Drei oder mehr Punkte sind kollinear, wenn sie auf derselben Geraden liegen, d. h. ihre Koordinaten sind proportional, und daher beträgt der Rang der durch sie bestimmten Vektoren 1.
Im Folgenden sehen wir uns einige Beispiele für Aufgaben an, bei denen wir kollineare Punkte betrachten.
Überprüfe, ob die Punkte kollinear sind.
Überprüfe, ob die Punkte 
und 
kollinear sind.
Damit die Punkte kollinear sind, muss der Rang der Vektoren 
und 
1 sein. Das heißt, die Vektoren müssen proportional sein.
Bei näherer Betrachtung der Vektoren und lässt sich vermuten, dass diese nicht proportional zu sein scheinen. Dies lässt sich überprüfen, indem man den Betrag des Vektorprodukts zwischen und berechnet und prüft, ob dieser ungleich 0 ist. Das heißt:
Wir berechnen die Determinanten
Da alle Determinanten ungleich 0 sind, ist der resultierende Vektor 
auch ungleich 0. Daraus folgt:
Somit: 
und die Punkte sind nicht kollinear.
Ermittle die Gleichung der Geraden
Ermittle die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte 
und 
verläuft. Untersuche, ob der Punkt 
kollinear mit 
und 
ist.
Wir ermitteln die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte und verläuft und verwenden hierzu den Vektor und den Punkt 
.
Die allgemeine Geradengleichung lautet
,
wobei
der Richtungsvektor und
ein Punkt auf der Geraden ist.
In diesem Fall ist der Richtungsvektor und der Punkt auf der Geraden. Da
,
erhalten wir die Gleichung der Geraden
Damit der Punkt 
kollinear mit und ist, muss er auf der Geraden liegen, die durch und verläuft. Setzt man in die obige Gleichung ein, erhält man
Daher erfüllt die Geradengleichung nicht und ist nicht kollinear mit und .
Werte von m bestimmen
Bestimme die Werte von m, sodass die Punkte 
und 
auf einer Geraden liegen, und bestimme die Gleichungen der Geraden, auf der sie liegen.
Damit die Punkte kollinear sind, muss der Rang der Vektoren und 
1 sein,
Das heißt, wir müssen sicherstellen, dass der Betrag des Vektorprodukts zwischen und gleich 0 ist, was darauf hinausläuft, die folgenden Determinanten zu berechnen.
1
2
3
Aus der ersten Gleichung erhalten wir
,
was bedeutet, dass 
oder 
. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich direkt, dass , und aus der dritten Gleichung, dass
Damit die Punkte auf einer Geraden liegen, muss also sein.
Betrachtet man nun und den Punkt , so ergibt sich die Gleichung der Geraden, die diese beiden enthält, wie folgt:
Mit KI zusammenfassen:
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