Die Hyperbel ist der geometrische Ort der Punkte der Ebene, deren Differenz des Abstands zu den Fixpunkten, genannt Brennpunkte, absolut konstant ist.

 

Elemente der Hyperbel
 

In der oben abgebildeten Grafik bedeutet dies, dass |\overline{PF}-\overline{PF}'|=2a für jeden beliebigen Punkt P auf der Hyperbel gilt.

 

Elemente der Hyperbel

 

Brennpunkte: Dies sind die Fixpunkte F und F'.

2 Brennachse oder Hauptachse: Die Gerade, die durch die Brennpunkte verläuft.

3 Nebenachse: Die Mittelsenkrechte des Segments FF'.

4 Mittelpunkt: Der Schnittpunkt der Achsen.

5 Scheitelpunkte: Die Punkte A und A' sind die Punkte, an denen die Hyperbel die Brennachse schneidet.

6Ortsvektoren: Die Abschnitte zwischen einem Punkt auf der Hyperbel und den Brennpunkten: PF und PF'.

7Brennstrecke: Der Abschnitt \overline{FF}' mit der Länge 2c.

8Hauptachse: Der Abschnitt \overline{AA'} mit der Länge 2a.

9Nebenachse: Der Abschnitt \oveline{BB'} mit der Länge 2b.

Die Punkte B und B' ergeben sich aus dem Schnittpunkt der Nebenachse mit dem Kreis, dessen Mittelpunkt einer der Scheitelpunkte ist und der den Radius c hat.

10Symmetrieachsen: Die Geraden, die die Haupt- oder Nebenachse enthalten.

11Asymptoten: Die Geraden der Gleichungen: \displaystyle y=-\frac{b}{a}x, \ y=\frac{b}{a}x

12Verhältnis zwischen den Halbachsen: c^2=a^2+b^2

 

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Los geht's

Exzentrizität der Hyperbel

 

Die Exzentrizität ist ein Parameter, der die Öffnung der Parabel anzeigt. Diese Zahl ist im Fall von Hyperbeln immer größer als 1.

 

\displaystyle e=\frac{c}{a} \hspace{2cm} c\geq a \hspace{2cm} e\geq 1

 

Beispiele:

 

  • Hyperbel mit der Exzentrizität \displaystyle e=\frac{5}{3}

 

Grafische Darstellung einer Hyperbel mit Exzentrizität

  • Hyperbel mit der Exzentrizität e=\sqrt{2}. Diese Hyperbel heißt gleichseitige Hyperbel. Ihre Asymptoten sind gegeben durch

    y=x \hspace{1.3cm} y=-x

 

 

Grafische Darstellung einer Hyperbel mit Exzentrizität

  • Hyperbel mit der Exzentrizität \displaystyle e=\frac{5}{4}

 

 

Zeichnung einer Hyperbel mit Exzentrizität

  • Hyperbel mit der Exzentrizität e=1

 

Grafische Darstellung einer Hyperbel mit Exzentrizität 1

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.