Geradengleichungen: Aufgaben und Problemstellungen mit Lösungen

Schreibe alle möglichen Formen der Gleichung der Geraden, die durch die Punkte und verläuft.

Lösung:

Wir wissen, dass die Gerade durch die Punkte und verläuft. Der Vektor, der diese zwei Punkte vereint, ist daher:

Mit diesen Werten können wir die Geradengleichungen erstellen.

Gleichung der Geraden, die durch 2 Punkte verläuft:

Vektorielle Gleichung:

Geradengleichungen in Parameterform:

Parameterfreie Form:

Allgemeine Geradengleichung:

Explizite Darstellung:

Punktsteigunsform:

Gegeben ist ein Parallelogramm , dessen Eckpunkte bekannt sind. Bestimme die Koordinaten des Eckpunktes .

Lösung:

Bevor wir die Koordinaten des Brennpunktes bestimmen, sehen wir uns die folgende Abbildung an:

Wir wissen, dass der Vektor, der von nach verläuft, gleich dem Vektor sein muss, der von nach verläuft. Das heißt:

Wir berechnen:

ist hierbei die Koordinate x des Punktes und ist die Koordinate y. Somit erhalten wir:

Der Punkt ist also

Bestimme, um welche Art von Dreieck es sich bei dem Dreieck mit den folgenden Punkten handelt: und .

Lösung:

Um das Dreieck zu beschreiben, müssen wir zunächst den Abstand zwischen den einzelnen Seiten des Dreiecks berechnen. Dies machen wir wie folgt:

Wir stellen fest, dass gilt:

Das Dreieck ist also gleichschenklig. Außerdem gilt

Daher ist das Dreieck außerdem rechtwinklig. Das sehen wir anhand der folgenden Abbildung:

Ermittle die Steigung und die Ordinate im Ursprung der Geraden: .

Lösung:

Wir haben die Gleichung . Wir bestimmen :

Wir sehen, dass die Steigung wie folgt lautet:

Die Ordinate im Ursprung ist:

Wir stellen fest, dass die Koeffizienten der Geraden 1 und 2 proportional sind:

Die Geraden 1 und 2 sind also deckungsgleich (es handelt sich um dieselbe Gerade).

Wir stellen ebenfalls fest, dass die Koeffizienten von und der Geraden 1 und 3 proportional sind, allerdings sind die konstanten Glieder nicht proportional:

Die Geraden 1 und 3 sind also parallel. Somit sind auch die Geraden 2 und 3 parallel.

Und schließlich stellen wir fest, dass die Koeffizienten von und der Geraden 4 nicht proportional zu den Koeffizienten einer anderen Gleichung sind:

Die Gerade 4 ist also eine Sekante der Geraden 1, 2 und 3.

Wir sehen uns die folgende Abbildung zweier paralleler Geraden an:

Wir wissen, dass zwei Geraden parallel sind, wenn ihre Steigung gleich ist:

Deshalb hat die Gerade die folgende Form (Punkt-Steigung):

Wir setzen gleich 0 und erhalten:

Damit das Viereck ein Parallelogramm ist, muss Folgendes gelten: und 

Somit:

Deshalb gilt . Außerdem:

Das Viereck ist also ein Parallelogramm.

Nun müssen wir den Mittelpunkt bestimmen. Wir wissen, dass sich die Diagonalen im Mittelpunkt (und dies ist die Mitte des Parallelogramms) schneiden. Es genügt also, den Mittelpunkt einer der Diagonalen zu berechnen. Der Mittelpunkt der Diagonalen \bar{AC} ist

Der Mittelpunkt ist also . Wir sehen uns die Abbildung des Parallelogramms an:

Wenn die Gerade ist, die die Punkte verbindet, wissen wir nun, dass die gesuchte Gerade parallel zu ist. Ihre Steigung ist daher gleich:

Wenn wir die Punktsteigungsform der Geraden anwenden, ist die Gleichung der Geraden :

Die Gleichung der Geraden erhalten wir, indem wir null setzen:

Wir schreiben die Koordinaten des Punktes als . Da , muss gelten:

Wenn wir bestimmen, erhalten wir

Außerdem sind die Seiten und gleich lang, da gilt:

Wir quadrieren und erhalten:

Wir setzen den Wert ein und erhalten:

Wir lösen das Polynom und die "quadratische" Gleichung (die quadratischen Terme fallen am Ende weg). Wir erhalten:

Zum Schluss setzen wir den Wert für in die Gleichung ein, um zu bestimmen:

Der Punkt ist also . Folgende Abbildung zeigt das Dreieck:

Wir wissen, dass für den Punkt . Wenn wir also die Koordinaten des Punktes einsetzen, ist die Gleichung immer noch erfüllt:

Außerdem wissen wir, dass . Die Koeffizienten sind somit proportional:

Somit: 

Wir haben das folgende Dreieck und möchten die eingezeichnete Seitenhalbierende berechnen:

Wir wissen, dass die Seitenhalbierende durch den Mittelpunkt der Seite verläuft. Daher berechnen wir die Koordinaten dieses Punktes (diesen nennen wir ):

Nun schreiben wir die Gleichung der Geraden, die durch und verläuft (wir wenden die Formel für die Gerade, die durch zwei Punkte verläuft, an):

Wir vereinfachen und erhalten die folgende Gleichung:

Wir lösen jede der gestellten Aufgaben:

a Die anderen Eckpunkte:

Wir wissen, dass der Mittelpunkt von ist:

Daraus ergibt sich:

Somit ist . Und somit ist also der Mittelpunkt von :

Daraus ergibt sich:

Wir erhalten . Die anderen Eckpunkte sind also die Punkte und .

b Die Gleichungen der Diagonalen.

In diesem Fall müssen wir nur die Formel der Gleichung der Geraden, die durch zwei Punkte verläuft, anwenden. Als Erstes für die Diagonale :

Wir vereinfachen und erhalten . Für die Diagonale erhalten wir:

Wir vereinfachen und erhalten .

c Die Länge der Diagonalen.

Um die Länge der Diagonalen zu berechnen, genügt es, den Abstand zwischen den entsprechenden Eckpunkten zu ermitteln. Für die Diagonale erhalten wir:

Für die Länge der Diagonalen gilt:

Grafisch dargestellt sieht das Parallelogramm wie folgt aus: