Wie man die Umkehrfunktion bestimmen kann
Die Umkehrfunktion von 
ist definiert als die Funktion 
und somit 
und 
. Daher können wir sie ausgehend von bestimmen.
Ebenso wird die Umkehrfunktion von in der Regel als 
bezeichet (beachte, dass sich 
im vorherigen Ausdruck nicht auf einen negativen Exponenten bezieht, sondern nur angibt, dass es sich um eine Umkehrfunktion handelt).
Hinweis: Damit eine Funktion eine Umkehrfunktion hat, ist es im Allgemeinen erforderlich, dass die Funktion eineindeutig (oder bijektiv) ist. Wenn dies nicht der Fall ist, muss der Definitionsbereich eingeschränkt werden.
Wir beachten, dass eine eineindeutige Funktion eine Funktion ist, die jedem Element der Zielmenge einen anderen Wert in der Wertemenge zuweist. Das heißt, wenn 
, ist 
.
Vorgehensweise, um die Umkehrfunktion zu bestimmen
1 Ersetze durch 
.
2 Bestimme die Variable 
. Wir erhalten also einen Ausdruck der Form 
3 Ersetze bei 
die Variable durch .
4 Und schließlich ändern wir das auf der linken Seite in .
Beispiel: Wir betrachten die Funktion 
. Um die Umkehrfunktion zu ermitteln, befolgen wir folgende Schritte:
1 Wir substituieren durch : 
.
2 Wir bestimmen :
,
wobei 
ist
3 Wir tauschen mit :
4 Wir ändern das der linken Seite in :
Schließlich prüfen wir, ob die Funktion die Umkehrfunktion der Funktion ist:
Wir stellen fest, dass 
erfüllt ist.
Aufgaben
Ermittle die Umkehrfunktion der folgenden linearen Funktion:
Wir ermitteln die Umkehrfunktion, ohne die einzelnen Schritte anzugeben. Wir haben 
und substituieren durch :
Wir bestimmen :
Und schließlich substituieren wir durch und durch :
,
welche die Umkehrfunktion ist.
Berechne die Umkehrfunktion der folgenden Funktion
Zunächst substituieren wir durch :
Wir bestimmen :
Das heißt
Und schließlich substituieren wir durch und durch :
,
welche die Umkehrfunktion ist.
Ermittle die Umkehrfunktion der folgenden Funktion (du musst nicht vereinfachen):
Wir beginnen, indem wir durch substituieren :
Nun möchten wir bestimmen. Hierfür multiplizieren wir mit 
:
Wir bringen auf eine Seite der Gleichung und die restlichen Terme auf die andere Seite:
Zuletzt dividieren wir durch 
:
Die Umkehrfunktion ist also
Berechne die Umkehrfunktion der folgenden quadratischen Gleichung
Wir stellen fest, dass 
eine eineindeutige Funktion ist (zum Beispiel 
). Daher hat sie keine Umkehrfunktion im gesamten Definitionsbereich.
Wenn wir jedoch das Intervall 
als Definitionsbereich betrachten, dann ist die Funktion eineindeutig. In diesem Fall erhält man die Umkehrfunktion wie folgt:
Wir bestimmen (und unter Verwendung der Tatsache, dass im gesamten beschränkten Definitionsbereich 
ist):
In diesem Fall ist die Umkehrfunktion also
Wenn wir andererseits den Definitionsbereich auf 
beschränken, erhalten wir die Umkehrfunktion wie folgt:
Wir bestimmen (womit 
erfüllt ist):
Die Umkehrfunktion ist somit
Dies bedeutet, dass 
die Umkehrfunktion von ist. Allerdings nur dann, wenn der Definitionsbereich reelle, positive Zahlen sind. Wenn der Definitionsbereich alle reelle Zahlen sind, hat die Funktion keine Umkehrfunktion.
Ermittle die Umkehrfunktion der folgenden Funktion:
Wir beginnen, indem wir durch substituieren:
Wir bestimmen :
Die Umkehrfunktion ist also
Ermittle die Umkehrfunktion der folgenden Funktion:
Wir beginnen, indem wir durch substituieren:
Denk daran, dass der natürliche Logarithmus die folgende Bedingung erfüllt
Wir wenden also den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten der Gleichung an:
und somit
Die Umkehrfunktion ist also
Ermittle die Umkehrfunktion der folgenden Funktion
Rationale Funktionen sind eineindeutig. Deshalb haben sie eine Umkehrfunktion:
,
wobei wir wissen, dass 
. Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung:
Die Umkehrfunktion ist also
,
wobei (da wir mit tauschen, erfüllt schließlich ).
Mit anderen Worten: Damit 
die Umkehrfunktion von 
ist, muss gelten, dass den Definitionsbereich hat.
Ermittle die Umkehrfunktion von
Wir wissen, dass die Kubikwurzelfunktion eineindeutig ist, dass ihr Definitionsbereich alle reellen Zahlen sind, und dass ihre Wertemenge ebenfalls alle reellen Zahlen sind. Daher hat sie eine Umkehrfunktion, deren Definitionsbereich alle reellen Zahlen sind:
Wir nehmen beide Seiten hoch 3:
Das heißt
Die Umkehrfunktion ist also
Ermittle die Umkehrfunktion von
Überprüfe außerdem:
a 
b 
Zunächst ermitteln wir die Umkehrfunktion und substituieren hierfür durch :
Nun bestimmen wir :
Das heißt
Wir haben bereits bestimmt. Jedoch vereinfachen wir noch ein wenig::
Die Umkehrfunktion ist also
Nun überprüfen wir die gegebenen Aussagen:
a Als Erstes überprüfen wir, ob . Hierfür substituieren wir durch seinen Wert
Im Anschluss werten wir mit der gegebenen Aussage aus
Wir vereinfachen
das heißt
Die erste Beziehung ist also erfüllt.
b Nun überprüfen wir, ob . Wir substituieren durch seinen Ausdruck:
Wir werten aus:
das heißt
Die zweite Beziehung ist also ebenfalls erfüllt.
Berechne die Umkehrfunktion der folgenden Funktion
und überprüfe, ob .
Wir beginnen mit der Berechnung der Umkehrfunktion. Deshalb substituieren wir durch :
Wir bestimmen nun und multiplizieren deshalb mit 
:
Im Anschluss bringen wir die Terme mit auf die linke Seite der Gleichung und die verbleibenen Terme auf die rechte Seite:
Deshalb
Somit ist die Umkehrfunktion
Nun überprüfen wir, ob erfüllt ist. Wir substituieren zunächst den Ausdruck :
Wir werten nun die Umkehrfunktion aus:
Wir vereinfachen:
Und somit:
Daher ist die Beziehung erfüllt.
Berechne die Umkehrfunktion der Funktion 
Wir beginnen, indem wir 
substituieren. Im Anschluss bestimmen wir für 
:
Das heißt:
Berechne die Umkehrfunktion der Funktion 
im geeigneten Definitionsbereich.
Als Erstes stellen wir fest, dass die Funktion injektiv ist. Nämlich 
. Somit suchen wir die Umkehrfunktion im Wertebereich 
. Wir beginnen, indem wir substituieren und bestimmen:
Das heißt
Berechne die Umkehrfunktion der Funktion 
Wir beginnen, indem wir substituieren. Danach bestimmen wir :
Das heißt
Berechne die Umkehrfunktion der Funktion 
Wir beginnen, indem wir substituieren. Danach bestimmen wir :
Das heißt:
Berechne die Umkehrfunktion der Funktion 
Wir beginnen, indem wir substituieren. Danach bestimmen wir :
Das heißt:
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