Vektorielle Formen der Ebenengleichung

 

Um eine Ebene im Raum zu bilden, muss man einen Punkt P und zwei Vektoren kennen, die eine Fläche bilden, d.h. linear unabhängig voneinander sind.

 

abbildung-1-grafische-darstellung
Abbildung 1: Darstellung der Ebene anhand der Richtungsvektoren

 

Ein Punkt P(x_0, y_0, z_0) ist dann Teil der Ebene \pi , wenn der Vektor \overrightarrow{PX} koplanar zu den beiden Vektoren \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) und \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) ist, das heißt, wenn er linear abhängig von \vec{u} und \vec{v} ist.

 

\overrightarrow{PX} = \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}

 

Die Koordinatenschreibweise lautet wie folgt:

 

\begin{array}{rcl} (x - x_0, y - y_0, z - z_0) & = & \lambda (u_1, u_2, u_3) + \mu (v_1, v_2, v_3) \\\\ (x, y, z) & = & (x_0, y_0, z_0) + \lambda (u_1, u_2, u_3) + \mu (v_1, v_2, v_3) \end{array}

 

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Los geht's

Ebenengleichung in Parameterform

 

Durch Umformen der vektoriellen Ebenengleichung erhält man die Gleichung:

 

 (x, y, z)  =  (x_0 + u_1 \lambda + v_1 \mu, y_0 + u_2 \lambda + v_2 \mu, z_0 + u_3 \lambda + v_3 \mu)

 

Damit diese Gleichung aufgeht, muss sie Folgendes erfüllen:

 

\left \{ \begin{array}{l} x = x_0 + u_1 \lambda + v_1 \mu \\ y = y_0 + u_2 \lambda + v_2 \mu \\ z = z_0 + u_3 \lambda + v_3 \mu \end{array} \right.

 

Die beiden Gleichungen sind auch als Gleichungen der Geraden in Parameterform bekannt.

 

Allgemeine Ebenengleichung

 

Ein Punkt liegt dann auf der Ebene \pi, wenn folgendes Gleichungssystem lösbar ist:

 

\left \{ \begin{array}{l} x - x_0 = u_1 \lambda + v_1 \mu \\ y - y_0 = u_2 \lambda + v_2 \mu \\ z - z_0 = u_3 \lambda + v_3 \mu \end{array} \right.

 

Dieses Gleichungssystem muss für \lambda und \mu eine Lösung besitzen, daher muss die Determinante der erweiterten Matrix des Gleichungssystems, die die konstanten Glieder enthält, gleich Null sein.

 

\left | \begin{array}{ccc} x - x_0 & u_1  &  v_1  \\ y - y_0 & u_2 & v_2  \\ z - z_0 & u_3 & v_3 \end{array} \right | = 0

 

Durch Auflösen der Determinante erhält man:

 

\left | \begin{array}{cc} u_2  &  v_2  \\ u_3 & v_3 \end{array} \right | ( x - x_0 ) - \left | \begin{array}{cc} u_1  &  v_1  \\ u_3 & v_3 \end{array} \right | ( y - y_0 ) + \left | \begin{array}{cc} u_1  &  v_1  \\ u_2 & v_2 \end{array} \right | ( z - z_0 ) = 0

 

Definiere die Werte für die Koordinaten:

 

A = \left | \begin{array}{cc} u_2  &  v_2  \\ u_3 & v_3 \end{array} \right |, \ \  B = - \left | \begin{array}{cc} u_1  &  v_1  \\ u_3 & v_3 \end{array} \right |, \ \  C = \left | \begin{array}{cc} u_1  &  v_1  \\ u_2 & v_2 \end{array} \right |

 

Setze ein:

 

A( x - x_0 ) + B ( y - y_0 ) + C ( z - z_0 ) = 0

 

Vereinfache und definiere für D den Wert:

 

D = -A x_0 - B y_0 - C z_0

 

Man erhält die allgemeine Ebenengleichung:

 

Ax + By + Cz + D = 0

 

Ebenengleichung in Koordinatenform

 

abbildung-2-grafische-darstellung
Abbildung 2: Darstellung der Ebene anhand von Koordinaten

 

Anhand der Punkte A(a, 0, 0), B(0, b, 0) und C(0, 0, c) sei die folgende Gleichung in Koordinatenform gegeben:

 

\cfrac{x}{a} + \cfrac{y}{b} + \cfrac{z}{c} = 1

 

Dabei ist

 

a = -\cfrac{D}{A}, \ \  b = -\cfrac{D}{B}, \ \ c = -\cfrac{D}{C}

 

 

Gemischte Aufgaben

 

1 Stelle die Gleichung der Ebene in Parameterform auf, die durch den Punkt A(1, 1, 1) verläuft und deren Richtungsvektoren \vec{u} = (1, -1, 1) und \vec{v} = (2, 3, -1) sind

1 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die Formel der parametrischen Ebenengleichung ein und du erhältst

 

\left \{ \begin{array}{l} x = 1 + \lambda + 2 \mu \\ y = 1 - \lambda + 3 \mu \\ z = 1 + \lambda - \mu \end{array} \right.

