1

Ermittle die Gleichung der Ebene, die durch den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene verläuft und parallel zu folgenden Geraden ist:

Lösung

Die stetigen Gleichungen der Geraden r werden in implizite Gleichungen umgewandelt, und diese bilden zusammen mit der Gleichung der Ebene ein System, dessen Lösung der Schnittpunkt ist.

Die Ebene wird durch den Schnittpunkt und die Richtungsvektoren der zur Ebene parallelen Geraden bestimmt.

2

Ermittle die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt verläuft und an die folgenden Geraden angelehnt ist:

.

Lösung

Wir erhalten einen generischen Punkt auf der Geraden r.

Wir erhalten einen generischen Punkt auf der Geraden s.

Wir berechnen die Gleichung der Geraden, die durch P und Q verläuft.

Da die Gerade durch den Punkt verläuft, erhalten wir:

Wir setzen diese beiden Werte in die Gleichung der Geraden ein:

Wir führen die entsprechenden Berechnungen durch und vereinfachen.

3

 Ermittle die Werte der Parameter a und b, so dass die Gerade mit der Ebene übereinstimmt.

Lösung

Die stetigen Gleichungen der Geraden r werden in implizite Gleichungen umgewandelt, und diese bilden zusammen mit der Gleichung der Ebene das folgende System:

Damit die Gerade mit der Ebene übereinstimmt, muss gelten:

Daher hebt sich die Determinante der Ordnung 3 der beiden Matrizen auf.

 

4

Berechne die Werte der Parameter und , so dass die Ebenen:

auf derselben Geraden verlaufen.

Lösung

Damit die drei Ebenen durch dieselbe Gerade verlaufen, muss dies der Fall sein:

Und somit

Wir berechnen also :

Schließlich berechnen wir :

 

5

Untersuche die relative Lage der folgenden Ebenen für verschiedene Werte von a:

Lösung

Bei der Determinante der Koeffizientenmatrix addieren wir die beiden anderen Zeilen zur ersten Zeile und klammern dann den gemeinsamen Faktor aus.

Wir subtrahieren die erste Zeile von jeder Zeile:

Daher schneiden sich die drei Ebenen in einem Punkt.

Auch wenn . Die drei Gleichungen sind identisch, so dass die drei Ebenen zusammenfallen.

Aber wenn ,

Da es kein Paar paralleler Ebenen gibt, schneiden sich die drei Ebenen paarweise und bilden eine prismatische Fläche.

6

 Untersuche die relativen Lagen der Ebene und der Geraden
anhand der Werte des Parameters .

Lösung

Wir bilden das folgende Gleichungssystem:

Die Gerade schneidet die Ebene an einem einzigen Punkt.

 

Die Gerade ist in der Ebene enthalten.

Die Gerade ist parallel zur Ebene.

7

Bestimme , so dass die Gerade die Ebene nicht schneidet.

Lösung

Erinnern wir uns zunächst daran, dass eine Gerade und eine Ebene sich nicht schneiden, wenn sie parallel sind. Damit eine Gerade und eine Ebene parallel sind, ist das Skalarprodukt aus dem Vektor der Gerade und dem Normalenvektor der Ebene gleich 0.

8

Ermittle die Werte von und , so dass die Geraden und .

Lösung

Wenn zwei Geraden parallel sind, müssen ihre Richtungsvektoren proportional sein.: .

9

Berechne den Wert von k, so dass die Geraden  und  sich in einem Punkt schneiden. Ermittle diesen Punkt.

Lösung

Zunächst können wir die Gleichung der Geraden r als Schnittpunkt zweier Ebenen umschreiben:

Wir können dann eine der Definitionsgleichungen der Geraden heranziehen, um ein System von drei Gleichungen mit drei Unbekannten zu konstruieren und den Schnittpunkt der drei Ebenen zu berechnen, d. h:

Da der erhaltene Punkt die vier Gleichungen der Ebenen erfüllen muss, können wir die Werte von und in die Gleichung einsetzen, um zu bestimmen:

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Katrin S.

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.