Was ist die Achsenabschnittform der Geradengleichung?

 

Die Achsenabschnittsform einer Geradengleichung ist der algebraische Ausdruck einer Geraden, die anhand der Punkte, an denen die Gerade eine der Achsen des Koordinatensystems schneidet, bestimmt werden kann.

 

Den Wert, an dem die Gerade die X-Achse schneidet, nennen wir a und den Wert, an dem die Gerade die Y-Achse schneidet, nennen wir b, wodurch die zwei Punkte (a, 0)  und  (0, b) in der karthesischen Ebene entstehen.

Funktion der Achsenabschnittsgleichung
In vielen Fällen haben wir die allgemeine Gleichung der Geraden und davon ausgehend benötigen wir die Achsenabschnittsform der Geradengleichung. Deshalb sehen wir uns die algebraische Vorgehensweise an, damit wir auch den Aufbau der Achsenabschnittsform der Geradengleichung verstehen.

 

Wir beginnen mit der allgemeinen Geradengleichung.

Unsere besten verfügbaren Mathe-Nachhilfelehrer
Elisabeth
5
5 (35 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (65 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Lucas
5
5 (46 Bewertungen)
Lucas
33€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (73 Bewertungen)
Rafael
50€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (36 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Peter
5
5 (25 Bewertungen)
Peter
35€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (36 Bewertungen)
Thomas
94€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (20 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Elisabeth
5
5 (35 Bewertungen)
Elisabeth
32€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Andrea
5
5 (65 Bewertungen)
Andrea
75€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Lucas
5
5 (46 Bewertungen)
Lucas
33€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Rafael
5
5 (73 Bewertungen)
Rafael
50€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Boris
5
5 (36 Bewertungen)
Boris
30€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Peter
5
5 (25 Bewertungen)
Peter
35€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Thomas
5
5 (36 Bewertungen)
Thomas
94€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Julien
5
5 (20 Bewertungen)
Julien
25€
/h
Gift icon
1. Unterrichtseinheit gratis!
Los geht's

Allgemeine Geradengleichung

 

Ax+By+C=0

 

Die Achsenabschnittsform der Geradengleichung anhand der allgemeinen Form der Geradengleichung

Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet wie folgt:

 

Ax+By+C=0

 

Wir gehen davon aus, dass x=0 ist, um die Stelle zu ermitteln, an der die Gerade die Y-Achse schneidet. Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet also:

 

By+C=0

 

Wir bestimmen y,

 \displaystyle y=-\frac{C}{B}

 

 

Der ermittelte Wert entspricht b

 

\displaystyle b=-\frac{C}{B}

 

Mit der gleichen Argumentation können wir den Wert a bestimmen

 

\displaystyle a=-\frac{C}{A}

 

Zusammenfassung der Vorgehensweise, um die Achsenabschnittsform der Geradengleichung zu erhalten

 

Wenn die allgemeine Form der Geradengleichung wie folgt lautet

 

Ax+By+C=0,

 

gilt

 \displaystyle a=-\frac{C}{A}

 

\displaystyle b=-\frac{C}{B}

und die Achsenabschnittsform der Geradengleichung ist

 

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

 

Wenn wir von der allgemeinen Form ausgehen

 

Ax+By+C=0

und das konstante Glied auf die andere Seite bringen

 

Ax+By=-C

 

und schließlich durch -C teilen (dieses darf nicht null sein), erhalten wir

 

\displaystyle \frac{Ax}{-C}+\frac{By}{-C}=\frac{-C}{-C}

 

und kommen zu dem Schluss, dass

 

\displaystyle \frac{x}{-\frac{C}{A}}+\frac{y}{-\frac{C}{B}}=1

 

Die Achsenabschnittsform sieht also wie folgt aus

 

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

 

Hierbei gilt:

  • a ist die Abszisse im Ursprung der Geraden.
  • b ist die Ordinate im Ursprung der Geraden.
  • Das konstante Glied der allgemeinen Gleichung darf NICHT null sein. Dies bedeutet, dass die Achsenabschnittform der Geradengleichung NICHT Geraden beschreibt, die durch den Ursprung verlaufen. Somit gilt a=b=0
  • Wenn A oder B der allgemeinen Gleichung null sind, bedeutet dies, dass die Gerade jeweils horizontal oder vertikal verläuft. Dies führt dazu, dass a oder b der Achsenabschnittsform nicht existieren. Somit gibt es auch für diesen Fall keine Achsenabschnittsform der Geradengleichung.

 

 

Formel der Achsenabschnittsform der Geradengleichung

 

\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

 

Beispiele für Problemstellungen bei der Achsenabschnittsform der Geradengleichung

 

1 Eine Gerade legt auf den Koordinatenachsen Segmente zwischen 5 bzw. 3 Einheiten fest. Bestimme ihre Gleichung.
In diesem Fall ist es einfach, da wir anhand der gegebenen Informationen sehen, dass a=5 und b=3. Wir müssen die Werte also nur in die Gleichung einsetzen

 

\displaystyle \frac{x}{5}+\frac{y}{3}=1

 

 

2 Bestimme die Achsenabschnittsform einer Geraden, die durch den Punkt P(-2, 1) verläuft und den Richtungsvektor \vec{v}=(3, -4) hat.

 

Wir stellen fest, dass es aufgrund der uns vorliegenden Informationen sinnvoll ist, die Geradengleichung in ihrer stetigen Form zu verwenden, um ihren Aufbau besser zu verstehen.

 

Wir haben

 

  • Einen Punkt P(x_0,y_0), durch den die Gerade verläuft
  • Einen Richtungsvektor \vec{V}=(a, b).

Die Gleichung der Geraden in ihrer stetigen Form lautet also

 

\displaystyle \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}.

 

 

Damit können wir die Gleichung in ihrer stetigen Form bestimmen:

 

\displaystyle \frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{-4}.

 

Mit dieser Gleichung können wir sie nun in die Achsenabschnittsform der Geradengleichung umwandeln.

 

Aus der allgemeinen Form erhalten wir zunächst die Werte für a und b :

 

Wir bringen die Nenner durch Multiplikation auf die andere Seite

 

-4x-8=3y-3

 

Nun bringen wir alle Ausdrücke auf eine Seite und schreiben die Gleichung in ihrer allgemeinen Form

 

4x+3y+5=0

 

Wir stellen fest, dass C und die Werte A und B der allgemeinen Form der Gleichung ungleich null sind.

 

Wir können also die Achsenabschnittform der Geraden berechnen. Hierbei gilt \displaystyle a=-\frac{5}{4} und \displaystyle b=-\frac{5}{3}. Wir erhalten

 

\displaystyle \frac{x}{-\frac{5}{4}}+\frac{y}{-\frac{5}{3}}=1

 

Wir stellen auch fest, dass die Geradengleichung in ihrer Achsenabschnittsform uns die notwendigen Informationen liefert, um andere Berechnungen durchzuführen, z. B. können wir mit der Geraden x-y+4=0, die mit den Achsen ein Dreieck bildet, dessen Flächeninhalt berechnen.

Die Gerade bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Ursprung und ihre Katheten sind die Abszisse und die Ordinate im Ursprung, also die Werte von a und b der Achsenabschnittsform

 

 \displaystyle a=-\frac{4}{1}=-4

 

    \displaystyle b=-\frac{4}{-1}=4

 

Somit lautet die Achsenabschnittsform der Geradengleichung:

 

\displaystyle \frac{x}{-4}+\frac{y}{4}=1

 

Der Flächeninhalt ist:

 

\displaystyle A=\left |\frac{-4\cdot 4}{2} \right |=8u^{2}

Dieses Ergebnis merken wir uns für unsere nächste Aufgabe.

 

3 Eine Gerade verläuft durch den Punkt A(1,5) und bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck mit der Fläche \displaystyle 18u^{2}. Wie lautet die Gleichung der Geraden?

Wir wenden x=1 und y=5 auf die Achsenabschnittsform an:

 

\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{5}{b}=1

 

Die Fläche des Dreiecks, das die Gerade mit den Achsen bildet, ist:

 

\displaystyle \frac{ab}{2}=18

 

Dadurch entsteht ein Gleichungssystem (zwei Gleichungen, zwei Unbekannte)

 

Wir lösen das Gleichungssystem:

 

Wenn wir bei der ersten Gleichung mit ab multiplizieren und bei der zweiten Gleichung mit 2, entsteht folgendes System

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} b+5a & = & ab \\ ab & = & 36 \end{matrix}\right.

 

Zur Lösung multiplizieren wir beide Gleichungen mit a

 

\displaystyle\left\{\begin{matrix} ab+5a^2 & = & a^2b \\ a^2b & = & 36a \end{matrix}\right.

 

Wir setzen \displaystyle ab=36, \displaystyle a^{2}b=36a in die Gleichung \displaystyle ab+5a^{2}=a^{2}b ein und erhalten eine quadratische Gleichung  \displaystyle 36+5a^{2}=36a. Wir stellen um und erhalten \displaystyle 5a^{2}-36a+36=0.

 

Wir lösen die quadratische Gleichung und erhalten zwei reelle Lösungen (es gibt zwei Geraden, die die Bedingung erfüllen)

 

\displaystyle a=\frac{6}{5}       yund     \displaystyle a=6

 

Um dann den Wert für b zu bestimmen, belegen wir die freie Stelle einer Gleichheit. Das heißt,  \displaystyle b=\frac{36}{a}

 

\displaystyle b=\frac{36}{a}=\frac{36}{\frac{6}{5}}=30     und    \displaystyle b=\frac{36}{a}=\frac{36}{6}=6

 

Das bedeutet, dass die beiden Gleichungen der Geraden, die die Bedingung erfüllen, wie folgt lauten:

 

\displaystyle\frac{x}{\frac{6}{5}}+\frac{y}{30}=1      und      \displaystyle\frac{x}{6}+\frac{y}{6}=1

 

4 Eine Gerade verläuft durch den Punkt A(3, 2) und legt auf den Koordinatenachsen Segmente fest, die auf der x-Achse doppelt so lang sind wie auf der y-Achse. Bestimme die Gleichung dieser Geraden.

Die Grafik stellt das Problem anschaulich dar

 

Funktion der Achsenabschnittsform

 

Wir können die Werte in die Achsenabschnittsform der Geradengleichung einsetzen

 

\displaystyle\frac{3}{2b}+\frac{2}{b}=1

 

Wir multiplizieren mit 2b und erhalten

 

 3+4=2b

 

Das bedeutet:

 

\displaystyle b=\frac{7}{2}

 

Und somit:

 

\displaystyle a=2b=2\cdot \frac{7}{2}=7

 

Die gesuchte Gleichung lautet also

 

\displaystyle \frac{x}{7}+\frac{y}{\frac{7}{2}}=1

>

Die Plattform, die Lehrer/innen und Schüler/innen miteinander verbindet

Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars 5,00 (1 Note(n))
Loading...

Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.