Stelle graphisch dar und bestimmte die Koordinaten der Brennpunkte, der Scheitelpunkte und die Exzentrizität der folgenden Hyperbeln.

 

1{\displaystyle \frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = 1}

 

2{\displaystyle \frac{y^2}{144} - \frac{x^2}{25} = 1}

 

3{2x^2 - 3y^2 = 30}

 

4{9y^2 - 16x^2 = 1296}

1{\displaystyle \frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = 1}

 

Aus der Gleichung der Hyperbel ergibt sich

 

{\begin{array}{lcl}a^2 = 144 & \Longrightarrow & a=12 \\\\ b^2 = 81 & \Longrightarrow & b=9 \end{array}}

 

Wir erhalten den Wert für {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{144 + 81} = 15}

 

Da uns {a, b, c} bekannt sind, die Hyperbel ihren Mittelpunkt im Ursprungspunkt hat und ihre Hauptachse horizontal ist, können wir die Scheitelpunkte {A_1, A_2}, die Brennpunkte {F_1, F_2} und die Exzentrizität {e} bestimmen

 

{A_1 = (-a, 0), \ A_2=(a, 0) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (-12, 0), \ A_2  = (12, 0)}

 

{F_1 = (-c, 0), \ F_2=(c, 0) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (-15, 0), \ F_2  = (15, 0)}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{15}{12} = \frac{5}{4}}

 

Mit den vorhergehenden Werten können wir die Hyperbel graphisch darstellen

 

Aufgabe 1 zur Hyperbel

 

2{\displaystyle \frac{y^2}{144} - \frac{x^2}{25} = 1}

 

Aus der Gleichung der Hyperbel ergibt sich

 

{\begin{array}{lcl}a^2 = 144 & \Longrightarrow & a=12 \\\\ b^2 = 25 & \Longrightarrow & b=5 \end{array}}

 

Wir erhalten den Wert für {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{144 + 25} = 13}

 

Da uns {a, b, c} bekannt sind, die Hyperbel ihren Mittelpunkt im Ursprungspunkt hat und ihre Hauptachse vertikal ist, können wir die Scheitelpunkte {A_1, A_2}, die Brennpunkte {F_1, F_2} und die Exzentrizität {e} bestimmen

 

{A_1 = (0, -a), \ A_2=(0, a) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (0, -12), \ A_2 = (0, 12)}

 

{F_1 = (0, -c), \ F_2=(0, c) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (0, -13), \ F_2 = (0, 13)}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{13}{12}}

 

Mit den vorhergehenden Werten können wir die Hyperbel graphisch darstellen

 

Aufgabe 2 zur Hyperbel

 

3{2x^2 - 3y^2 = 30}

 

Wir dividieren durch 30

 

{\displaystyle \frac{x^2}{15} - \frac{y^2}{10} = 1}

 

Aus der Gleichung der Hyperbel ergibt sich

 

{\begin{array}{lcl}a^2 = 15 & \Longrightarrow & a = \sqrt{15} \\\\ b^2 = 10 & \Longrightarrow & b= \sqrt{10} \end{array}}

 

Wir erhalten den Wert für {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{15 + 10} = 5}

 

Da uns {a, b, c} bekannt sind, die Hyperbel Ihren Mittelpunkt im Ursprungspunkt hat und ihre Hauptachse horizontal ist, können wir die Scheitelpunkte {A_1, A_2}, die Brennpunkte {F_1, F_2} und die Exzentrizität {e} bestimmen

 

{A_1 = (-a, 0), \ A_2=(a, 0) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (-\sqrt{15}, 0), \ A_2 = (\sqrt{15}, 0)}

 

{F_1 = (-c, 0), \ F_2=(c, 0) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (-5, 0), \ F_2 = (5, 0)}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{5}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{3}}

 

Mit den vorhergehenden Werten können wir die Hyperbel graphisch darstellen

 

Aufgabe 3 zur Hyperbel

 

4{9y^2 - 16x^2 = 1296}

 

