Aufgaben zur Anwendung des Satzes von Bolzano

Zeige, dass die Funktion die x-Achse auf dem Intervall schneidet. Gilt dies auch für die Funktion ?

1 Die Funktion ist stetig im gesamten Bereich .

2 .

3 Da der Satz von Bolzano erfüllt ist, existiert mindestens ein , das zum Intervall gehört und die x-Achse schneidet.

4 Das Gleiche gilt für die 2. Funktion, da sie nicht stetig bei ist.

Gegeben ist die Funktion:

Kann bestätigt werden, dass auf dem Intervall beschränkt ist?

1 Die Funktion ist nicht stetig bei .

2 Somit ist die Funktion auf dem geschlossenen Intervall nicht stetig.

3 Folglich können wir nicht behaupten, dass die Funktion auf diesem Intervall beschränkt ist.

Gegeben ist die Funktion . Kann bestätigt werden, dass die Funktion alle Werte des Intervalls annimmt?

1 Die Funktion ist im gesamten Definitionsbereich stetig, da es sich um eine Polynomfunktion handelt.

2 Auf dem Intervall gilt und .

3 Aus dem Zwischenwertsatz für Ableitungen ergibt sich, dass die Funktion alle Werte auf dem Intervall annimmt.

Zeige unter Verwendung des Satzes von Bolzano, dass die Gleichung: mindestens eine Lösung hat, so dass .

1 ist stetig bei

2 Das Vorzeichen der Funktion ändert sich bei

3 Da die drei vorherigen Eigenschaften erfüllt sind, existiert , so dass:

.

4 Es gibt also mindestens eine reelle Lösung der Gleichung .

Gegeben ist die Funktion . Kann bestätigt werden, dass mindestens ein Punkt innerhalb des Intervalls exisitiert, so dass ?

1 ist stetig bei .

2 Das Vorzeichen der Funktion ändert sich bei nicht

.

.

3 Der Satz von Bolzano kann nicht angewendet werden, da sich das Vorzeichen nicht ändert.

Begründe, dass die Polynomfunktion eine Nullstelle zwischen y hat.

1 Da es sich um eine Polynomfunktion handelt, ist sie stetig auf dem Intervall .

.

2 Da die drei vorhergehenden Eigenschaften nach dem Satz von Bolzano erfüllt sind, existiert , so dass:

Zeige, dass die Gleichung mindestens eine reelle Lösung hat.

1 Die Funktion ist stetig auf dem Intervall .

.

, so dass:

.

3 Somit existiert mindestens eine reelle Lösung der Gleichung .

Zeige, dass eine reelle Zahl existiert, so dass .

1 Wir betrachten die Funktion .

Sie ist stetig im gesamten Bereich .

2 Da die drei vorhergehenden Eigenschaften nach dem Satz von Bolzano erfüllt sind, existiert , so dass:

3 Somit existiert mindestens eine reelle Lösung der Gleichung .

Gegeben ist die Funktion:

Zeige, dass es einen Punkt auf dem offenen Intervall gibt, auf dem den Wert annimmt.

1 Die Exponentialfunktion ist positiv für gesamt , da der Nenner der Funktion nicht 0 werden kann.

2 Ein Zweifel an der Stetigkeit besteht nur bei , das sich außerhalb des zu untersuchenden Intervalls befindet. Somit ist stetig bei .

3 Wir nehmen die Funktion , die durch definiert ist.

ist stetig auf dem Intervall .

4 Da die drei vorhergehenden Eigenschaften nach dem Satz von Bolzano erfüllt sind, existiert , so dass: