Übungsaufgaben zur Kreisgleichung

Bestimme die Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt und dem Radius .
Wir setzen die Werte in die allgemeine Gleichung des Kreises ein:

Hierbei gilt:

sind die Koordinaten des Mittelpunktes und ist der Radius.

Bestimme den Mittelpunkt und den Radius eines Kreises mit der Gleichung . Wir bringen die Gleichung in die gewöhnliche Form . Dazu gehen wir wie folgt vor:
1 Wir schreiben die Gleichung um, indem wir die Variablen und ordnen und die Trinome zum vollständigen Quadrat ergänzen

2 Wir faktorisieren die Trinome

y

Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius der Kreise:
A Wir bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form:

und

B

und

Da imaginär ist, handelt es sich nicht um einen reellen Kreis

C

Wir dividieren durch 4 und bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form:

und

D

Wir dividieren durch 4 und bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form:

und

Berechne die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt sich bei befindet und der die x-Achse tangiert.

1 Wir stellen den Kreis mit den gegebenen Werten grafisch dar:

2 Aus der Abbildung können wir ableiten, dass

Berechne die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt sich bei befindet und der die y-Achse tangiert.
1 Wir stellen den Kreis mit den gegebenen Werten grafisch dar:

2 Aus der Abbildung können wir ableiten, dass         

Berechne die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt auf dem Schnittpunkt der Geraden und liegt und dessen Radius ist.
Wir stellen ein Gleichungssystem mit den gegebenen Geraden auf; die Lösung des Gleichungssystems entspricht dem Mittelpunkt des Kreises.         

Wir setzen und in die allgemeine Form ein

Bestimme die Gleichung des konzentrischen Kreises mit der Gleichung , der durch den Punkt verläuft.

1 Da die Kreise konzentrisch sind, haben sie denselben Mittelpunkt:

2 Wir berechnen den Mittelpunkt des Kreises

3 Um den Radius zu berechnen, berechnen wie die Entfernung von nach

4 Wir setzen den Mittelpunkt in die allgemeine Form ein

Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt sich bei befindet und der folgende Gerade tangiert: .

1  Der Radius wird mittels der Entfernung zwischen dem Punkt und der Geraden berechnet

2 Wir setzen und in die allgemeine Form ein

Bestimme die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte verläuft.
1 Betrachtet man die allgemeine Gleichung eines Kreises als , ersetzen wir die gegebenen Punkte und bilden ein Gleichungssystem:
2 Wir lösen das Gleichungssystem und ersetzen es in der betrachteten Allgemeinform:                   

Bestimme die Gleichung des Umkreises des Dreiecks der Schnittpunkte: .

1 Wenn man bedenkt, dass die Eckpunkte des Dreiecks Punkte sind, durch die der Umkreis verläuft, kann man die Gleichung des Umfangs wie folgt formulieren und die gegebenen Punkte ersetzen:

2 Wir lösen das Gleichungssystem und ersetzen es in der betrachteten Allgemeinform

Bestimme die Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte und verläuft und dessen Mittelpunkt auf der folgenden Geraden liegt: .

1 Wir bedenken, dass der Punkt der Mittelpunkt des Kreises ist und sich auf der Geraden befindet. Deshalb können wir unser System bilden:

2 Aus den ersten 2 Gleichungen erhalten wir:

3 Wir lösen das System:

Berechne die Gleichung eines Kreises, der durch den Punkt verläuft, dessen Radius ist und dessen Mittelpunkt sich auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten befindet.

Nehmen wir an, dass der Punkt der Mittelpunkt des Kreises ist. Außerdem ist die Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten die Gerade :

2 Wir erhalten 2 Lösungen für :

3  Für

4 Für

Die Extremwerte des Durchmessers eines Kreises sind die Punkte und

Wie lautet die Gleichung eines solchen Kreises?

1 Der Radius des Kreises ist die Mitte zwischen den Punkten und :

2 Der Mittelpunkt des Kreises ist der Punkt in der Mitte der Punkte und :

3 Wir erhalten die Koeffizienten und für die Form

Bestimme die Gleichung eines konzentrischen Kreises zu einem Kreis , der die Gerade tangiert.

1 Wir erhalten den Mittelpunkt des Kreises mit den Koordinaten :         

2 Der Radius ist die Entfernung zwischen und der Geraden :

3 Wir erhalten die Koeffizienten und für die Form

Berechne die relative Lage des Kreises und der Geraden

1 Wir erstellen ein Gleichungssystem aus der Gleichung des Kreises und der Gleichung der Geraden, um deren Schnittpunkte zu bestimmen         

Da es zwei Schnittpunkte gibt, können wir sagen, dass die Gerade eine Sekante ist

Untersuche die relative Lage des Kreises mit den Geraden:

A

Wir erstellen ein Gleichungssystem aus der Gleichung des Kreises und der Gleichung der Geraden, um deren Schnittpunkte zu bestimmen:

Da es zwei Schnittpunkte gibt, können wir sagen, dass die Gerade eine Sekante ist

B

Wir erstellen ein Gleichungssystem aus der Gleichung des Kreises und der Gleichung der Geraden, um deren Schnittpunkte zu bestimmen:

Da es nur einen Schnittpunkt zwischen dem Kreis und der Geraden gibt, ist die Gerade eine Tangente

C

Wir erstellen ein Gleichungssystem aus der Gleichung des Kreises und der Gleichung der Geraden, um deren Schnittpunkte zu bestimmen:

\Delta =(-13)^{2}-4,50< 0[/latex]

Da es keine Schnittpunkte zwischen dem Kreis und der Geraden gibt, ist die Gerade eine Passante