 

2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst

 

\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 1 & 2 \\ y - 1 & -1 & 3 \\ z - 1 & 1 & -1 \end{array} \right | = 0

 

Durch Auflösen der Determinante erhält man:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 1 & -1 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( z - 1 ) & = & 0 \\\\ -2(x - 1) + 3(y - 1) + 5(z - 1) & = & 0 \\\\ -2x + 3y + 5z - 6 & = & 0 \end{array}

 

 

2 Stelle die Gleichungen der Ebene in Parameterform auf, die durch die Punkte A(-1, 2, 3) und B(3, 1, 4) verlaufen und den Vektor \vec{u} = (0, 0, 1) enthalten

1 Ein Richtungsvektor ist bereits gegeben. Der andere Vektor wird wie folgt gebildet:

 

\overrightarrow{AB} = (3 + 1, 1 - 2, 4 - 3) = (4, -1, 1)

 

2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die Formel der parametrischen Ebenengleichung ein und du erhältst

 

\left \{ \begin{array}{l} x = -1 + 4 \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + \lambda + \mu \end{array} \right.

 

3 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst

 

\left | \begin{array}{ccc} x + 1 & 4 & 0 \\ y - 2 & -1 & 0 \\ z - 3 & 1 & 1 \end{array} \right | = 0

 

Durch Auflösen der Determinante erhält man:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( x + 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( y - 2 ) + \left | \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -1 & 0 \end{array} \right | ( z - 3 ) & = & 0 \\\\ -(x + 1) - 4(y - 2) + 0(z - 3) & = & 0 \\\\ -x - 4y + 7 & = & 0 \end{array}

 

 

3 Stelle die Gleichungen der Ebene in Parameterform auf, die durch die Punkte A(-1, 1, -1), B(0, 1, 1) und C(4, -3, 2) verläuft

1 Ermittle die Richtungsvektoren

 

\begin{array}{l} \overrightarrow{AB} = (0 + 1, 1 - 1, 1 + 1) = (1, 0, 2) \\\\ \overrightarrow{AC} = (4 + 1, -3 - 1, 2 + 1) = (5, -4, 3) \end{array}

 

2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die Formel der parametrischen Ebenengleichung ein und du erhältst

 

\left \{ \begin{array}{l} x = -1 + \lambda + 5 \mu \\ y = 1 - 4 \mu \\ z = -1 + 2 \lambda + 3 \mu \end{array} \right.

 

3 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst

 

\left | \begin{array}{ccc} x + 1 & 1 & 5 \\ y - 1 & 0 & -4 \\ z + 1 & 2 & 3 \end{array} \right | = 0

 

Durch Auflösen der Determinante erhält man:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 0 & -4 \\ 2 & 3 \end{array} \right | ( x + 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 0 & -4 \end{array} \right | ( z + 1 ) & = & 0 \\\\ 8(x + 1) + 7(y - 1) - 4(z + 1) & = & 0 \\\\ 8x  + 7y - 4z - 3 & = & 0 \end{array}

 

 

4 Überprüfe anhand der Ebenengleichung in Parameterform, ob die Punkte A (2, 1, 9/2) und B(0, 9, -1) Teil der Ebene \pi sind

\left \{ \begin{array}{l} x = 1 + \lambda + \mu \\ y = 2 - \lambda + 2 \mu \\ z = 4 \lambda - 3 \mu \end{array} \right.

1 Auf Basis der Ebenengleichung in Parameterform erhält man einen Punkt auf der Ebene sowie die Richtungsvektoren

 

P(1, 2, 0), \ \ \vec{u} = (1, -1, 4), \ \ \vec{v} = (1, 2, -3)

 

2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst

 

\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 1 & 1 \\ y - 2 & -1 & 2 \\ z  & 4 & -3 \end{array} \right | = 0

 

Durch Auflösen der Determinante erhält man:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 4 & -3 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 4 & -3 \end{array} \right | ( y - 2 ) + \left | \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{array} \right |  z & = & 0 \\\\ -5(x - 1) + 7(y - 2) + 3z & = & 0 \\\\ -5x + 7y + 3z - 9 & = & 0 \end{array}

 

3 Setze die Punkte in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst

 

-5 \cdot 2 + 7 \cdot 1 + 3 \cdot \cfrac{9}{2} - 9 \neq 0, folglich ist A \notin \pi

 

-5 \cdot 0 + 7 \cdot 9 + 3 \cdot (-1) - 9 \neq 0, folglich ist B \notin \pi

 

 

 

5 Stelle die Gleichungen der Ebene in Koordinatenform auf, die durch die Punkte A(1, 1, 0), B(1, 0, 1) und C(0, 1, 1) verläuft.

1 Ermittle die Richtungsvektoren

 

\begin{array}{l} \overrightarrow{AB} = (1 - 1, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1) \\\\ \overrightarrow{AC} = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0) = (-1, 0, 1) \end{array}

 

2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst

 

\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & 0 & -1 \\ y - 1 & -1 & 0 \\ z & 1 & 1 \end{array} \right | = 0

 

Durch Auflösen der Determinante erhält man:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{array} \right | ( z ) & = & 0 \\\\ -(x - 1) - (y - 1) - (z) & = & 0 \\\\ -x - y - z + 2 & = & 0 \end{array}

 

3 Die Gleichung in Koordinatenform lautet

 

\cfrac{x}{2} + \cfrac{y}{2} + \cfrac{z}{2} = 1

 

 

6 Stelle die Gleichung für eine Ebene auf, die durch den Punkt A(2, 0, 1) verläuft und die Gerade mit folgender Gleichung enthält

\cfrac{x - 1}{2} = \cfrac{y + 3}{1} = \cfrac{z}{-1}

1 Anhand der Geradengleichung erhält man einen Punkt auf der Ebene sowie einen Richtungsvektor

 

B(1, -3, 0), \ \ \vec{u} = (2, 1, -1)

 

2 Anhand der beiden Punkte kann der andere Richtungsvektor ermittelt werden

 

\overrightarrow{AB} = (1 - 2, -3 - 0, 0 - 1) = (-1, -3, -1)

 

3 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst

 

\left | \begin{array}{ccc} x - 2 & 2 & -1 \\ y & 1 & -3 \\ z - 1 & -1 & -1 \end{array} \right | = 0

 

Durch Auflösen der Determinante erhält man:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ -1 & -1 \end{array} \right | ( x - 2 ) - \left | \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & -1 \end{array} \right | ( y ) + \left | \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & -3 \end{array} \right | (z - 1) & = & 0 \\\\ 4(x - 2) - 3y + 5(z - 1) & = & 0 \\\\ 4x - 3y + 5z - 13 & = & 0 \end{array}

 

 

7 Stelle die Gleichung für eine Ebene auf, die durch die Punkte A(1, -2, 4) und B = (0, 3, 2) verläuft und parallel zur Geraden mit folgender Gleichung liegt

\cfrac{x - 1}{4} = \cfrac{y - 2}{1} = \cfrac{z + 1}{2}

1 Anhand der Geradengleichung erhält man einen Richtungsvektor

 

\vec{u} = (4, 1, 2)

 

2 Anhand der beiden Punkte kann der andere Richtungsvektor ermittelt werden

 

\overrightarrow{AB} = (-1, 5, -2)

 

3 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst

 

\left | \begin{array}{ccc} x - 1 & -1 & 4 \\ y + 2 & 5 & 1 \\ z - 4 & -2 & 2 \end{array} \right | = 0

 

Durch Auflösen der Determinante erhält man:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 5 & 1 \\ -2 & 2 \end{array} \right | ( x - 1 ) - \left | \begin{array}{cc} -1 & 4 \\ -2 & 2 \end{array} \right | ( y + 2 ) + \left | \begin{array}{cc} -1 & 4 \\ 5 & 1 \end{array} \right | (z - 4) & = & 0 \\\\ 4(x - 1) - 2(y + 2) - 7(z - 4) & = & 0 \\\\ 4x - 2y - 7z + 20 & = & 0 \end{array}

 

 

8 Gegeben seien die Geraden

r \equiv \cfrac{x + 2}{3} = \cfrac{y - 1}{2} = \cfrac{z + 1}{-1}, \ \ s \equiv \cfrac{x - 1}{-2} = \cfrac{y - 3}{-2} = \cfrac{z}{3}

Stelle die Gleichung einer Ebene auf, die r enthält und parallel zu s verläuft

1 Anhand der Geradengleichungen erhält man einen Punkt und die beiden Richtungsvektoren

 

A(-2, 1, -1), \ \ \vec{u} = (3, 2, -1), \ \ \vec{v} = (-2, -2, 3)

 

2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst

 

\left | \begin{array}{ccc} x + 2 & 3 & -2 \\ y - 1 & 2 & -2 \\ z + 1 & -1 & 3 \end{array} \right | = 0

 

Durch Auflösen der Determinante erhält man:

 

\begin{array}{rcl}\left | \begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( x + 2 ) - \left | \begin{array}{cc} 3 & -2 \\ -1 & 3 \end{array} \right | ( y - 1 ) + \left | \begin{array}{cc} 3 & -2 \\ 2 & -2 \end{array} \right | (z + 1) & = & 0 \\\\ 4(x + 2) - 7(y - 1) - 2(z + 1) & = & 0 \\\\ 4x - 7y - 2z + 13 & = & 0 \end{array}

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan bringe ich die Lernartikel von echten Mathe-Profis logisch und verständlich ins Deutsche, damit du als Mathelerner bei Superprof deine Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden kannst.