1 Schreibe die Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt (3,4)
und dem Radius r=2.

Bestimme die Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt (3, 4) und dem Radius 2.1 Wir setzen die Werte in die allgemeine Gleichung des Kreises ein:

\left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}

Hierbei gilt:

C(h,k) sind die Koordinaten des Mittelpunktes und r ist der Radius.

 

(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=4

x^{2}-6x+9+y^{2}-8y+16=4

x^{2}+y^{2}-6x-8y+21=0

2 Bestimme den Mittelpunkt und den Radius eines Kreises mit der Gleichung x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0.

Bestimme den Mittelpunkt und den Radius eines Kreises mit der Gleichung x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0. Wir bringen die Gleichung in die gewöhnliche Form \left ( x-h \right )^{2}+\left ( y-k \right )^{2}=r^{2}. Dazu gehen wir wie folgt vor:
1 Wir schreiben die Gleichung um, indem wir die Variablen x und y ordnen und die Trinome zum vollständigen Quadrat ergänzen

x^{2}-2x+1+y^{2}+4y+4=4+1+4

 

2 Wir faktorisieren die Trinome

 

(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9

\Rightarrow \; C(1,-2) y r=3

3 Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius der Kreise:

 

A x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0

B x^{2}+y^{2}+3x+y+10=0

C 4x^{2}+4y^{2}-4x+12y-6=0

D 4x^{2}+4y^{2}-4x-8y-11=0

Bestimme die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius der Kreise:
A x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0Wir bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form:

(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25

\Rightarrow \; C(2,3) und r=5

 

B x^{2}+y^{2}+3x+y+10=0

 

\left (x+\cfrac{3}{2} \right )^{2}+\left ( y+\cfrac{1}{2} \right )^{2}=-\cfrac{15}{2} und r=\sqrt{-\cfrac{15}{2}}

 

Da r imaginär ist, handelt es sich nicht um einen reellen Kreis

 

C 4x^{2}+4y^{2}-4x+12y-6=0

 

Wir dividieren durch 4 und bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form:

 

x^{2}+y^{2}-x+3y-\cfrac{3}{2}=0

 

\left ( x-\cfrac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\cfrac{3}{2} \right )^{2}=4

 

\Rightarrow \; C\left ( \cfrac{1}{2},-\cfrac{3}{2} \right ) und r=2

 

D 4x^{2}+4y^{2}-4x-8y-11=0

 

Wir dividieren durch 4 und bringen die Gleichung in ihre allgemeine Form:

 

x^{2}+y^{2}-x-2y-\cfrac{11}{4}=0

 

\left ( x-\cfrac{1}{2} \right )+\left ( y-1 \right )^{2}=4

 

\Rightarrow \; C\left ( \frac{1}{2},1 \right ) und r=2

 

4 Berechne die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt sich bei (2,-3) befindet und der die x-Achse tangiert.

Berechne die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt sich bei (2,-3) befindet und der die x-Achse tangiert.
1 Wir stellen den Kreis mit den gegebenen Werten grafisch dar:
Grafische Darstellung eines Kreises mit Mittelpunkt bei 2, -3 und Tangente an der x-Achse
2 Aus der Abbildung können wir ableiten, dass

(2,-3)          s\equiv y=0

 

r=d(C,s)=3

 

(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=9

5 Berechne die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt sich bei (-1,4) befindet und der die y-Achse tangiert.

Berechne die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt sich bei (-1,4) befindet und der die y-Achse tangiert.
1 Wir stellen den Kreis mit den gegebenen Werten grafisch dar:
Grafische Darstellung des Kreises, der die y-Achse tangiert, mit dem Mittelpunkt bei -2,8
2 Aus der Abbildung können wir ableiten, dass

(-1,4)          s\equiv x=0

 

r=d(C,s)=1

 

(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=1

6 Berechne die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt auf dem Schnittpunkt der Geraden x+3y+3=0 und x+y+1=0 liegt und dessen Radius 5 ist.

Berechne die Gleichung eines Kreises, dessen Mittelpunkt auf dem Schnittpunkt der Geraden x+3y+3=0 und x+y+1=0 liegt und dessen Radius 5 ist.
1 Wir stellen ein Gleichungssystem mit den gegebenen Geraden auf; die Lösung des Gleichungssystems entspricht dem Mittelpunkt des Kreises.

\left\{\begin{matrix} x+3y+3=0\\ x+y+1=0 \end{matrix}\right.     \Rightarrow     C(0,-1)

 

2 Wir setzen C(0,-1) und r=5 in die allgemeine Form ein

 

\left ( x-0 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=5^{2}

x^{2}+y^{2}+2y-24=0

 

Grafische Darstellung des Kreises mit Mittelpunkt bei -1, 0

7 Bestimme die Gleichung des konzentrischen Kreises mit der Gleichung x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0, der durch den Punkt (-3,4) verläuft.

Bestimme die Gleichung des konzentrischen Kreises mit der Gleichung x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0, der durch den Punkt (-3,4) verläuft.
1 Da die Kreise konzentrisch sind, haben sie denselben Mittelpunkt:Grafische Darstellung des konzentrischen Kreises mit dem Mittelpunkt bei 3 und -1
2 Wir berechnen den Mittelpunkt des Kreises x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=16

\Rightarrow \; C(3,-1)

 

3 Um den Radius zu berechnen, berechnen wie die Entfernung von C(3,-1) nach (-3,4)

 

r=d(P,C)=\sqrt{(3+3)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{61}

 

4 Wir setzen den Mittelpunkt in die allgemeine Form ein

 

\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y+1 \right )^{2}=( \sqrt{61})^{2}

x^{2}+y^{2}-6x+2y-51=0

 

8 Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt sich bei C(3,1) befindet und der folgende Gerade tangiert: 3x-4y+5=0.

Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt sich bei C(3, 1) befindet und der folgende Gerade tangiert: 3x-4y+5=0.1 Der Radius wird mittels der Entfernung zwischen dem Punkt C(3, 1) und der Geraden 3x-4y+5=0 berechnet

r=d(C,s)=\cfrac{3\cdot 3-4\cdot 1+5}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=2

 

2 Wir setzen C(3,1) und r=2 in die allgemeine Form ein

 

(x-3)^{2}+(y-k)^{2}=2^{2}

x^{2}+y^{2}-6x-2y+6=0

 

Grafische Darstellung des Kreises mit Mittelpunkt bei 3 und 1, der die Gerade tangiert

9 Bestimme die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte A(2,0),\; B(2,3),\; C(1,3) verläuft.

Bestimme die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte A(2,0),\; B(2,3),\; C(1,3) verläuft.
1 Betrachtet man die allgemeine Gleichung eines Kreises als x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0, ersetzen wir die gegebenen Punkte und bilden ein Gleichungssystem: \left\{\begin{matrix} 4+0+2A+0+C=0\\ 4+9+2A+3B+C=0\\ 1+9+A+3B+C=0 \end{matrix}\right.
2 Wir lösen das Gleichungssystem und ersetzen es in der betrachteten Allgemeinform:

A=-3          B=-3          C=2

x^{2}+y^{2}-3x-3y+2=0

 

10 Bestimme die Gleichung des Umkreises des Dreiecks der Schnittpunkte: A(0,0),\; B(3,1),\; C(5,7).

Bestimme die Gleichung des Umkreises des Dreiecks der Schnittpunkte: A(0,0),\; B(3,1),\; C(5,7).
Grafische Darstellung des Umkreises des Dreiecks
1 Wenn man bedenkt, dass die Eckpunkte des Dreiecks Punkte sind, durch die der Umkreis verläuft, kann man die Gleichung des Umfangs wie folgt formulieren x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 und die gegebenen Punkte ersetzen:

\left\{\begin{matrix} 0^{2}+0^{2}+A\cdot 0+B\cdot 0+C=0\\ 3^{2}+1^{2}+A\cdot 3 + B\cdot 1 +C=0 \\ 5^{2}+7^{2}+A\cdot 5 + B\cdot 7 +C=0 \end{matrix}\right.

 

2 Wir lösen das Gleichungssystem und ersetzen es in der betrachteten Allgemeinform

 

\left\{\begin{matrix} C=0\\ 3A+B+C=-10 \\ 5A+7B+C=-74 \end{matrix}\right.

 

A=\frac{1}{4}          B=-\frac{43}{4}          C=0

 

x^{2}+y^{2}+\cfrac{1}{4}x-\cfrac{43}{4}y=0

11 Bestimme die Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte A(2,1) und B(-2,3) verläuft und dessen Mittelpunkt auf der folgenden Geraden liegt: x+y+4=0.

Bestimme die Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte A(2,1) und B(-2,3) verläuft und dessen Mittelpunkt auf der folgenden Geraden liegt: x+y+4=0.
Grafische Darstellung eines Kreises mit dem Mittelpunkt auf einer Geraden
1 Wir bedenken, dass der Punkt (a,b) der Mittelpunkt des Kreises ist und sich auf der Geraden x+y+4=0 befindet. Deshalb können wir unser System bilden:

\left\{\begin{matrix} \left ( 2-a \right )^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}=r^{2}\\ \left ( -2-a \right )^{2}+\left ( 3-b \right )^{2}=r^{2}\\ a+b+4=0 \end{matrix}\right.

 

2 Aus den ersten 2 Gleichungen erhalten wir:

 

\left\{\begin{matrix} \left ( 2-a \right )^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}=\left ( -2-a \right )^{2}+\left ( 3-b \right )^{2}\\ a+b+4=0 \end{matrix}\right.

 

3 Wir lösen das System:

 

a=-2        b=-2          r=5

x^{2}+y^{2}+4x+4y-17=0

12 Berechne die Gleichung eines Kreises, der durch den Punkt (0,-3) verläuft, dessen Radius \sqrt{5} ist und dessen Mittelpunkt sich auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten befindet.

Berechne die Gleichung eines Kreises, der durch den Punkt (0,-3) verläuft, dessen Radius \sqrt{5} ist und dessen Mittelpunkt sich auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten befindet.
Grafische Darstellung eines Kreises mit Mittelpunkt auf einer Geraden
1 Nehmen wir an, dass der Punkt (a,b) der Mittelpunkt des Kreises ist. Außerdem ist die Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten die Gerade x=y:

(0-a)^{2}+(-3-b)^{2}=5

a^{2}+b^{2}+6b+4=0

C \LARGE \epsilon s\equiv y=x          a=b

b^{2}+b^{2}+6b+4=0

b^{2}+3b+2=0

 

2 Wir erhalten 2 Lösungen für b:

b=-1                                           b=-2

 

3 Für b=-1

 

C_{1}(-1,-1)

A_{1}=-2\cdot (-1)=2

B_{1}=-2\cdot (-1)=2

C_{1}=1+1-5=-3

x^{2}+y^{2}+2x+2y-3=0

 

4 Für b=-2

A_{2}=-2\cdot (-2)=4

B_{2}=-2\cdot (-2)=4

C_{2}=4+4-5=3

x^{2}+y^{2}+4x+4y+3=0

13 Die Extremwerte des Durchmessers eines Kreises sind die Punkte A(-5,3) und B(3, 1). Wie lautet die Gleichung eines solchen Kreises?

Die Extremwerte des Durchmesses eines Kreises sind die Punkte A(-5,3) y B(3,1). Wie lautet die Gleichung eines  solchen Kreises?representación gráfica de un circulo y una recta con dos puntos en la circunferencia A y B y con centro C
1 Der Radius des Kreises ist die Mitte zwischen den Punkten A und B:

r=\cfrac{1}{2}d(A,B)=\cfrac{1}{2}\sqrt{\left ( 3+5 \right )^{2}+\left ( 1-3 \right )^{2}}=\sqrt{17}

 

2 Der Mittelpunkt des Kreises ist der Punkt in der Mitte der Punkte A und B:

 

C=\left ( \cfrac{-5+3}{2},\cfrac{3+1}{2} \right )=(-1,2)

 

3 Wir erhalten die Koeffizienten A, B und C für die Formx^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0

 

A=-2\cdot (-1)=2          B=-2\cdot 2=-4

C=\left (-1 \right )^{2}+2^{2}-\left ( \sqrt{17} \right )^{2}=-12

x^{2}+y^{2}+2x-4y-12=0

14 Bestimme die Gleichung eines konzentrischen Kreises zu einem Kreis x^{2}+y^{2}-4x+6y-17=0, der die Gerade 3x-4y+7=0 tangiert.

Bestimme die Gleichung eines konzentrischen Kreises zu einem Kreis x^{2}+y^{2}-4x+6y-17=0, der die Gerade 3x-4y+7=0 tangiert.
Grafische Darstellung eines konzentrischen Kreises zu einem Kreis, der eine Gerade tangiert
1 Wir erhalten den Mittelpunkt des Kreises mit den Koordinaten (a,b):

-4=-2a          a=2

6=-2b          b=-3

 

2 Der Radius ist die Entfernung zwischen (a,b) und der Geraden 3x-4y+7=0:

 

r=d(C,s)=\cfrac{2\cdot 3-4\cdot (-3)+7}{\sqrt{9+16}}=5

 

3 Wir erhalten die Koeffizienten A, B und C für die Form x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0

 

A=-4        B=6          C=4+9-25=-12

x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0

15 Berechne die relative Lage des Kreises x^{2}+y^{2}-2x-3=0 und der Geraden 3x+y-5=0.

Berechne die relative Lage des Kreises x^{2}+y^{2}-2x-3=0 und der Geraden 3x+y-5=0.representacion de posicion relativa de una recta en una circunferencia
1 Wir erstellen ein Gleichungssystem aus der Gleichung des Kreises und der Gleichung der Geraden, um deren Schnittpunkte zu bestimmen

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-2x-3=0\\ 3x+y-5=0 \end{matrix}\right.          y=5-3x

 

x^{2}+\left ( 5-3x \right )^{2}-2x-3=0

5x^{2}-16x+11=0

 

x=\cfrac{16\pm \sqrt{256-220}}{10}=\cfrac{16\pm 6}{10}

 

x_{1}=\cfrac{11}{5}          x_{2}=1

 

P\left ( \cfrac{11}{5},-\cfrac{8}{5} \right )          Q(1,2)

 

Da es zwei Schnittpunkte gibt, können wir sagen, dass die Gerade eine Sekante ist

16 Untersuche die relative Lage des Kreises x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0 mit den Geraden:

A x+7y-20=0

B 3x+4y-27=0

C x+y-10=0

Untersuche die relative Lage des Kreises x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0 mit den Geraden:
A x+7y-20=0Grafische Darstellung eines Kreises und einer Sekante
Wir erstellen ein Gleichungssystem aus der Gleichung des Kreises und der Gleichung der Geraden, um deren Schnittpunkte zu bestimmen:

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ x+7y-20=0 \end{matrix}\right.

 

x=20-7y          y^{2}-5y+6=0

y_{1}=3    x_{1}=-1    P(-1,3)

y_{2}=2    x_{2}=6    Q(6,2)

 

Da es zwei Schnittpunkte gibt, können wir sagen, dass die Gerade eine Sekante ist

 

B 3x+4y-27=0

 

Grafische Darstellung eines Kreises und einer Tangente

 

Wir erstellen ein Gleichungssystem aus der Gleichung des Kreises und der Gleichung der Geraden, um deren Schnittpunkte zu bestimmen:

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ 3x+4y-27=0 \end{matrix}\right.

x=\cfrac{-4y+27}{3}    y^{2}-6y+9=0

y=3          x=5          P(5,3)

 

Da es nur einen Schnittpunkt zwischen dem Kreis und der Geraden gibt, ist die Gerade eine Tangente

 

C x+y-10=0

 

Darstellung eines Kreises und einer Geraden, die keine Tangente ist

 

Wir erstellen ein Gleichungssystem aus der Gleichung des Kreises und der Gleichung der Geraden, um deren Schnittpunkte zu bestimmen:

 

\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-4x+2y-20=0\\ x+y-10=0 \end{matrix}\right.

 

y=10-x          x^{2}-13x+50=0

\Delta =(-13)^{2}-4.50< 0

 

Da es keine Schnittpunkte zwischen dem Kreis und der Geraden gibt, ist die Gerade eine Passante

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.