In diesem Artikel sehen wir uns verschiedene Hyperbelgleichungen an und erfahren, wie man sie erhält.

 

Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage mit Nullpunkt als Mittelpunkt und horizontaler Hauptachse

 

Bei der Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage stimmen die Achsen der Hyperbel mit den Achsen des Koordinatensystems überein. Somit stimmt der Mittelpunkt der Hyperbel mit dem Nullpunkt der Ebene überein. In diesem Fall betrachten wir die Hauptachse auf der x-Achse.

 

Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage mit Nullpunkt als Mittelpunkt und horizontaler Achse

 

Wir sehen uns die Elemente der in der Abbildung dargestellten Hyperbel und einige Eigenschaften an:

 

1 Der Mittelpunkt ist der Nullpunkt C(0,0). Der Mittelpunkt liegt immer in der Mitte zwischen den Scheitelpunkten. Dieser wiederum liegt auf dem Mittelpunkt der Brennpunkte.

 

2 Scheitelpunkte: Die Scheitelpunkte sind gegeben durch die Punkte V(a,0) und V'(-a,0). Jeder Scheitelpunkt befindet sich im selben Abstand a zum Mittelpunkt.

 

3 Brennpunkte: Die Brennpunkte sind gegeben durch die Punkte F(c,0) und F'(-c,0). Jeder Brennpunkt hat denselben Abstand c zum Mittelpunkt.

 

4 Hauptachse: Die Verbindungsgerade zwischen den Scheitelpunkten, nämlich \overline{VV'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2a. Diese Achse liegt auf der x-Achse.

 

5 Nebenachse: Die Verbindungsgerade zwischen den Punkten B und B', nämlich \overline{BB'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2b. Diese Achse liegt auf der y-Achse.

 

6 Brennachse: Nebenachse: Die Verbindungsgerade zwischen den Brennpunkten, nämlich \overline{FF'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2c.

 

7 Für die Konstanten a, b und c, die die Hyperbel definieren, gilt

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2,

 

8 Die Exzentrizität der Hyperbel ist gegeben durch

 

\displaystyle e = \frac{c}{a}

 

Für jeden Punkt P(x, y) muss gelten:

 

\displaystyle |d(P,F) - d(P,F')| = 2a,

 

Durch die Definition des euklidischen Abstands wissen wir, dass Folgendes gilt:

 

\displaystyle \left| \sqrt{(x - c)^2 + y^2} - \sqrt{(x + c)^2 + y^2} \right| = 2a.

 

Indem wir bestimmte Rechenoperationen durchführen, können wir die vorhergehende Gleichheit wie folgt ausdrücken

 

\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

 

Diese letzte Gleichung ist bekannt als die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage mit horizontaler Achse.

 

Übungsaufgaben

 

Im weiteren Verlauf sehen wir uns einige Aufgaben an, um unser Wissen praktisch anzuwenden.

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1Bestimme die Gleichung für eine Hyperbel mit dem Brennpunkt F(4, 0), dem Scheitelpunkt V(2, 0) und dem Mittelpunkt C(0, 0).

 

Da der Mittelpunkt der Nullpunkt C(0,0) ist und der Brennpunkt F(4,0) ist, wissen wir, dass c = 4. Außerdem wissen wir, dass beide Brennpunkte c Einheiten vom Mittelpunkt entfernt liegen. Deshalb liegt der andere Brennpunkt bei F'(-c,0) = F'(-4,0).

 

Analog zum Brennpunkt wissen wir, dass ein Brennpunkt V(2,0) ist und deshalb a = 2 ist. Da beide Scheitelpunkte a Einheiten vom Mittelpunkt entfernt liegen, liegt der andere Scheitelpunkt bei V'(-a,0) = V'(-2,0).

 

Nun erhalten wir den Wert für b. Es gilt Folgendes:

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad b^2 = c^2 - a^2

 

Das heißt:

 

    \begin{align*} b^2 &= 4^2 - 2^2\\&= 16 - 4\\&= 12\end{align*}

 

Somit ist b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. Wir haben bereits die Werte für a und b, die wir benötigen, um unsere Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage zu erhalten. Diese ist:

 

\displaystyle \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1

 

Hyperbel Übungsaufgabe 1

 

 

2Bestimme die Gleichung und Exzentrizität der Hyperbel, die die Brennpunkte F'(-5, 0) und F(5, 0) besitzt sowie eine Hauptachse vom Wert 6.