Wir dividieren durch 1296

 

{\displaystyle \frac{y^2}{144} - \frac{x^2}{81} = 1}

 

Aus der Gleichung der Hyperbel ergibt sich

 

{\begin{array}{lcl}a^2 = 144 & \Longrightarrow & a=12 \\\\ b^2 = 81 & \Longrightarrow & b=9 \end{array}}

 

Wir erhalten den Wert für {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{144 + 81} = 15}

 

Da uns {a, b, c} bekannt sind, die Hyperbel ihren Mittelpunkt im Ursprungspunkt hat und ihre Hauptachse vertikal ist, können wir die Scheitelpunkte {A_1, A_2}, die Brennpunkte {F_1, F_2} und die Exzentrizität {e} bestimmen

 

{A_1 = (0, -a), \ A_2=(0, a) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (0, -12), \ A_2 = (0, 12)}

 

{F_1 = (0, -c), \ F_2=(0, c) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (0, -15), \ F_2 = (0, 15)}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{15}{12} = \frac{5}{4}}

 

Mit den vorhergehenden Werten können wir die Hyperbel graphisch darstellen

 

Aufgabe 4 zur Hyperbel

 

Stelle graphisch dar und bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts, der Brennpunkte, der Scheitelpunkte und die Exzentrizität der folgenden Hyperbeln:

 

1{4x^2 - 3y^2 -8x - 8 = 0}

 

2{y^2 - 2x^2 - 4x - 4y = 0}

1{4x^2 - 3y^2 -8x - 8 = 0}

Wir haben die gewöhnliche Gleichung der Hyperbel

 

{\begin{array}{rcl} 4(x^2 -2x + 1) - 4 - 3y^2 - 8 & = & 0 \\\\ 4(x-1)^2 - 3y^2 & = & 12 \\\\ \displaystyle \frac{(x-1)^2}{3} - \frac{y^2}{4} & = & 1 \end{array}}

 

Aus der Gleichung der Hyperbel ergibt sich der Mittelpunkt und

 

{\begin{array}{lcl}C(h, k) & \Longrightarrow & C(1, 0) \\\\ a^2 = 3 & \Longrightarrow & a = \sqrt{3} \\\\ b^2 = 4 & \Longrightarrow & b=2 \end{array}}

 

Wir erhalten den Wert für {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}}

 

Da uns {a, b, c} bekannt sind, wir ihren Mittelpunkt kennen und wissen, dass ihre Hauptachse horizontal ist, können wir die Scheitelpunkte {A_1, A_2}, die Brennpunkte {F_1, F_2} und die Exzentrizität {e} bestimmen

 

{A_1 = (-a+h, k), \ A_2=(a+h, k) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (1-\sqrt{3}, 0), \ A_2 = (1+\sqrt{3}, 0)}

 

{F_1 = (-c+h, k), \ F_2=(c+h, k) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (1-\sqrt{7}, 0), \ F_2 = (1+\sqrt{7}, 0)}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}}

 

Mit den vorhergehenden Wert können wir die Hyperbel graphisch darstellen

 

Aufgabe 5 zur Hyperbel

 

2{y^2 - 2x^2 - 4x - 4y = 0}

 

Wir haben die gewöhnliche Gleichung der Hyperbel

 

{\begin{array}{rcl} (y^2 - 4y + 4) - 4 - 2(x^2 + 2x + 1) + 2 & = & 0 \\\\ (y-2)^2 - 2(x+1)^2 & = & 2 \\\\ \displaystyle \frac{(y-2)^2}{2} - (x+1)^2 & = & 1 \end{array}}

 

Aus der Gleichung der Hyperbel ergibt sich der Mittelpunkt und

 

{\begin{array}{lcl}C(h, k) & \Longrightarrow & C(-1, 2) \\\\ a^2 = 2 & \Longrightarrow & a = \sqrt{2} \\\\ b^2 = 1 & \Longrightarrow & b=1 \end{array}}

 

Wir erhalten den Wert für {c}

 

{c = \sqrt{a^2 + b^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ c = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}}

 

Da uns {a, b, c} bekannt sind, wir ihren Mittelpunkt kennen und wissen, dass ihre Achse horizontal ist, können wir die Scheitelpunkte {A_1, A_2}, die Brennpunkte {F_1, F_2} und die Exzentrizität {e} bestimmen

 

{A_1 = (h, k-a), \ A_2=(h, k+a) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ A_1 = (-1, 2-\sqrt{2}), \ A_2 = (-1, 2+\sqrt{2})}

 

{F_1 = (h, k-c), \ F_2=(h, k+c) \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ F_1 = (-1, 2-\sqrt{3}), \ F_2 = (-1, 2+\sqrt{3})}

 

{e = \displaystyle \frac{c}{a} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ e = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}}

 

Mit den vorhergehenden Werten können wir die Hyperbel graphisch darstellen

Aufgabe 6 zur Hyperbel

3 Bestimme die Gleichung einer Hyperbel, deren Mittelpunkt im Ursprungspunkt liegt. Die horizontale Hauptachse entspricht 8 und die Brennstrecke entspricht 10.

Da wir die Hauptachse und die Brennstrecke kennen, ergibt sich

 

{\begin{array}{lcl}2a = 8 & \Longrightarrow & a = 4 \\\\ 2c = 10 & \Longrightarrow & c=5 \end{array}}

 

Wir erhalten den Wert für {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{9} = 3}

 

Die Gleichung der Hyperbel ist

 

{\displaystyle \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1}

4 Die Hauptachse einer Hyperbel ist horizontal und misst 12. Bestimme ihre Gleichung, wenn sich der Mittelpunkt im Ursprungspunkt befindet und die Kurve durch den Punkt {P(8, 14)} verläuft.

Die Gleichung der Hyperbel hat die Form

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

Um {a} zu erhalten, nutzen wir die Hauptachse

 

{2a = 12 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = 6}

 

Um {b^2} zu bestimmen, setzen wir {a} und den Punkt {P(8, 14)} in die Gleichung der Hyperbel ein

 

{\displaystyle \frac{8^2}{36} - \frac{14^2}{b^2} = 1 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b^2 = 252}

 

Die gesuchte Gleichung ist

 

{\displaystyle \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{252} = 1}

5Berechne die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage, deren Brennstrecke 34 entspricht; die Strecke von einem Brennpunkt zum nächstgelegenen Scheitelpunkt beträgt 2 und der Mittelpunkt befindet sich im Ursprungspunkt.

Die Gleichung der Hyperbel hat die Form

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

Da wir die Brennstrecke und den Abstand zwischen Brennpunkt und Scheitelpunkt kennen, ergibt sich

 

{\begin{array}{lcl}2c = 34 & \Longrightarrow & c = 17 \\\\ c-a = 2 & \Longrightarrow & a=15 \end{array}}

 

Wir erhalten den Wert für {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{64} = 8}

 

Die Gleichung der Hyperbel ist

 

{\displaystyle \frac{x^2}{225} - \frac{y^2}{64} = 1}

6Bestimme die Gleichung der horizontalen Hyperbel in 1. Hauptlage mit dem Mittelpunkt im Ursprungspunkt, die durch die Punkte {(4, \sqrt{8})} und {(2\sqrt{3}, 2)} verläuft

Die Gleichung der Hyperbel hat die Form

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

Um {a^2} und {b^2} zu bestimmen, ersetzen wir die gegebenen Punkte in der Gleichung der Hyperbel

 

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{4^2}{a^2} - \frac{\sqrt{8}^2}{b^2} & = & 1, \\\\ \displaystyle \frac{(2\sqrt{3})^2}{a^2} - \frac{2^2}{b^2} & = & 1\end{array}}

 

Durch das Lösen des Gleichungssystems erhalten wir

 

{a^2 = 8, \ \ \ b^2 = 8}

 

Die gesuchte Gleichung ist

 

{\displaystyle \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1}

7Bestimme die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage mit dem Mittelpunkt im Ursprungspunkt, die durch den Punkt {(2, \sqrt{3})} verläuft und deren Exzentrizität {\sqrt{3}} ist

Die Gleichung der Hyperbel hat die Form

 

{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}

 

wir setzen den gegebenen Punkt in die Gleichung der Hyperbel ein und erhalten folgende Gleichung

 

{\displaystyle \frac{4}{a^2} - \frac{3}{b^2} = 1}

 

Aus der Exzentrizität ergibt sich folgende Gleichung

 

{\displaystyle \frac{c}{a}=\sqrt{3} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}=\sqrt{3}}

 

Indem wir das System, das sich aus den beiden vorherigen Gleichungen ergibt, lösen, erhalten wir {a^2=\displaystyle\frac{5}{2} } und {b^2=5}

 

Die gesuchte Gleichung ist

 

{\displaystyle \frac{2x^2}{5} - \frac{y^2}{5} = 1}

8Bestimme die Gleichung der horizontalen Hyperbel in 1. Hauptlage mit dem Mittelpunkt im Ursprungspunkt; ein Brennpunkt liegt 50 und 2 von den Scheitelpunkten entfernt

Aus den erhaltenen Werten ergibt sich die Hauptachse und die Brennstrecke

 

{\begin{array}{lcl}2a = 50-2 = 48 & \Longrightarrow & a = 24 \\\\ 2c = 50+2 = 52 & \Longrightarrow & c=26 \end{array}}

 

Wir erhalten den Wert für {b}

 

{b = \sqrt{c^2 - a^2} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = \sqrt{100} = 10}

 

Die Gleichung der Hyperbel ist

 

{\displaystyle \frac{x^2}{576} - \frac{y^2}{100} = 1}

9Bestimme die relative Lage der Geraden {x+y-1=0} im Hinblick auf die Hyperbel {x^2 - 2y^2 = 1}

Wir lösen das Gleichungssystem, das durch die Gerade und die Hyperbel gebildet wird

 

{\begin{array}{rcl}x+y-1&=&0 \\\\ x^2 - 2y^2 &=& 1\end{array}}

 

Wir erhalten die Schnittpunkte {P(3, -2)} und {P'(1, 0)}

 

Somit schneidet die Gerade die Hyperbel

 

Aufgabe 7 zur Hyperbel

 

10Eine gleichseitige Hyperbel verläuft durch den Punkt {\left (4, \displaystyle \frac{1}{2} \right )}. Die Gleichung bezieht sich auf die Asymptoten als Achsen und die Koordinaten der Scheitelpunkte und der Brennpunkte.

Die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel ist

 

{xy=d}

 

Wir ersetzen den Punkt, durch den die Hyperbel verläuft

 

{4 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}=d \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ d=2}

 

Die Gleichung, die sich auf ihre Asymptoten als Achsen bezieht, lautet also

 

{xy=2}

 

Um die Scheitelpunkt zu erhalten, schneiden wir die Gerade, die die Scheitelpunkte enthält, mit der Hyperbel

 

{\begin{array}{rcl} y&=&x \\\\ xy&=&2 \end{array} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm \sqrt{2}, \ y=\pm \sqrt{2}}

 

Die Scheitelpunkte sind {(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})} und {(\sqrt{2}, \sqrt{2})}

 

Wir wissen, dass {c=a\sqrt{2}} und die dazugehörige Gleichung {\sqrt{x^2+y^2}=2\sqrt{2}} lautet. Um die Brennpunkte zu bestimmen, schneiden wir die vorherige Gleichung mit der Geraden, die die Scheitelpunkte enthält.

 

{\begin{array}{rcl} \sqrt{x^2+y^2}&=&2\qrt{2} \\\\ xy&=&2 \end{array} \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x=\pm 2, \ y=\pm 2}

 

Die Brennpunkte sind {(-2, -2)} und {(2, 2)}

 

Aufgabe 8 zur Hyperbel
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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.