Wie sind der Schwerpunkt und die Mediane eines Dreiecks definiert?

 

    • Als Median eines Dreiecks wird die Gerade bezeichnet, die vom Mittelpunkt einer Dreiecksseite zu ihrem gegenüberliegenden Scheitelpunkt verläuft.
    • Der Schwerpunkt des Dreiecks ist der Punkt, an dem sich die drei Mediane schneiden.
    • Der Schwerpunkt wird durch den Buchstaben G repräsentiert.

 

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Los geht's

Eigenschaften des Schwerpunkts

 

    • Der Schwerpunkt teilt jeden Median in zwei Segmente.
    • Das Segment, das den Schwerpunkt mit dem Scheitelpunkt verbindet, ist doppelt so lang wie das Segment, das den Schwerpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite verbindet.

 

 

abbildung-1-mediane-schwerpunkt
Abbildung 1: Mediane und Schwerpunkt eines Dreiecks

 

\overline{BG}=2\overline{GA}

    • Der Schwerpunkt (auch "Massenmittelpunkt") wird als solcher bezeichnet, da um ihn herum die Masse eines Objekts genau gleich verteilt ist. Ein Dreieck aus Karton kann man zum Beispiel auf einer Fingerspitze im Gleichgewicht halten, indem man die Fingerspitze genau unter seinem Schwerpunkt platziert.

 

Koordinaten des Schwerpunkts

 

 

abbildung-2-mediane-schwerpunkt
Abbildung 2: Mediane und Schwerpunkt eines Dreiecks

 

Gegeben sei ein Dreieck mit den Koordinaten:

 

A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3)

 

Die Koordinaten des Schwerpunkts G sind:

 

\displaystyle G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)

 

Gemischte Aufgaben - Ermittle die Gleichungen für die Mediane und den Schwerpunkt

 

Ermittle die Gleichungen der Mediane und des Schwerpunkts eines Dreiecks mit den Scheitelpunkten:

A(2, 0), B(0, 1) und C(-3, -2).

 

 

abbildung-3-mediane-schwerpunkt
Abbildung 3: Mediane und Schwerpunkt eines Dreiecks

 

Was du für die Berechnung wissen solltest:

 

Sind zwei Punkte (x_1,y_1) und (x_2,y_2) gegeben, so sind die Koordinaten des Mittelpunkts:

 

\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)

 

Die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte (x_1,y_1) und (x_2,y_2) verläuft, ist:

 

\displaystyle \frac{y -y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}

 

Ermittle die Koordinaten des Schwerpunkts anhand der Koordinaten des Dreiecks (s. Formel im vorherigen Abschnitt)

 

Gleichung des Medians, der durch den Punkt A und den Mittelpunkt der Geraden BC verläuft

 

Zuerst wird der Mittelpunkt von BC gesucht:

 

\displaystyle M_{BC}\left(\frac{0-3}{2},\frac{1-2}{2}\right) \hspace{2cm} M_{BC}\left(\frac{-3}{2},\frac{-1}{2}\right)

 

Da der Median durch die Punkte A(2,0) und M_{BC} verläuft, zieht man sich die Formel für die Geradengleichung anhand zweier Punkte zuhilfe

 

\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}

 

Setze die Daten der Koordinaten ein und löse auf

 

\displaystyle \frac{x-2}{\frac{-3}{2}-2}=\frac{y}{\frac{-1}{2}} \hspace{2cm} \frac{x-2}{\frac{-3}{2}-\frac{4}{2}}=\frac{y}{\frac{-1}{2}} \hspace{2cm} \frac{x-2}{-\frac{7}{2}}=\frac{y}{-\frac{1}{2}}

 

Da eine Division vom Brüchen vorliegt, kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden

 

\displaystyle -\frac{2(x-2)}{7}=-\frac{2y}{1}

 

Teile die gesamte Gleichung durch -2

 

\displaystyle \frac{x-2}{7}=y

 

Multipliziere mit 7 und bringe alle Terme auf die linke Seite

 

\displaystyle x-2=7y

x-7y-2=0

 

Gleichung des Medians, der durch den Punkt b und den Mittelpunkt der Geraden AC verläuft

 

Wie im vorherigen Rechenverfahren wird nun der Mittelpunkt von AC ermittelt

 

\displaystyle M_{AC}\left(\frac{2-3}{2},\frac{0-2}{2}\right) \hspace{2cm} M_{AC}\left(\frac{-1}{2},-1\right)

 

Da der Median durch die Punkte B(0,1) und M_{AC} verläuft, zieht man sich die Formel für die Geradengleichung anhand zweier Punkte zuhilfe

 

\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}

 

Setze die Daten der Koordinaten ein und löse auf

 

\displaystyle \frac{x-0}{\frac{-1}{2}}=\frac{y-1}{-1-1} \hspace{2cm} \frac{x}{\frac{-1}{2}}=\frac{y-1}{-2}

 

Da eine Division vom Brüchen vorliegt, kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden

 

\displaystyle \frac{2x}{-1}=\frac{y-1}{-2} \hspace{2cm} -2x=\frac{y-1}{-2}

 

Multipliziere die Gleichung mit -2, um den Bruch aufzulösen und bringe alle Terme auf eine Seite

 

\displaystyle (-2)(-2x)=y-1

\displaystyle 4x=y-1

4x-y+1=0

 

Gleichung des Medians, der durch den Punkt C und den Mittelpunkt der Geraden AB verläuft

 

Der Mittelpunkt von AB ist wie folgt festgelegt:

 

\displaystyle M_{AB}\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+1}{2}\right) \hspace{2cm} M_{AB}\left(1,\frac{1}{2}\right)

 

Da der Median durch die Punkte \displaystyle C(-3,-2) und M_{AB} verläuft, zieht man sich die Formel für die Geradengleichung anhand zweier Punkte zuhilfe

 

\displaystyle \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}

 

Setze die Daten der Koordinaten ein und löse auf

 

\displaystyle \frac{x+3}{1+3}=\frac{y+2}{\frac{1}{2}+2} \hspace{2cm} \frac{x+3}{4}=\frac{y+2}{\frac{5}{2}}

 

Da eine Division vom Brüchen vorliegt, kann die Gleichung wie folgt umgeschrieben werden

 

\displaystyle \frac{x+3}{4}=\frac{2(y+2)}{5}

 

Durch multiplizieren mit 4 löst man den Nenner auf der linken Seite auf. Gleichermaßen löst man den Nenner auf der rechten Seite durch multiplizieren mit 5.

 

\displaystyle  5(x+3)=4\times 2(y+2)

\displaystyle  5(x+3)=8(y+2)

\displaystyle  5x+15=8y+16

 

Bringe alle Terme auf die linke Seite

 

5x-8y-1=0

 

Schwerpunkt

 

Anhand der Koordinaten der drei Eckpunkte eines Dreiecks ergibt sich folgende Formel für die Koordinaten des Schwerpunkts

 

\displaystyle G\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)

 

Setze die Daten der Koordinaten des Dreiecks ein: A(2, 0), B(0, 1) und C(-3, -2)

 

\displaystyle G\left(\frac{2+0-3}{3},\frac{0+1-2}{3}\right)

 

Vereinfache

 

\displaystyle G\left(\frac{-1}{3},\frac{-1}{3}\right)

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Melanie

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