Kapitel
In diesem Abschnitt werden wir uns das Konzept der Steigung einer Geraden ansehen sowie einige Möglichkeiten, die Steigung zu berechnen. Ausgehend vom Konzept der Steigung legen wir die Gleichung einer Geraden in "Punktsteigungsform" fest. Zum Abschluss sehen wir uns einige Beispiele dazu an, wie man die Gleichung einer Gerade in Punktsteigungsform erhält.
Steigung einer Geraden
Wir sehen uns die Gerade in der folgenden Grafik an. Die Steigung der Geraden ist der Tanges des Winkels 
, den die Gerade, die steigt, mit der 
-Achse bildet. Das heißt, wenn der Winkel zwischen der Geraden und der -Achse ist, ist die Steigung 
.
Die Steigung wird in der Regel 
bezeichnet. Um die Steigung zu berechnen, gibt es folgende Möglichkeiten:
1 Mit dem Steigungswinkel
Wenn der Winkel zwischen der Geraden und der -Achse bekannt ist, wird die Steigung wie folgt berechnet:
2 Mit dem Richtungsvektor der Geraden
Die Gerade kann mithilfe eines Richtungsvektors 
und eines Punktes 
(der auf der Geraden liegt) definiert werden. Dies ist die Parameterform einer Geraden. In diesem Fall erhält man die Gerade wie folgt:
Wir stellen fest, dass die Steigung nicht von einem Punkt abhängt, sondern nur vom Richutngsvektor.
3 Mit zwei Punkten
Der Tanges des Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist definiert als 
, wobei 
die Länge der Gegenkathete ist und 
die Länge der Ankathete ist.
Wenn wir also die Grafik am Anfang betrachten, können wir sehen, dass 
und 
. Indem wir einsetzen, erhalten wir
Die Steigung der Geraden, die durch die Punkte und 
verläuft, wird also wie folgt berechnet:
Interpretation der Steigung
Sehen wir uns folgende Grafik an. Der Winkel befindet sich zwischen 
und 
. Der Winkel ist somit ein spitzer Winkel.
Wenn der Winkel, den die Gerade 
mit dem positiven Abschnitt der -Achse bildet, ein spitzer Winkel ist, ist die Steigung also positiv und steigt mit zunehmendem Winkel - immer wenn der Winkel kleiner ist als —. Somit misst die Steigung, "wie steil" die Gerade ist: Eine große Steigung bedeutet, dass die Gerade steil nach oben geneigt ist.
Nun sehen wir uns die folgende Grafik an. Der Winkel ist größer als , jedoch kleiner als 
.
Wenn der Winkel, den die Gerade mit dem positiven Abschnitt der
-Achse bildet, stumpf ist - also größer als
, jedoch kleiner als —, ist die Steigung negativ und geht gegen 0, wenn der Winkel größer wird. In ähnlicher Weise misst eine negative Steigung auch, wie steil die Gerade ist. In diesem Fall zeigt jedoch eine sehr große negative Steigung an, dass die Gerade sehr steil "nach unten" verläuft.
Geradengleichung in Punktsteigungsform
Nun möchten wir die Gleichung der Geraden in Punktsteigunsform erhalten. Wir können von verschiedenen Gleichungen ausgehen, beginnen aber mit der Normalform der Geradengleichung. ist hierbei ein Punkt, der sich auf der Geraden befindet und ist der Richtungsvektor.
Wir multiplizieren beide Seiten mit 
und erhalten
Schließlich, da
erhalten wir:
Dies ist die Geradengleichung in Punktsteigungsform.
Anmerkung: Um die Geradengleichung in Punktsteigungsform zu berechnen, benötigen wir einfach nur einen Punkt und die Steigung (diese lässt sich mittels irgendeiner der am Anfang dargestellten Möglichkeiten berechnen).
Beispiele
1 Wir haben eine Gerade, die durch den Punkt 
verläuft und den Richtungsvektor 
hat. Erstelle die Gleichung der Geraden in Punktsteigungsform.
Lösung: Da wir einen Richtungsvektor 
haben, ist die Steigung gegeben durch
Wir setzen also 
und 
in die Punktsteigungsgleichung ein und erhalten
Hier müssen wir allerding die Vorzeichen beachten, da: 
.
2 Bestimme die Geradengleichung in Punktsteigungsform einer Geraden, die durch die Punkte 
und 
verläuft.
Lösung: Diesmal haben wir zwei Punkte, die auf der Geraden liegen, sodass die Steigung wie folgt berechnet wird:
Indem wir also in die Gleichung in Punktsteigungsform einsetzen, erhalten wir
3 Bestimme die Geradengleichung in Punktsteigungsform einer Geraden, die durch den Punkt verläuft und deren Neigung 
beträgt
Lösung: Schließlich erhalten wir den Winkel zwischen der Geraden und der -Achse. Die Steigung ist also gegeben durch
Die Geradengleichung in Punktsteigungsform lautet also:
Das heißt
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