Grenzwerte von Folgen – Teil 3

1: Der Zähler ist eine Konstante und der Nenner ist eine arithmetische Folge von , weshalb das n-te Glied wäre:

2: Der Zähler ist eine arithmetische Folge mit einem und der Nenner ist ebenfalls eine arithmetische Folge mit einem .

Daher wäre das n-te Glied

3: In dieser Folge wurden einige Brüche vereinfacht,

Bei dieser Folge stellen wir fest, dass der Zähler eine arithmetische Folge mit ist, die bei beginnt, und der Nenner ist eine arithmetische Folge von , also

4: Wenn man das Vorzeichen außer Acht lässt, handelt es sich um eine arithmetische Folge mit , die bei beginnt.

Da die ungeraden Glieder negativ sind, multiplizieren wir sie mit und erhalten

5 : Wir schreiben die Folge um:

Wenn man das Vorzeichen außer Acht lässt, ist der Zähler eine arithmetische Folge mit einem , die bei beginnt und der Nenner ist eine arithmetische Folge von .

Da es sich um geradzahlige Glieder handelt, multiplizieren wir die negativen Glieder mit und erhalten:

6: Wir stellen fest, dass es sich um eine oszillierende Folge handelt. Die ungeraden Glieder bilden eine arithmetische Folge mit , wenn wir die geradzahligen Glieder außer Acht lassen.

Die Nenner der geraden Glieder bilden eine arithmetische Folge mit einem . Somit ist

7: Wir schreiben um: Wenn wir das Vorzeichen und den Exponenten außer Acht lassen, erhalten wir eine arithmetische Folge mit einem .

Da die Glieder quadriert sind, müssen wir das allgemeine Glied quadrieren.

Da die ungeraden Glieder negativ sind, multiplizieren wir sie mit und erhalten

8 : Wir schreiben um: Wir stellen fest, dass es sich um eine oszillierende Folge handelt.

Die Zähler der ungeraden Glieder bilden eine arithmetische Folge mit , wenn man die geraden Glieder außer Acht lässt. Da die Glieder quadriert sind, müssen wir das allgemeine Glied quadrieren.

Der erste Summand des Nenners (ungeachtet des Quadrats) ist eine arithmetische Folge mit (ohne die geraden Glieder).

Wir müssen das allgemeine Glied quadrieren und 3 dazu addieren.

Und die geraden Glieder bilden eine konstante Folge, daher

1 : Wir schreiben zunächst die ersten Glieder Wir stellen fest, dass die Folge fällt, also

Da diese Ungleichheit für jeden Wert von gilt, ist die Folge streng monoton fallend.

Außerdem stellen wir fest, dass Der Grenzwert ist und die Folge somit konvergent.

Da sie fällt, ist eine obere Schranke. Und ist eine untere Schranke, das Infimum. Die Folge ist also beschränkt

2: Wir sehen uns die ersten Glieder an und schließen daraus: Sie ist nicht monoton, nicht konvergent, nicht divergent und nicht beschränkt.

3 : Da sie zwischen positiven und negativen Werten schwankt, ist sie nicht monoton; sie ist jedoch konvergent, da der Grenzwert ist. Da sie zudem nach oben durch und nach unten durch beschränkt ist, ist sie beschränkt:

1Monoton, nicht beschränkt:

2 Beschränkt, nicht monton:

3Nicht beschränkt, nicht monton:

4Nicht beschränkt, konvergent: unmöglich

5 Beschränkt, divergent: unmöglich

6 Beschränkt, nicht konvergent:

7 Nicht monton, konvergent:

8 Nicht monton, divergent:

Wir wissen, dass die Summe der Innenwinkel eines Vierecks 360° beträgt. Wenn wir dies in die Formel für die Summe der ersten Glieder einsetzen, erhalten wir:

Außerdem wissen wir, dass zwischen dem ersten und dem vierten Glied folgende Beziehung besteht:

Setzt man den zweiten Ausdruck in den ersten ein, erhält man:

Also ist

Wir berechnen:

Wir wenden den Satz des Pythagoras an:

Wir lösen mithilfe der allgemeinen Formel für quadratische Gleichungen:

entonces

Da das Ergebnis nicht negativ sein kann, erhalten wir und somit messen die Seiten des Dreiecks .

Dank des Satzes des Pythagoras können wir das zweite Glied der Folge berechnen, das lautet: Wir haben Glieder und können das Verhältnis berechnen:

Die Folge lautet:

Wir quadrieren jedes Glied, um die Folge einfacher darstellen zu können:

Wir wenden die Formel für die Addition von n Gliedern an und nutzen dabei das Konzept des Grenzwerts. Dabei beachten wir, dass der Wert des Bruchs gegen 0 geht, wenn n im Nenner gegen unendlich geht.

Um die Glieder der Folge zu ermitteln, deren Abstand zu kleiner als ist, müssen wir die folgende Ungleichung lösen: wir berechnen und erhalten alsot ist

Ab beträgt der Abstand zu weniger als ein Zehntel.

Um die Glieder der Folge zu ermitteln, deren Abstand zu außerhalb der Umgebung liegt, lösen wir die folgende Ungleichung: also ist und somit liegen die ersten tausend Glieder der Folge außerhalb der Umgebung.

Um die Glieder der Folge zu ermitteln, die außerhalb der Umgebung liegen, lösen wir die folgende Ungleichung somit ist und wir haben

Die ersten Glieder liegen außerhalb der Umgebung.

Um herauszufinden, wie viele Glieder der Folge den Grenzwert haben, müssen wir wie folgt berechnen: Wir berechnen

Die ersten 1999 Glieder der Folge erreichen nicht die Millionengrenze.

1 Wir berechnen Wir faktorisieren :

2 Zunächst müssen wir berechnen

Wir berechnen

Wir dividieren jeden Faktor des Zählers und des Nenners durch

3 Wir erhalten zunächst Wenn wir jedoch berechnen:

Wir dividieren jeden Faktor des Zählers und des Nenners durch und erhalten

1:

Zunächst:

Wir dividieren jeden Faktor des Zählers und des Nenners durch

2:

Wir dividieren jeden Faktor des Zählers und des Nenners durch

3:

Wir dividieren jeden Faktor des Zählers und des Nenners durch . Denke daran, dass wenn unter der Kubikwurzel steht, es zu wird

4:

Wir dividieren jeden Faktor des Zählers und des Nenners durch . Denke daran, dass wenn unter der Wurzel steht, es zu wird

5 :

Wir teilen auf und machen das auch für , im Anschluss dividieren wir durch

1 :

Wir dividieren jeden Faktor des Zählers und des Nenners durch

2:

Wir dividieren jeden Faktor des Zählers und des Nenners innerhalb der Wurzel durch

1 :

Durch direkte Auswertung des Grenzwerts der Potenz sowie des Grenzwerts der Basis:

2:

Durch direkte Auswertung des Grenzwerts der Potenz sowie des Grenzwerts der Basis:

3:

Durch direkte Auswertung des Grenzwerts der Potenz sowie des Grenzwerts der Basis:

4:

Durch direkte Auswertung des Grenzwerts der Potenz sowie des Grenzwerts der Basis:

5:

Durch direkte Auswertung des Grenzwerts der Potenz sowie des Grenzwerts der Basis:

In dieser Aufgabe wenden wir im vorletzten Schritt die Formel für die unendliche geometrische Folge an.