + 30 · 0 = 150

f(5/2, 5/2) = 10 · 5/2 + 30 · 5/2 = 100   (Minimum)

 

Die geringsten Kosten liegen bei 100 € für X = 5/2 und Y = 5/2.

 

 

Optimierung bei der Herstellung von Medizinprodukten

 

Ein medizinischer Hersteller verfügt über 600 g eines Arzneimittels, um große und kleine Tabletten zu produzieren. Die großen sollen 40 g wiegen, die kleinen 30 g.

Für die Packung großer Tabletten werden mindestens drei Tabletten benötigt, für die Packung kleine Tabletten mindestens doppelt so viele. Jede Tablette bringt einen Gewinn von 2€ (große Tabletten) und 1€ (kleine Tabletten) ein.

Wie viele Tabletten müssen jeweils hergestellt werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen?

 

 

Ein medizinischer Hersteller verfügt über 600 g eines Arzneimittels, um große und kleine Tabletten zu produzieren. Die großen sollen 40 g wiegen, die kleinen 30 g.

 

Für die Packung großer Tabletten werden mindestens drei Tabletten benötigt, für die Packung kleine Tabletten mindestens doppelt so viele. Jede Tablette bringt einen Gewinn von 2€ (große Tabletten) und 1€ (kleine Tabletten) ein.

 

Wie viele Tabletten müssen jeweils hergestellt werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen?

 

1  Definiere die Unbekannten.

x = Anzahl der großen Tabletten

y = Anzahl der kleinen Tabletten

 

2  Zielfunktion

f(x, y) = 2x + y

 

3  Restriktionen

40x + 30y ≤ 600

x ≥ 3

y ≥ 2x

x ≥ 0

y ≥ 0

 

4  Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

 

zulässige-lösungsmenge-4
Darstellung im Koordinatensystem 4

 

 

 

 

5  Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

 

koordinaten-ermitteln-4
Eckpunte zulässiger Lösungsbereich 4

 

 

 

 

 

6  Berechne den Wert der Zielfunktion

 

f(x, y) = 2 · 3 + 16 = 22 €

f(x, y) = 2 · 3 + 6 = 12 €

f(x, y) = 2 · 6 + 12 = 24 €    (Maximum)

 

Der höchste Gewinn von 24 € wird dann erzielt, wenn  6 große Tabletten und 12 kleine hergestellt werden.

 

 

 

Optimierung beim Schlussverkauf im Kleiderhandel

 

Ein Kaufhaus möchte 200 Hemden und 100 Hosen der vorherigen Saison zu Sonderpreisen anbieten.
Dafür werden die Angebot A und B entworfen.

Angebot A enthält ein Set aus einem Hemd und einer Hose, das für 30€ verkauft werden soll. Angebot B enthält ein Set aus drei Hemden und einer Hose und soll 50€ kosten. Es sollen mindestens 20 Sets für Angebot A und 10 Sets für Angebot B vorbereitet werden.

Wie viele Sets jeder Art müssen verkauft werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen?

 

 

Ein Kaufhaus möchte 200 Hemden und 100 Hosen der vorherigen Saison zu Sonderpreisen anbieten.
Dafür werden die Angebot A und B entworfen.

 

Angebot A enthält ein Set aus einem Hemd und einer Hose, das für 30€ verkauft werden soll. Angebot B enthält ein Set aus drei Hemden und einer Hose und soll 50€ kosten. Es sollen mindestens 20 Sets für Angebot A und 10 Sets für Angebot B vorbereitet werden.

 

Wie viele Sets jeder Art müssen verkauft werden, um den maximalen Gewinn zu erzielen?

 

1  Definiere die Unbekannten.

x = Anzahl des Sets A

y = Anzahl des Sets B

 

2  Zielfunktion

f(x, y) = 30x + 50y

 

3  Restriktionen

 

 

A B Minimum
Hemden 1 3 200
Hosen 1 1 100

 

x + 3y ≤ 200

x + y ≤ 100

x ≥ 20

 y ≥ 10

 

4  Finde die Menge der realisierbare Lösungen.

 

zulässige-lösungsmenge-5
Darstellung im Koordinatensystem 5
 

 

5  Ermittle, welche Koordinaten die Eckpunkte des zulässigen Lösungsbereichs haben.

 

koordinaten-ermitteln-5
Eckpunte zulässiger Lösungsbereich 5

 

 

 

 

 

6  Berechne den Wert der Zielfunktion

 

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 10 = 1100 €

f(x, y) = 30 · 90 + 50 · 10 = 3200 €

f(x, y) = 30 · 20 + 50 · 60 = 3600 €

f(x, y) = 30 · 50 + 50 · 50 = 4000 €    (Maximum)

 

Der maximale Gewinn von 4000 € wird erzielt, wenn man jeweils 50 der beiden Sets verkauft.

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.