Aufgaben zu den Lagebeziehungen zweier Geraden

Die Koeffizienten der Geraden sind nicht proportional, das heißt,

Así que die Geraden schneiden sich. Wir berchnen den Schnittpunkt:

Wir berechnen das der 1. Gleichung:

Wir setzen den ermittelten Wert von in die 2. Gleichung ein:

Nun setzen wir den Wert von in ein

Der Schnittpunkt von r und s ist also .

Wir formen die Gerade r wie folgt um:

Wir haben die beiden Geraden in expliziter Form.

Wir sehen also, dass die Steigungen beider Geraden übereinstimmen:

Also sind die Geraden parallel.

Wir bringen die beiden Geraden in allgemeine Form, das heißt, wir setzen sie gleich 0:

Es lässt sich nachweisen, dass die Koeffizienten und die unabhängigen Glieder der Geraden proportional sind:

Also sind die Geraden identisch.

Wir bringen die Gerade r in ihre allgemeine Form:

Die Koeffizienten der Geraden r und s sind nicht proportional:

Somit schneiden sich die Geraden.

Wir berechnen ihren Schnittpunkt:

Wir ermitteln das y der 1. Gleichung:

Nun setzen wir den ermittelten Wert von y in die 2. Gleichung ein:

Wir setzen den ermittelten Wert von x in y ein:

Der Schnittpunkt der Geraden r und s ist also .

Damit die Geraden r und s keinen gemeinsamen Punkt haben, müssen sie parallel sein.

Wir wissen, dass die Geraden parallel sind, wenn ihre Koeffizienten proportional sind.

Wir setzen diese Bedingung voraus und berechnen den Wert von a:

Wir berechnen a und erhalten:

Damit die Geraden identisch sind, müssen die Koeffizienten und die unabhängigen Glieder proportional sein.

Wir setzen die Bedingung voraus und berechnen die Werte von a und b.

Wenn wir die Gleichung auf der linken Seite lösen, erhalten wir: und auf der rechten Seite:

Die Werte von a und b lauten daher: 1 und -12.

Zunächst bringen wir die Gerade r in die allgemeine Form:

Damit die Geraden r und s sich schneiden, dürfen ihre Koeffizienten nicht proportional sein, das heißt:

Wie berechnen a

Die Geraden schneiden sich also, wenn

.

Damit Geraden parallel sind, müssen ihre Steigungen übereinstimmen. Wir wissen, dass sich die Steigung einer Geraden anhand ihres Richtungsvektors wie folgt berechnen lässt:
Wenn

Wir berechnen die Steigungen der Geraden r und s:

Wir setzen die Steigungen gleich und berechnen den Wert von a: