Sind der Mittelpunkt eine Ellipse C(x_0, y_0) und ihre Hauptachse parallel zur Achse der Abszissen (Achse X), besitzen die Brennpunkte die Koordinaten F(x_0 + c, y_0) und F'(x_0 - c, y_0). Die Ellipsengleichung lautet

ellipsengleichungen-abbildung-1
Abbildung 1: Ellipse im Koordinatensystem

 

\displaystyle \frac{(x - x_0)^2}{a^2} + \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1

 

mit der entsprechenden großen und kleinen Halbachse a und b.

 

Durch Auflösen der Nenner und Vereinfachen der Gleichung erhält man in der Regel die Form:

 

\displaystyle Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0

 

A und B haben dabei dasselbe Vorzeichen. Diese Formel nennt man auch allgemeine Gleichung für Kegelschnitte.

 

Beispiele

 

1. Stelle die Ellipsengleichung mit Brennpunkt F(7, 2), Scheitelpunkt A(9, 2) und Mittelpunkt C(4, 2) auf.

Zunächst ist festzustellen, dass die Hauptachse parallel zur Abszissenachse verläuft, was wir anhand des Mittelpunkts und eines der Brennpunkte feststellen können; beachte, dass der Brennpunkt rechts vom Mittelpunkt der Ellipse liegt. Dadurch erhalten wir vorerst die Gleichung

 

\displaystyle \frac{(x - 4)^2}{a^2} + \frac{(y - 2)^2}{b^2} = 1

 

Wir wissen, dass a für die größere Halbachse steht. Die größere Halbachse ist gleich dem Abstand zwischen Mittelpunkt und Scheitelpunkt.

 

\displaystyle a^2 = (d(C, V))^2 = (9-4)^2 + (2-2)^2 = 25

 

Außerdem wissen wir, dass für die kleine Halbachse b^2 = a^2 - c^2 gilt, wobei c den Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zum Brennpunkt ist, das heißt

 

\displaystyle c^2 = (d(C, F))^2 = (7-4)^2 + (2-2)^2 = 9

 

Somit ist

 

\displaystyle b^2 = 25 - 9 = 16

 

Wir erhalten die Gleichung

 

\displaystyle \frac{(x - 4)^2}{25} + \frac{(y - 2)^2}{16} = 1

 

 

2. Gegeben sei eine Ellipse mit der Gleichung

 

\displaystyle \frac{(x - 6)^2}{36} + \frac{(y + 4)^2}{16} = 1

 

Ermittle ihren Mittelpunkt, Halbachsen, Scheitelpunkte und Brennpunkte.

An der Ellipsengleichung lässt sich ablesen, dass der Mittelpunkt C(6, -4) ist.

 

Um die Halbachsen zu finden, stellen wir fest, dass wir a = 6 aus a^2 = 36 und b^2 = 16, also b = 4 erhalten. a ist die größere Halbachse, da der Wert größer als der von b ist. Im Umkehrschluss ist b die kleine Halbachse.

 

Da a die größere Halbachse darstellt und der Teiler des Ausdrucks (x - 6)^2 ist, ist die große Halbachse parallel zur Abszissenachse. Damit liegt der Scheitelpunkt a Einheiten rechts und a Einheiten links des Mittelpunkts. Die Scheitelpunkte sind also V_{1}(0, -4) und V_{2}(12, -4).

 

Als Letztes müssen die Brennpunkte gefunden werden. Die Hälfte der Brennweite (Abstand vom Mittelpunkt zu jedem der Brennpunkte) wird mit c ausgedrückt und erfüllt c^2 = a^2 - b^2. Man erhält also

 

\displaystyle c^2 = 36 - 16 = 20.

 

Man erhält c = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} und die Brennpunkte F_{1}(6 - 2 \sqrt{5}, -4) und F_{2}(6 + 2 \sqrt{5}, -4).

 

 

Ellipse in 1. Hauptlage

Wir nehmen den Mittelpunkt der Koordinaten als Mittelpunkt der Ellipse und die Koordinatenachsen als Achsen der Ellipse. Die Koordinaten der Brennpunkte sind:

 

ellipsengleichungen-abbildung-2
Abbildung 2: Ellipse im Koordinatensystem

 

\displaystyle F'(-c, 0) und \displaystyle F(c, 0). Außerdem trifft auf jeden beliebigen Punkt \displaystyle P(x, y) auf der Ellipse zu, dass

 

\displaystyle d(P,F') + d(P,F) = 2a .

 

Man erkennt, dass dieser Ausdruck gleichwertig zu

 

\displaystyle \sqrt{(x + c)^2 + y} + \sqrt{(x - c)^2 + y} = 2a ist.

 

Durch Vereinfachen und Auflösen, erhält man

 

\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 .

 

mit b^2 = a^2 - c^2, wie auf der vorherigen Grafik zu sehen ist.

 

Beispiel:

 

Finde die charakteristischen Elemente und die Ellipsengleichung für die Ellipse in 1. Hauptlage mit den Brennpunkten: F'(-3,0), F(3, 0) und großer Halbachse 10.

Zu unserer Aufgabe gehört folgende Grafik

 

ellipsengleichungen-abbildung-3
Abbildung 3: Ellipse im Koordinatensystem

 

Man sieht, dass der Mittelpunkt der Ellipse auch der Mittelpunkt der beiden Brennpunkte ist, das heißt

 

\displaystyle C(x, y) = \frac{(-3,0) + (3,0)}{2} = (0,0)

 

Die Brennpunkte liegen auf der Abszissenachse, folglich liegt dort auch die große Halbachse. a ist die Hälfte der großen Halbachse, d.h. a = \frac{10}{2} = 5 mit a als große Halbachse.

 

Die Hälfte der Brennweite c ist gleich dem Abstand von den Brennpunkten zum Mittelpunkt der Ellipse a = d(C,F) = 3.

 

Zuletzt findet man die kleine Halbachse anhand der großen Halbachse und c, wenn für die kleine Halbachse b^2 = a^2 - c^2 zutrifft:

 

\displaystyle b^2 = 25 - 9 = 16

 

Man erhält b = 4. Unsere Ellipsengleichung ist daher

 

\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16}= 1.

 

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Los geht's

Ellipse in 2. Hauptlage

 

ellipsengleichungen-abbildung-4
Abbildung 4: Ellipse im Koordinatensystem

 

Wenn die Hauptachse auf der y-Achse des Koordinatensystems verläuft, folgt die Berechnung dieser Gleichung:

 

\displaystyle \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1

 

Die Koordinaten der Brennpunkte sind F'(0, -c) y F(0, c).

 

Beispiel

 

Gegegeben ist die Ellipsengleichung

 

\displaystyle \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1

 

Finde die Koordinaten der Scheitelpunkte, der Brennpunkte und die Exzentrität der Ellipse (= Abstand des Brennpunktes zum Mittelpunkt)

Ermittle zuerst die Hälfte der Brennweite. Die Hälfte der Brennweite wird mit c bezeichnet und es gilt c^2 = a^2 + b^2, das heißt

 

\displaystyle c^2 = 9 - 4 = 5,

 

Somit ist c = \sqrt{5}. Aus diesem Wert können wir schließen, dass die Brennpunkte die Koordinaten F'(0, -\sqrt{5}) und F(0, \sqrt{5}) haben.

 

Um die Scheitelpunkte zu ermitteln, erinnere dich daran, dass diese sich a a Einheiten über und unter dem Mittelpunkt der Ellipse befinden, das heißt für a = \sqrt{9} = 3 erhält man die Scheitelpunkte V'(0, -3) und F(0, 3).

 

Die Exzentrität der Ellipse ist gleich

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}.

 

Hauptachsentransformation

 

ellipsengleichungen-abbildung-5
Abbildung 5: Ellipse im Koordinatensystem

 

Wenn der Mittelpunkt einer Ellipse C(x_0, y_0) ist (sei er der Ursprungspunkt oder nicht) und die Hauptachse parallel zur y-Achse des Koordinatensystems verläuft, haben die Brennpunkte die Koordinaten F'(x_0, y_0 - c) und F(x_0, y_0 + c) und die Ellipsengleichung ist:

 

\displaystyle \frac{(y - y_0)^2}{a^2} + \frac{(x - x_0)^2}{b^2} = 1

 

Beispiele

 

1. Schreibe dir folgenden Gleichungen in die allgemeine Kegelschnittgleichung (oder die allgemeine Ellipsengleichung) um und ermittle die Koordinaten ihrer Brennpunkte, Scheitelpunkte sowie ihre Exzentrität und stelle sie grafisch dar.

 

a. x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 = 0

 

b. 25x^2 + 9y^2 - 18y - 216 = 0

 

c. x^2 + 3y^2 - 6x + 6y = 0

 

d. 3x^2 + y^2 - 24x + 39 = 0

 

a. x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 = 0

 

Um die Ellipsengleichung zu erhalten, müssen die grundlegenden Regeln der Algebra angewandt werden

 

     \begin{align*} x^2 + 2y^2 - 2x + 8y + 5 &= 0\\ x^2 - 2x + 2y^2 + 8y + 5 &= 0\\ (x^2 - 2x + 1) + 2(y^2 + 4y + 4) + 5 - 1 - 8 &= 0\\ (x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 - 4 &= 0\\ (x - 1)^2 + 2(y + 2)^2 &= 4\\ \frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{2(y + 2)^2}{4} &= 1\\ \frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{2} &= 1\\ \end{align*}

 

Die letzte Gleichung enspricht bereits in ihrer Form der Ellipsengleichung. An ihr lässt sich ablesen, dass der Mittelpunkt der Ellipse C(1, -2) ist.

 

Man erkennt ebenso, dass die große Halbachse a = 2 ist und die kleine Halbachse b = \sqrt{2}. Da die große Halbachse den Term der x's teilt, muss die Hauptachse der Ellipse parallel zur Abszissenachse liegen. Die Scheitelpunkte liegen daher a Einheiten rechts und links vom Mittelpunkt der Ellipse und haben die Koordinaten V'(-1, -2) und V(3, -2).

 

Um die Brennpunkte zu erhalten, muss die Hälfte der Brennweite c berechnet werden, für die gilt c^2 = a^2 - b^2, d.h. wir erhalten

 

\displaystyle c^2 = 4 - 2 = 2

 

Folglich ist c = \sqrt{2}. Die Brennpunkte liegen c Einheiten links und rechts des Mittelpunkts der Ellipse und haben daher die Koordinaten F'(1 - \sqrt{2}, -2) und F(1 + \sqrt{2}, -2).

 

Die Exzentrität ist durch

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}

gegeben.

Die grafische Darstellung der Ellipse sieht wie folgt aus:

 

ellipsengleichungen-abbildung-6
Abbildung 6: Ellipse im Koordinatensystem

 

b. 25x^2 + 9y^2 - 18y - 216 = 0

 

Um die Ellipsengleichung zu erhalten, müssen die grundlegenden Regeln der Algebra angewandt werden

 

     \begin{align*} 25x^2 + 9y^2 - 18y - 216 &= 0\\ 25x^2 + 9(y^2 - 2y) - 216 &= 0\\ 25x^2 + 9(y^2 - 2y) + 9 - 9 - 216 &= 0\\ 25x^2 + 9(y^2 - 2y + 1) - 225 &= 0\\ 25x^2 + 9(y - 1)^2 - 225 &= 0\\ 25x^2 + 9(y - 1)^2 &= 225\\ \frac{25x^2}{225} + \frac{9(y - 1)^2}{225} &= 1\\ \frac{x^2}{9} + \frac{(y - 1)^2}{25} &= 1\\ \end{align*}

 

Die letzte Gleichung enspricht bereits in ihrer Form der Ellipsengleichung. Anhand der Gleichung lässt sich erkennen, dass der Mittelpunkt der Ellipse bei C(0, 1) liegt.

 

Aus der Gleichung lässt sich auch ablesen, dass die große Halbachse a = 5 und die kleine Halbachse b = 3 ist. Da die große Halbachse den Term der y's teilt, muss die Hauptachse der Ellipse parallel zur Koordinatenachse liegen. Die Scheitelpunkte liegen daher a Einheiten rechts und links vom Mittelpunkt der Ellipse und haben die Koordinaten V'(0, -4) und V(0, 6).

 

Um die Brennpunkte zu erhalten, muss die Hälfte der Brennweite c berechnet werden, für die gilt c^2 = a^2 - b^2, d.h. wir erhalten

 

\displaystyle c^2 = 25 - 9 = 16

 

Aus der letzten Gleichung ergibt sich c = 4. Die Brennpunkte liegen c Einheiten links und rechts des Mittelpunkts der Ellipse und haben daher die Koordinaten F'(0, -3) und F(0, 5).

 

Die Exzentrität ist durch

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}

 

Die grafische Darstellung der Ellipse sieht wie folgt aus:

 

ellipsengleichungen-abbildung-7
Abbildung 2: Ellipse im Koordinatensystem

 

c. x^2 + 3y^2 - 6x + 6y = 0

 

Um die Ellipsengleichung zu erhalten, müssen die grundlegenden Regeln der Algebra angewandt werden

 

     \begin{align*} x^2 + 3y^2 - 6x + 6y &= 0\\ x^2 - 6x + 3y^2 + 6y &= 0\\ (x^2 - 6x + 9) + 3(y^2 + 2y + 1) - 9 - 3 &= 0\\ (x - 3)^2 + 3(y + 1)^2 - 12 &= 0\\ (x - 3)^2 + 3(y + 1)^2 &= 12\\ \frac{(x - 3)^2}{12} + \frac{3(y + 1)^2}{12} &= 1\\ \frac{(x - 3)^2}{12} + \frac{(y + 1)^2}{4} &= 1\\ \end{align*}

 

Die letzte Gleichung enspricht bereits in ihrer Form der Ellipsengleichung. Anhand der Gleichung lässt sich erkennen, dass der Mittelpunkt der Ellipse bei C(3, -1) liegt.

 

Aus der Gleichung lässt sich auch ablesen, dass die große Halbachse a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} und die kleine Halbachse b = 2 ist. Da die große Halbachse den Term der x's teilt, muss die Hauptachse der Ellipse parallel zur Abszissenachse liegen. Daraus lässt sich schließen, dass die Scheitelpunkte a Einheiten rechts und links vom Mittelpunkt der Ellipse liegen und die Koordinaten V'(3 - 2\sqrt{3}, -1) und V(3 + 2\sqrt{3}, -1) besitzen.

 

Um die Brennpunkte zu erhalten, muss die Hälfte der Brennweite c berechnet werden, für die gilt c^2 = a^2 - b^2, d.h. wir erhalten

 

\displaystyle c^2 = 12 - 4 = 8

 

Aus der letzten Gleichung ergibt sich c = 2\sqrt{2}. Die Brennpunkte liegen c Einheiten links und rechts des Mittelpunkts der Ellipse und haben daher die Koordinaten F'(3 - 2\sqrt{2}, -1) und F(3 + 2\sqrt{2}, -1).

 

Die Exzentrität ist durch

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}

 

Die grafische Darstellung der Ellipse sieht wie folgt aus:

 

ellipsengleichungen-abbildung-8
Abbildung 8: Ellipse im Koordinatensystem

 

d. 3x^2 + y^2 - 24x + 39 = 0

 

Um die Ellipsengleichung zu erhalten, müssen die grundlegenden Regeln der Algebra angewandt werden

 

     \begin{align*} 3x^2 + y^2 - 24x + 39 &= 0\\ 3x^2 - 24x + y^2 + 39 &= 0\\ 3(x^2 - 8x) + y^2 + 39 &= 0\\ 3(x^2 - 8x + 16) + y^2 + 39 - 48 &= 0\\ 3(x - 4)^2 + y^2 - 9 &= 0\\ 3(x - 4)^2 + y^2 &= 9\\ \frac{3(x - 4)^2}{9} + \frac{y^2}{9} &= 1\\ \frac{(x - 4)^2}{3} + \frac{y^2}{9} &= 1\\ \end{align*}

 

Die letzte Gleichung enspricht bereits in ihrer Form der Ellipsengleichung. An ihr lässt sich ablesen, dass der Mittelpunkt der Ellipse C(4, 0) ist.

 

Man erkennt ebenso, dass die große Halbachse a = 3 ist und die kleine Halbachse b = \sqrt{3}. Da die große Halbachse den Term der y's teilt, muss die Hauptachse der Ellipse parallel zur Koordinatenachse liegen. Die Scheitelpunkte liegen daher a Einheiten rechts und links vom Mittelpunkt der Ellipse und haben die Koordinaten V'(4, -3) und V(4, 3).

 

Um die Brennpunkte zu erhalten, muss die Hälfte der Brennweite c berechnet werden, für die gilt c^2 = a^2 - b^2, d.h. wir erhalten

 

\displaystyle c^2 = 9 - 3 = 6

 

Aus der letzten Gleichung ergibt sich c = \sqrt{6}. Die Brennpunkte liegen c Einheiten links und rechts des Mittelpunkts der Ellipse und haben daher die Koordinaten F'(4, -\sqrt{6}) y F(4, \sqrt{6}).

 

Die Exzentrität ist durch

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}

 

Die grafische Darstellung der Ellipse sieht wie folgt aus:

 

ellipsengleichungen-abbildung-9
Abbildung 9: Ellipse im Koordinatensystem

 

2. Stelle die Ellipsengleichung anhand der folgenden Vorgaben auf:

 

a. C(0,0), \; F(2,0), \; A(3, 0)

 

b. C(0,0), \; F(0, 4), \; A(0, 5)

 

c. C(1, -1), \; F(1, 2), \; A(1, 4)

 

d. C(-3, 2), \; F(-1, 2), \; A(2, 2)

a. C(0,0), \; F(2,0), \; A(3, 0)

 

Beim Lösen der Gleichung fällt auf, dass man den Abstand c zwischen Brennpunkt und Mittelpunkt (=die Hälfte der Brennweite) leicht mit dem Wert c = 2 ablesen kann. Auch die große Halbachse ist leicht zu erhalten, da sie aus dem Abstand von Scheitelpunkt und Mittelpunkt gebildet wird und folglich a = 3 ist. Zuletzt kann die kleine Halbachse auf Basis der großen Halbachse und der Brennweite bestimmt werden, da b^2 = a^2 - c^2 gilt, das heißt

 

\displaystyle b^2 = 9 - 4 = 5

 

Folglich ist b = \sqrt{5}. Wenn die Brennpunkte rechts und links des Mittelpunkts der Ellipse liegen, wird der Term, der x enthält durch das Quadrat der großen Halbachse geteilt. Andersherum wird y durch das Quadrat der großen Halbachse geteilt, wenn die Brennpunkte über und unter dem Mittelpunkt liegen. Unsere Gleichung ist

 

\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1.

 

b. C(0,0), \; F(0, 4), \; A(0, 5)

 

Beim Lösen der Gleichung fällt auf, dass man den Abstand c zwischen Brennpunkt und Mittelpunkt (=die Hälfte der Brennweite) leicht mit dem Wert c = 4 ablesen kann. Auch die große Halbachse ist leicht zu erhalten, da sie aus dem Abstand von Scheitelpunkt und Mittelpunkt gebildet wird und folglich a = 5 ist. Zuletzt kann die kleine Halbachse auf Basis der großen Halbachse und der Brennweite bestimmt werden, da b^2 = a^2 - c^2 gilt, das heißt

 

\displaystyle b^2 = 25 - 16 = 9

 

Folglich ist b = 3. Wenn die Brennpunkte rechts und links des Mittelpunkts der Ellipse liegen, wird der Term, der x enthält durch das Quadrat der großen Halbachse geteilt. Andersherum wird y durch das Quadrat der großen Halbachse geteilt, wenn die Brennpunkte über und unter dem Mittelpunkt liegen. Unsere Gleichung ist

 

\displaystyle \frac{y^2}{25} + \frac{x^2}{9} = 1.

 

c. C(1, -1), \; F(1, 2), \; A(1, 4)

 

Beim Lösen der Gleichung fällt auf, dass man den Abstand c zwischen Brennpunkt und Mittelpunkt (=die Hälfte der Brennweite) leicht mit dem Wert c = 3 ablesen kann. Auch die große Halbachse ist leicht zu erhalten, da sie aus dem Abstand von Scheitelpunkt und Mittelpunkt gebildet wird und folglich a = 5 ist. Zuletzt kann die kleine Halbachse auf Basis der großen Halbachse und der Brennweite bestimmt werden, da b^2 = a^2 - c^2 gilt, das heißt

 

\displaystyle b^2 = 25 - 9 = 16

 

Folglich ist b = 4. Wenn die Brennpunkte rechts und links des Mittelpunkts der Ellipse liegen, wird der Term, der x enthält durch das Quadrat der großen Halbachse geteilt. Andersherum wird y durch das Quadrat der großen Halbachse geteilt, wenn die Brennpunkte über und unter dem Mittelpunkt liegen. Unsere Gleichung ist

 

\displaystyle \frac{(y + 1)^2}{25} + \frac{(x - 1)^2}{16} = 1.

 

d. C(-3, 2), \; F(-1, 2), \; A(2, 2)

 

Beim Lösen der Gleichung fällt auf, dass man den Abstand c zwischen Brennpunkt und Mittelpunkt (=die Hälfte der Brennweite) leicht mit dem Wert c = 2 ablesen kann. Auch die große Halbachse ist leicht zu erhalten, da sie aus dem Abstand von Scheitelpunkt und Mittelpunkt gebildet wird und folglich a = 5 ist. Zuletzt kann die kleine Halbachse auf Basis der großen Halbachse und der Brennweite bestimmt werden, da b^2 = a^2 - c^2 gilt, das heißt

 

\displaystyle b^2 = 25 - 4 = 21

 

Folglich ist b = \sqrt{21}. Wenn die Brennpunkte rechts und links des Mittelpunkts der Ellipse liegen, wird der Term, der x enthält durch das Quadrat der großen Halbachse geteilt. Andersherum wird y durch das Quadrat der großen Halbachse geteilt, wenn die Brennpunkte über und unter dem Mittelpunkt liegen. Unsere Gleichung ist

 

\displaystyle \frac{(x+3)^2}{25} + \frac{(y-2)^2}{21} = 1.

 

3Stelle die Ellipsengleichung für eine Ellipse auf, die durch den Punkt (2, 1) verläuft, deren Mittelpunkt gleich dem Ursprungspunkt ist und deren kleine Halbachse parallel zur Koordinatenachse verläuft und 4 misst.

Die Tatsache, dass die kleine Halbachse 4 misst, lässt schließen, dass b = 2 ist. Die Ellipse verläuft durch den Punkt (2, 1), das heißt für x = 2 und y = 1 ist die Ellipsengleichung gültig. Beim Einsetzen dieses Punktes und des Werts von b muss nur nach a aufgelöst werden

 

     \begin{align*} \frac{2^2}{a^2} + \frac{1^2}{2^2} &= 1\\ \frac{4}{a^2} + \frac{1}{4} &= 1\\ \frac{16}{a^2} + 1 &= 4\\ \frac{16}{a^2} &= 3\\ a^2 &= \frac{16}{3} \\ a &= \frac{4}{\sqrt{3}} \end{align*}

 

Unsere Gleichung ist

 

\displaystyle \frac{3 x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1

 

4Wir wissen, dass der Mittelpunkt einer Ellipse im Ursprungspunkt liegt und die Hälfte ihrer Brennweite 4 beträgt. Ein Punkt der Ellipse ist von ihren Brennpunkten 2 und 6 Einheiten entfernt. Stelle die Ellipsengleichung dieser Ellipse auf und nimm dabei an, dass ihre große Halbachse entlang der Koordinatenachse verläuft.

Die Tatsache, dass die Hälfte der Brennweite 4 beträgt, lässt uns schließen, dass 2c = 4, also c = 2 ist. Die Summe der Abstände der Brennpunkte zu einem Punkt auf der Ellipse beträgt immer 2a, folglich ist

 

     \begin{align*} 2a &= 2 + 6\\ 2a &= 8\\ a &= 4\\ \end{align*}

 

Anhand von a und c lässt sich nun auch b berechnen

 

\displaystyle b^2 = 16 - 4 = 12

Da sich die große Halbachse auf der Koordinatenachse befindet, ist für die Gleichung folgendes gegeben

 

\displaystyle \frac{y^2}{16} + \frac{x^2}{12} = 1

 

5Stelle die Ellipsengleichung für eine Ellipse auf, derenBrennweite 8 \sqrt{6} beträgt und deren einbeschriebenes Rechteck einen Flächeninhalt von 80 u^2 aufweist. Die große Halbachse der Ellipse verläuft parallel zur Abszissenachse.

Analysiere zuerst die Daten, die bereits gegeben sind: die Brennweite ist 8 \sqrt{6}, das heißt 2c = 8 \sqrt{6} und folglich ist c = 4 \sqrt{6}.

 

Die Fläche des einbeschriebenen Rechtecks misst 80 und ist gleich dem Produkt aus kleiner und großer Halbachse, da diese den Seitenlängen des Rechtecks entsprechen. Die große Halbachse misst 2a und die kleine Halbachse 2b, woraus sich (2a)(2b) = 4ab = 80 ergibt. Nun kann man mithilfe des Einsatzverfahrens nach einer Variablen auflösen. Wir lösen nach b auf: b = \frac{20}{a}.

 

Wir kennen ebenso die Beziehung a^2 = b^2 + c^2und kennen bereits den Wert von c und von b = \frac{20}{a}. Durch Einsetzen dieser beiden Werte in die erste Gleichung erhalten wir den Wert von a.

 

     \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2\\ a^2 &= \left( \frac{20}{a} \right)^2 + \left( 4 \sqrt{6} \right)^2\\ a^2 &= \frac{400}{a^2} + 96\\ a^4 &= 400 + 96a^2\\ a^4 - 96a^2 - 400 &= 0\\ \end{align*}

 

Die Wurzeln des ermittelten Polynoms sind \{10, -10, 2i, -2i\}. Da a eine reelle positive Zahl sein muss, ist die einzig mögliche Lösung a = 10. Durch Einsetzen dieser Werte in die erste Gleichung erhalten wir den Wert von a. Diesen setzen wir in die Gleichung b = \frac{20}{a} ein und erhalten b = 2. Da die Werte der Halbachsen schon feststehen, stellen wir nun die Gleichung auf. Die Hauptachse der Ellipse liegt auf der Abszissenachse, daher muss der Wert, der die x's erhält durch das Quadrat der großen Halbachse geteilt werden

 

\displaystyle \frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{4} = 1

 

 

6Stelle die Ellipsengleichung für eine Ellipse auf, in der einer der beiden Scheitelpunkte 8 einheiten vom einen Brennpunkt und 18 vom anderen entfernt ist. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass der Mittelpunkt gleich dem Ursprungspunkt der Ellipse ist und dass ihre große Halbachse auf der Abszissenachse verläuft.

Die folgende Garfik hilft uns, die genannten Abstände besser zu verstehen und wie man basierend darauf a und c berechnen kann, um schließlich b zu erhalten.

 

ellipsengleichungen-abbildung-10
Abbildung 10: Ellipse im Koordinatensystem

 

Der Abstand vom Scheitelpunkt zum entferntesten Brennpunkt beträgt 18, während der kürzeste Abstand 8 beträgt. Zieht man den kleineren Abstand zum Brennpunkt vom größeren ab, erhält man die Brennweite, das heißt 2c = 18 - 8 = 10, bzw. c = 5. Addiert man zum Abstand des Scheitelpunkts zum entferntesten Brennpunkt den Abstand zum naheliegendsten Brennpunkt, erhält man den Abstand eines Scheitelpunkts vom anderen: 2a = 18 + 8 = 26, bzw. a = 13. Anhand dieser Werte kann das Quadrat der kleinen Halbachse berechnet werden, da

 

\displaystyle b^2 = a^2 - c^2 = 169 - 25 = 144.

 

Unsere Gleichung ist also

 

\displaystyle \frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1.

 

 

7Stelle die Ellipsengleichung für eine Ellipse auf, die durch den Punkt (0, 4) verläuft und deren Exzentizität \displaystyle \frac{3}{5} ist. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass der Mittelpunkt gleich dem Ursprungspunkt der Ellipse ist und dass ihre große Halbachse auf der Abszissenachse verläuft.

Die Exzentrizität ist \displaystyle\frac{c}{a} = \frac{3}{5}. Vereinfache die Gleichung und du erhältst \displaystyle c = \frac{3a}{5}. Da die Ellipse durch den Punkt (0, 4) verläuft, erhalten wir für diesen Wert ein Ergebnis der Ellipsengleichung

 

     \begin{align*} \frac{0}{a^2} + \frac{4^2}{b^2} &= 1\\ \frac{16}{b^2} &= 1\\ b^2 &= 16\\ b &= 4 \end{align*}

 

Wir haben bereits den Wert von b und \displaystyle c = \frac{3a}{5} ermittelt und wissen außerdem a^2 = b^2 + c^2. Setze die Werte von b und c ein, um a zu erhalten.

 

     \begin{align*} a^2 &= b^2 + c^2\\ a^2 &= 4^2 + \left( \frac{3a}{5}\right)^2\\ a^2 &= 16 + \frac{9a^2}{25}\\ a^2 - \frac{9a^2}{25} &= 16\\ \frac{16 a^2}{25} &= 16\\ \frac{a^2}{25} &= 1\\ a^2 = 25 \end{align*}

 

Unsere Gleichung ist

 

\displaystyle \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1

 

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Melanie

Als begeistertes Fremdsprachentalent und Mathe-Fan ist es meine Aufgabe Mathe-Artikel von wirklichen Mathe-Experten logisch und verständlich ins Deutsche zu übertragen, damit Mathelerner bei Superprof ihre Kenntnisse verbessern und neu Gelerntes praktisch anwenden können. Mathematische Formeln sind für mich wie eine Sprache: um etwas ausdrücken zu können, verwendet man Formeln, die entsprechend ihrer Funktion einen bestimmten Aufbau haben und bestimmten Regeln folgen, sodass Komplexes strukturiert gelöst wird.