Geradenbündel

Die Menge aller Geraden in der Ebene, die durch einen festen Punkt verlaufen, wird als Geradenbündel mit dem Scheitelpunkt bezeichnet.

Wenn wir eine Gerade haben, die durch den Punkt verläuft, und die Menge aller Geraden finden wollen, die durch diesen Punkt verlaufen, d. h., wenn wir das Geradenbündel mit dem Träger (Punkt) ermitteln möchten, müssen wir nur die Steigung () verändern. Die Gleichung dieses Bündels wäre

ist der Schnittpunkt der zwei Geraden und . Dann ist das Geradenbündel, das durch diesen Punkt verläuft, durch folgende Gleichung

,

wobei und Parameter sind, die nicht gleichzeitig 0 sind. Für jeden Wert von und erhalten wir eine Gerade, die durch den Schnittpunkt der gegebenen Geraden verläuft.

Wenn wir eine Gerade haben, die durch ihre allgemeine Gleichung gegeben ist, bezeichnen wir die Menge aller Geraden, die parallel zu sind, als Parallelgeradenbündel zu . Die Gleichung dieses Bündels lautet

für jeden Wert von k erhält man eine parallele Gerade.
Beispielaufgaben

1 Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch den Ursprung verläuft und zum Geradenbündel mit dem Träger gehört.

Wir wissen, dass die Gerade durch den Ursprung verläuft und zudem zum Geradenbündel mit dem Träger gehört; daher verläuft sie auch durch diesen Punkt, und wir können ihre Steigung berechnen.

Wenn wir nun Gleichung (1) verwenden, ergibt sich, dass die Gleichung, die durch dieses Bündel verläuft, wie folgt lauten muss

das heißt

2 Gegeben sind die Geraden: und . Berechne den durch sie bestimmten Strahl des Bündels, der durch den Punkt und den Träger des Bündels verläuft.

In diesem Fall verwenden wir die Gleichung (2) und gehen davon aus, dass sie durch die Geraden und verläuft:

verläuft durch den Punkt , weshalb wir ihn in die vorherige Gleichung einsetzen

wir berechnen und erhalten

unter Berücksichtigung dieser neuen Gegebenheit

wir nehmen und erhalten

Um den Träger des Bündels zu bestimmen, löst man das folgende Gleichungssystem

Wir erhalten , also lautet der Träger des Bündels
3 Bestimme die Gleichung der Geraden, die durch den Schnittpunkt der Geraden und verläuft und parallel zur Geraden ist. Wir haben also folgende Geraden:

• Zunächst ermitteln wir in ihrer allgemeinen Form:

• Danach berechnen wir den Schnittpunkt von und :

• Wir bringen in die allgemeine Form:

• Zum Schluss setzen wir in die Gleichung aller paralleler Geraden ein. Wenn wir also in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:

.

• So erhalten wir folgende Gleichung: