Berechne den Abstand des Punkts 
zur Geraden 
der Gleichung 
Um den Abstand einer Geraden mit der allgemeinen Gleichung 
zu einem Punkt 
zu berechnen, kann folgende Formel verwendet werden: 
In diesem Fall ergeben sich für die Koeffizienten und Koordinaten des Punktes folgende Werte: 
Durch Einsetzen der Variablen in die vorherige Formel erhält man 
Der Abstand zwischen und 
ist also gleich 
Berechne den Abstand zwischen 
und 
Für die vorgegebenen Geraden und 
gilt nur eine der folgenden Optionen: entweder sind sie parallel oder sie haben einen Punkt gemeinsam. Wenn sie parallel sind, können sie nebeneinander oder auch aufeinander liegen, also dieselbe Gerade beschreiben. Aufgrund dieser möglichen Optionen ist es wichtig, vor der Berechnung des Abstands der Geraden ihre Steigung zu berechnenm, um wissen, um welche der Optionen es sich handelt. Es handelt sich um parallele Geraden, wenn sie dieselbe Steigung haben. Andernfalls haben sie einen Schnittpunkt. Die Steigung einer Geraden in ihrer allgemeinen Form 
wird am Term 
erichtlich. Die Geraden und haben also die Steigungen 
und 
Da beide Geraden dieselbe Steigung haben, können wir also schlussfolgern, dass sie parallel zueinander sind. Diese Lagebeziehung kann auch als 
dargestellt werden.Da , müssen wir nun herausfinden, ob die Geraden deckungsgleich sind oder nebeneinander verlaufen. Dafür genügt es, einen Punkt auf zu finden, der nicht auf liegt. Um das zu ermitteln, setzen wir in der Geradengleichung von 
und erhalten 
; das bedeutet, dass 
ein Punkt auf der Geraden ist, aber kein Punkt auf der Geraden , da
Für diesen Wert geht die Gleichung von nicht auf. Wir können also schlussfolgern, dass und parallele Geraden sind, die nicht aufeinanderliegen. Jetzt wählen wir einen beliebigen Punkt auf einer der beiden Geraden und berechnen den Abstand von diesem Punkt zur anderen Geraden. Wir nehmen den Punkt 
, da wir bereits wissen, dass er 
erfüllt. Wir verwenden die Formel
und erhalten
Eine Gerade verläuft parallel zur Geraden mit der Gleichung 
und liegt 
Einheiten vom Koordinatenurpsrung entfernt. Wie lautet ihre Gleichung?
Wir benennen die gesuchte Gerade mit 
. Wie wir wissen, sind zwei Geraden dann parallel, wenn ihre Koeffizienten von 
und 
entsprechend proportional sind. Damit 
müssen die Koeffizienten proportional sein, das heißt, die Gleichung, die die Gerade beschreibt, muss die Form 
haben.
Wir wissen auch, dass man den Abstand von einem Punkt 
zu einer Geraden anhand der folgenden Formel ermitteln kann:
Wenn der Punkt im Koordinatenursprung liegt, wird die Formel reduziert:
D.h.für 
muss gelten:
Wir prüfen, ob es tatsächlich Geraden gibt, die den Abstand vom Ursprung haben und parallel zueinander sind:
Die Gleichungen der beiden Geraden lauten daher: 
.
Gegeben ist ein Viereck 
mit den Scheitelpunkten 
und 
. Berechne seine Fläche.
Die gesuchte Fläche erhalten wir, indem wir die Längen von 
und 
miteinander multiplizieren. Wir beginnen also mit der Berechnung der Seitenlängen.
Durch Multiplizieren der Werte erhalten wir:
Die Fläche des Vierecks beträgt also 20.
Berechne den Winkel, der zwischen den Geraden und liegt, wenn ihre Richtungsvektoren 
und 
sind.
Wenn 
und 
nicht Null sind, ist der Winkel, der zwischen ihnen liegt die einzige reelle Zahl 
, für die gilt: 
wobei 
und 
.Wir rechnen weiter und erhalten 
Daher ist 
und folglich 
Berechne den Winkel, der zwischen den Geraden 
und 
liegt.
Um den Winkel zu berechnen, kannst du folgende Formel verwenden:
wobei 
und 
die Steigungen der Geraden und sind.
Wenn die Geradengleichung in die Form 
gebracht wurde, wird die Steigung durch den Koeffizienten, der bei steht angezeigt, das heißt durch 
. Wir stellen und wie folgt dar:
und erhalten die Steigungen 
und 
Durch Einsetzen der Steigungen erhalten wir:
Das heißt, 
.
Finde eine parallele und eine orthogonale Gerade zu 
, die beide durch den Punkt 
verlaufen.
Wie wir wissen, sind zwei Geraden dann parallel, wenn sie dieselbe Steigung haben. Um eine parallele Gerade zu zu finden, müssen wir erst ihre Steigung kennen.
Die Gleichung von kann umgeschrieben werden:
In diesem Ausdruck ist die Steigung leicht ersichtlich, da sie durch den Koeffizient, der bei steht, angezeigt wird, d.h. die Steigung ist 
.
Wir nennen die gesuchte parallele Gerade und ihre Steigung . Wir haben herausgefunden, dass 
wobei die Steigung von ist.
Für die Koordinaten von 
, durch den die parallele Gerade verläuft, können wir die Punkt-Steigungs-Formel verwenden: 
.
Durch Einsetzen der bekannten Werte erhalten wir:
Wir können schlussfolgern, dass 
und 
.
Um eine orthogonale Gerade zu zu finden, gehen wir ähnlich vor, aber mit einer anderen Bedingung bei der Steigung. Wir benennen die gesuchte orthogonale Gerade mit 
. In diesem Fall muss für die Steigung 
gelten, dass 
, um die Orthogonalität zu gewährleisten. Daher ist 
, also 
.
Wir verwenden erneut die Punkt-Steigungs-Formel und die Koordinaten des Punktes 
und erhalten
hat also die Gleichung 
, wobei 
.
Ermittle die Gleichung der Mittelsenkrechte des Segments mit den Endpunkten 
und 
.
Als Mittelsenkrechte eines Segments bezeichnet man den geometrischen Ort der Punkte der Ebene, die von den Enden gleich weit entfernt sind. Mathematisch gesehen, sind das die Punkte 
, für welche die Gleichung 
für die Endpunkte und 
aufgeht. Es ist zu beachten, dass
und 
Um die gesuchte Gleichung zu finden, setzen wir die beiden Gleichungen gleich und vereinfachen den Ausdruck:
Vereinfache weiter, indem du mit 
multiplizierst:
Finde die Gleichung der Winkelhalbierenden der Winkel, die zwischen den Geraden 
und 
liegen.
Bei zwei sich schneidenden Geraden ist die Winkelhalbierende des Winkels, der zwischen ihnen liegt, der geometrische Ort auf der Ebene, der von beiden gleich weit entfernt ist. Wir suchen also die Gleichung der Punkte , für die gilt:
Die Formel für den Abstand von einem Punkt 
zu einer Geraden 
ist durch folgende Formel definiert:
Aus der vorherigen Formel ergibt sich:
und
Durch Gleichsetzen von 
erhalten wir
Wir multiplizieren mit 
und erhalten
Wir erhalten also zwei Gleichungen:
und 
Jede beschreibt die Gleichung der zugehörigen Winkelhalbierenden.
Für die erste Gleichung erhalten wir
Für die zweite Gleichung erhalten wir
Ermittle die Gleichung der Geraden, die orthogonal zu 
ist und durch den Punkt 
verläuft.
Wir erkennen, dass die Steigung der Geraden 
ist, da man die Steigung bei einer Gleichung mit der Form 
am Koeffizienten von ablesen kann.
Wir bezeichnen die gesuchte Gerade mit . Ihre Steigung 
sein, da das Produkt aus ihrer Steigung und der Steigung der Geraden gleich -1 sein muss, damit die Orthogonalität gegeben ist.
Die Koordinaten von 
können wir nun in die Punkt-Steigungs-Formel einsetzen.
Die gesuchte Gleichung ist daher:
oder auch
Finde die Gleichung der Winkelhalbierenden der Winkel, die zwischen den Geraden 
liegen.
Bei zwei sich schneidenden Geraden ist die Winkelhalbierende des Winkels, der zwischen ihnen liegt, der geometrische Ort auf der Ebene, der von beiden gleich weit entfernt ist. Wir suchen also die Gleichung, für deren Punkte gilt: .
Daher ist
und
Durch Gleichsetzen von erhalten wir
Wir multiplizieren mit und erhalten
Wir erhalten also zwei Gleichungen:
und 
. Jede der beiden beschreibt die Gleichung einer der Winkelhalbierenden.
Für die erste Gleichung erhalten wir
Für die zweite Gleichung erhalten wir
Welcher Winkel liegt zwischen den Geraden mit den Gleichungen
a
b
s_2 \equiv \displaystyle\frac{x+4}{\sqr{3}}=\frac{y-1}{-1} [/latex
a
Da die Geradengleichungen in Parameterform vorliegen, können wir ihre Richtungsvektoren anhand der Koeffizienten von 
ablesen. Das heißt 
ist der Richtungsvektor von 
und 
ist der Richtungsvektor von 
.
Wir verwenden nun die Formel zur Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren
um den gesuchten Winkel zu erhalten.
Wir setzen die Koordinaten von 
ein:
b
Die Richtungsvektoren dieser Geraden sind 
und 
.
Der Winkel, der zwischen ihnen liegt, ist wie folgt definiert: 
Welcher Winkel liegt zwischen den Geraden mit den Gleichungen:
a
b
a
Zuerst müssen wir den Richtungsvektor jeder der Geraden ermitteln, um dann den Winkel dazwischen berechnen zu können. Gesucht ist der Winkel zwischen und .
Der Richtungsvektor einer Geraden ist 
. Für und haben wir also die Richtungsvektoren 
und 
.
Der Winkel zwischen den beiden Vektoren berechnet sich wie folgt:
Durch Einsetzen der Vektoren erhalten wir
b
In diesem Fall sind die Richtungsvektoren der Geradne 
und 
gleich 
und 
.
Wir sehen, dass
Das heißt, dass der Winkel zwischen und 90º beträgt, da die Bedingung 
gleich 
ist.
Gegeben sind die Geraden 
und 
. Berechne die Steigung so, dass zwischen den Geraden ein Winkel von 45° liegt.
Die Richtungsvektoren von und seien 
und 
. Gesucht wird , sodass 
Die vorherige Formel hilft uns dabei, den Winkel zwischen den beiden Geraden zu berechnen. Wir setzen die Koordinaten der Richtungsvektoren und den Winkel 
ein und erhalten:
Wir quadrieren die gesamte Gleichung:
Nun multiplizieren wir die Gleichung mit 
Mithilfe der allgemeinen Formel für quadratische Gleichungen können wir die vorherige Gleichung lösen:
ist der Koeffizient des quadratischen Terms, 
der Koeffizient des linearen Terms und 
das konstante Glied. In unserem Fall sind sie durch folgende Werte gegeben:
Mit der allgemeinen Formel erhalten wir also
Die möglichen Lösungen für die Steigung, mit denen die gesuchten Bedingungen erfüllt werden, sind 
und 
Eine Gerade ist orthogonal zur Geraden mit der Gleichung 
und liegt 
Einheiten vom Ursprung entfernt. Wie lautet ihre Gleichung?
Für jede beliebige Gleichung 
in ihrer kanonischen Form
sind die Koordinaten des Richtungsvektors 
.
Außerdem wissen wir, dass zwei Geraden 
orthogonal sind, wenn ihre Richtungsvektoren 
es ebenso sind, bzw. wenn
wobei 
. In unserem Fall ist der Richtungsvektor von gleich 
.
Wir nennen die gesuchte Gerade . Der Richtungsvektor von hat die Koordinaten 
, daher ist 
.
Wir wissen außerdem, dass der Abstand von einem Punkt zu einer Geraden durch folgende Formel ermittelt werden kann:
Wenn der Punkt im Koordinatenursprung liegt, wird die Formel reduziert:
D.h.für muss gelten:
Wir prüfen, ob es tatsächlich Geraden gibt, die den Abstand vom Ursprung haben und parallel zueinander sind:
Die Gleichungen der beiden Geraden lauten daher: 
.
Gegeben ist das Dreieck 
; Berechne die Gleichungen der Höhen und bestimme den Höhenschnittpunkt des Dreiecks.
Zuerst ermitteln wir die Gleichungen der Höhen des Dreiecks. Wir benennen die Gleichungen der drei Geraden mit 
und 
. Sie verlaufen entsprechend durch die Punkte 
und 
.
Für 
ist 
, dass heißt, die Steigung 
des Segments 
multipliziert mit der Steigung 
von muss als Lösung 
ergeben.
Da wir die Koordinaten der Punkte und kennen, können wir die Steigung mit der Formel 
berechnen.
und
Mit den Koordinaten von , 
und der Punkt-Steigungs-Formel können wir die Geradengleichung für aufstellen. 
ist also die Gleichung, die definiert.
Durch Vereinfachen erhalten wir 
.
Auf dieselbe Art können wir die anderen Gleichungen aufstellen.
Wir beginnen mit den Steigungen.
Dann nehmen wir die Punkt-Steigungs-Formel für 
und für 
Um die Koordinaten des Höhenschnittpunkts zu finden, genügt es, den Schnittpunkt von zwei der Höhenlinien zu ermitteln.
Wir lösen das lineare Gleichungssystem auf:
Der Höhenschnittpunkt liegt bei 
.
Eine Gerade mit der Gleichung 
ist die Mittelsenkrechte des Segments 
mit Endpunkt und den Koordinaten 
. Bestimme die Koordinaten des anderen Endpunkts.
Die Gleichung, die die Gerade beschreibt, auf der das Segment und der Punkt 
liegen, nennen wir .
Da die Gerade die Mittelsenkrechte des Segments sein muss, muss 
gelten, das heißt, 
, wobei und die entsprechenden Steigungen von und sind.
Aus der vorherigen Analyse ergibt sich 
, denn aus in der Form 
erhalten wir 
.
Mithilfe der Punkt-Steigungs-Formel ermitteln wir die Gleichung, die die Gerade beschreibt, die durch den Punkt verläuft und die Steigung hat. Wir vereinfachen den Ausdruck zu 
und erhalten 
.
Jetzt sehen wir, dass 
, der Schnittpunkt von und , für die Gleichungen von und aufgehen muss. Um die Koordinaten von zu finden, genügt es daher, das lineare Gleichungssystem aufzulösen:
Wir lösen das LGS und erhalten die Koordinaten des Punktes ; 
. ist außerdem der Mittelpunkt des Segments , was mathematisch bedeutet, dass 
wobei 
die Koordinaten von sind.
Wir setzen Koordinate für Koordinate gleich und erhalten
Durch Einsetzen der bereits bekannten Werte von und erhalten wir
Folglich ist
Der Endpunkt hat daher die Koordinaten 
.
Finde den Symmetriepunkt 
des Punktes 
der Geraden 
Wir nennen die gesuchte Gleichung . Sie beschreibt die Gerade, auf der das Segment 
und der Punkt liegen. Unserer Vermutung nach muss erfüllt sein, das heißt 
. und sind dabei die entsprechenden Steigungen der Geraden und .
Die Gleichung von in ihrer expliziten Form ist 
. Die Steigung von ist daher einfach der Koeffizient von x, das heißt 
. Daraus lässt sich schließen, dass 
.
Mithilfe der Punkt-Steigungs-Formel ermitteln wir die Gleichung, die die Gerade beschreibt, die durch den Punkt verläuft und die Steigung hat. Wir vereinfachen den Ausdruck 
und erhalten 
.
Jetzt erkennen wird, dass , der Schnittpunkt von und , beide Gleichungen erfüllen muss: die der Geraden und die von . Um die Koordinaten von zu finden, genügt es daher, das lineare Gleichungssystem aufzulösen:
Wir lösen das LGS und erhaltendie Koordinaten des Punktes : 
. ist der Mittelpunkt des Segments und kann mathematisch so ausgedrückt werden:
sind dabei die Koordinaten von 
.
Wir setzen Koordinate für Koordinate gleich und erhalten
Durch Einsetzen der bereits bekannten Werte von und erhalten wir
Folglich ist
Der Symmetriepunkt hat also die Koordinaten 
.
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