Kapitel
Vektorielle Formen der Ebenengleichung
Um eine Ebene im Raum zu bilden, muss man einen Punkt 
und zwei Vektoren kennen, die eine Fläche bilden, d.h. linear unabhängig voneinander sind.
Ein Punkt 
ist dann Teil der Ebene 
, wenn der Vektor 
koplanar zu den beiden Vektoren 
und 
ist, das heißt, wenn er linear abhängig von 
und 
ist.
Die Koordinatenschreibweise lautet wie folgt:
Ebenengleichung in Parameterform
Durch Umformen der vektoriellen Ebenengleichung erhält man die Gleichung:
Damit diese Gleichung aufgeht, muss sie Folgendes erfüllen:
Die beiden Gleichungen sind auch als Gleichungen der Geraden in Parameterform bekannt.
Allgemeine Ebenengleichung
Ein Punkt liegt dann auf der Ebene , wenn folgendes Gleichungssystem lösbar ist:
Dieses Gleichungssystem muss für 
und 
eine Lösung besitzen, daher muss die Determinante der erweiterten Matrix des Gleichungssystems, die die konstanten Glieder enthält, gleich Null sein.
Durch Auflösen der Determinante erhält man:
Definiere die Werte für die Koordinaten:
Setze ein:
Vereinfache und definiere für 
den Wert:
Man erhält die allgemeine Ebenengleichung:
Ebenengleichung in Koordinatenform
Anhand der Punkte 
und 
sei die folgende Gleichung in Koordinatenform gegeben:
Dabei ist
Gemischte Aufgaben
Stelle die Gleichung der Ebene in Parameterform auf, die durch den Punkt 
verläuft und deren Richtungsvektoren 
und 
sind
1 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die Formel der parametrischen Ebenengleichung ein und du erhältst
2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst
Durch Auflösen der Determinante erhält man:
Stelle die Gleichungen der Ebene in Parameterform auf, die durch die Punkte 
und 
verlaufen und den Vektor 
enthalten
1 Ein Richtungsvektor ist bereits gegeben. Der andere Vektor wird wie folgt gebildet:
2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die Formel der parametrischen Ebenengleichung ein und du erhältst
3 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst
Durch Auflösen der Determinante erhält man:
Stelle die Gleichungen der Ebene in Parameterform auf, die durch die Punkte 
und 
verläuft
1 Ermittle die Richtungsvektoren
2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die Formel der parametrischen Ebenengleichung ein und du erhältst
3 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst
Durch Auflösen der Determinante erhält man:
Überprüfe anhand der Ebenengleichung in Parameterform, ob die Punkte 
und 
Teil der Ebene sind
1 Auf Basis der Ebenengleichung in Parameterform erhält man einen Punkt auf der Ebene sowie die Richtungsvektoren
2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst
Durch Auflösen der Determinante erhält man:
3 Setze die Punkte in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst
, folglich ist 
, folglich ist 
Stelle die Gleichungen der Ebene in Koordinatenform auf, die durch die Punkte 
und 
verläuft.
1 Ermittle die Richtungsvektoren
2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst
Durch Auflösen der Determinante erhält man:
3 Die Gleichung in Koordinatenform lautet
Stelle die Gleichung für eine Ebene auf, die durch den Punkt 
verläuft und die Gerade mit folgender Gleichung enthält
1 Anhand der Geradengleichung erhält man einen Punkt auf der Ebene sowie einen Richtungsvektor
2 Anhand der beiden Punkte kann der andere Richtungsvektor ermittelt werden
3 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst
Durch Auflösen der Determinante erhält man:
Stelle die Gleichung für eine Ebene auf, die durch die Punkte 
verläuft und parallel zur Geraden mit folgender Gleichung liegt
1 Anhand der Geradengleichung erhält man einen Richtungsvektor
2 Anhand der beiden Punkte kann der andere Richtungsvektor ermittelt werden
3 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst
Durch Auflösen der Determinante erhält man:
Gegeben seien die Geraden
Stelle die Gleichung einer Ebene auf, die 
enthält und parallel zu 
verläuft
1 Anhand der Geradengleichungen erhält man einen Punkt und die beiden Richtungsvektoren
2 Setze den Punkt sowie die Richtungsvektoren in die allgemeine Ebenengleichung ein und du erhältst
Durch Auflösen der Determinante erhält man:
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