 

Da wir bereits die Brennpunkte F'(-5, 0) und F(5, 0) haben, ergibt sich c = 5. Außerdem sehen wir, dass der Mittelpunkt der Nullpunkt C(0,0) ist.

 

Die Hauptachse entspricht 2a, wir können somit den Wert für a bestimmen

 

    \begin{align*} 2a &= 6\\a &= 3\end{align*}

 

Wir sehen nun sofort, dass die Scheitelpunkte wie folgt gegeben sind

 

\displaystyle V'(-3, 0), \quad V(3, 0).

 

Nun wenden wir die Regel c^2 = a^2 + b^2 an, um den Wert für b zu erhalten. Wir erhalten

 

    \begin{align*} b^2 &= c^2 - a^2\\&= 5^2 - 3^3\\&= 25 - 9\\&= 16\end{align*}

 

Wir sehen sofort, dass b = 4 ist. Nun wissen wir alles, um die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage zu erhalten. Diese ist:

 

\displaystyle \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1.

 

Die Exzentrizität ist

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}.

 

Hyperbel Aufgabe 2

 

3Bestimme die Scheitelpunkte, die Brennpunkte und die Exzentrizität der Hyperpel, die durch folgende Gleichung gegeben ist:

 

\displaystyle \frac{9x^2}{144} - \frac{16 y^2}{144} = \frac{144}{144}

 

Zunächst müssen wir die Gleichung entsprechend umformen

 

    \begin{align*} \frac{9x^2}{144} - \frac{16 y^2}{144} &= \frac{144}{144}\\9x^2 - 16 y^2 &= 144\\x^2 - \frac{16 y^2}{9} &= \frac{144}{9}\\x^2 - \frac{16 y^2}{9} &= 16\\\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} &= \frac{16}{16}\\\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} &= 1\\\end{align*}

 

Wir sehen sofort, dass a^2 = 16 und somit a = 4 ist. Daraus können wir schließen, dass die Scheitelpunkte V'(-4,0) und V(4, 0) sind.

 

Durch die Gleichung der Hyperbel wissen wir, dass b^2 = 9 und somit b = 3 ist. Somit haben wir bereits a und b. Wir erhalten

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25,

 

Somit ergibt sich c = 5. Die Brennpunkte sind F'(-5, 0) und F(5, 0).

 

Schließlich ist die Exzentrizität gegeben durch

 

\displaystyle e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4}

 

Hyperbel Aufgabe 3

 

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Los geht's

Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage mit Nullpunkt als Mittelpunkt und vertikaler Hauptachse

 

In diesem Fall sehen wir uns die Hauptachse auf der y-Achse an.

 

Hyperbel mit Nullpunkt als Mittelpunkt und vertikaler Achse

 

Wir sehen uns die Elemente der in der Abbildung dargestellten Hyperbel und einige Eigenschaften an:

 

1 Der Mittelpunkt ist der Nullpunkt C(0,0). Der Mittelpunkt ist immer der Punkt in der Mitte der Scheitelpunkte, der wiederum mit dem Mittelpunkt der Brennpunkte übereinstimmt.

 

2 Scheitelpunkte: Die Scheitelpunkte sind gegeben durch die Punkte V(0, a) und V'(0, -a). Jeder Scheitelpunkt hat denselben Abstand a zum Mittelpunkt.

 

3 Brennpunkte: Die Brennpunkte sind gegeben durch die Punkte F(0, c) und F'(0, -c). Jeder Brennpunkt hat denselben Abstand c zum Mittelpunkt

 

4 Hauptachse: Die Verbindungsgerade zwischen den Scheitelpunkten, nämlich \overline{VV'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2a. Diese Achse liegt auf der y-Achse.

 

5 Nebenachse: Die Verbindungsgerade zwischen den Punkten B und B', nämlich \overline{BB'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2b. Diese Achse liegt auf der x-Achse.

 

6 Brennachse: Nebenachse: Die Verbindungsgerade zwischen den Brennpunkten, nämlich \overline{FF'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2c.

 

7 Für die Konstanten a, b und c, die die Hyperbel vollständig definieren, gilt

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2,

 

8 Die Exzentrizität der Hyperbel ist gegeben durch

 

\displaystyle e = \frac{c}{a}

 

Jeder Punkt P(x, y) auf der Hyperbel muss folgende Bedingungen erfüllen

 

\displaystyle |d(P,F) - d(P,F')| = 2a,

 

Durch die Definition des euklidischen Abstands zwischen zwei Punkten wissen wir, dass Folgendes gilt:

 

\displaystyle \left| \sqrt{x^2 + (y - c)^2} - \sqrt{x^2 + (y + c)^2} \right| = 2a.

 

Indem wir bestimmte Rechenoperationen durchführen, können wir die vorhergehende Gleichheit wie folgt darstellen

 

\displaystyle \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1

 

Diese letzte Gleichung ist als Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage mit vertikaler Achse bekannt.

 

Übungsaufgaben

 

Nun sehen wir uns eine weitere Aufgaben an, um unser Wissen auf die Probe zu stellen.

 

1Bestimme die Gleichung der Hyperbel mit dem Brennpunkt F(0, 5), dem Scheitelpunkt V(0, 3) und dem Mittelpunkt C(0, 0).

 

Da der Mittelpunkt der Nullpunkt C(0,0) ist und F(0, 5) ein Brennpunkt ist, wissen wir, dass c = 5 ist. Außerdem wissen wir, dass beide Brennpunkte im Abstand c zum Mittelpunkt liegen. Deshalb ist der andere Brennpunkt F'(0, -c) = F'(0, -5).

 

Analog zum Brennpunkt wissen wir, dass V(0, 3) ein Scheitelpunkt ist, weshalb a = 2 ist. Da beide Scheitelpunkte im Abstand a zum Mittelpunkt liegen, ist der andere Scheitelpunkt V'(0, -a) = V'(0, -3).

 

Nun haben wir den Wert für b. Es gilt

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad b^2 = c^2 - a^2

 

Das heißt

 

    \begin{align*} b^2 &= 5^2 - 3^2\\&= 25 - 9\\&= 16\end{align*}

 

und somit b = 4. Wir haben bereits die Werte a und b, die wir für unsere Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage haben. Diese ist

 

\displaystyle \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1

 

Hyperbel Aufgabe 4

 

2 Bestimme die Gleichung der Hyperbel mit dem Mittelpunkt C(0, 0), dem Brennpunkt F(0, 3) und der Nebenachse, die 4 entspricht.

 

Der Mittelpunkt ist der Nullpunkt C(0,0) und ein Brennpunkt ist F(0, 3). Es gilt daher c = 3. Außerdem wissen wir, dass beide Brennpunkte im Abstand c zum Mittelpunkt liegen. Somit ist der andere Brennpunkt F'(0, -c) = F'(0, -3).

 

Wir stellen nun fest, dass die Hauptachse auf der Verbindungsgeraden der Brennpunkte liegt. Dies bedeutet, dass die Hauptachse vertikal ist. Somit ist die Nebenachse vertikal. Außerdem wissen wir, dass die Nebenachse den Wert 4 hat. Es gilt

 

\displaystyle 2b = 4 \qquad \Rightarrow \qquad b = 2

 

Nun bestimmen wir den Wert für a. Es gilt:

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad a^2 = c^2 - b^2

 

Das heißt

 

    \begin{align*} a^2 &= 3^2 - 2^2\\&= 9 - 4\\&= 5\end{align*}

 

Somit ist a = \sqrt{5}.

 

Nun wissen wir, dass die Scheitelpunkte sich im Abstand a zum Mittelpunkt befinden. Da die Hauptachse vertikal ist, wissen wir, dass die Scheitelpunkte durch V'(0, -\sqrt{5}) und V(0, \sqrt{5}) gegeben sind.

 

Wir haben bereits die Werte für a und b, die wir benötigen, um die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage zu erhalten. Diese ist

 

\displaystyle \frac{y^2}{5} - \frac{x^2}{4} = 1

 

Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage, deren Mittelpunkt nicht der Nullpunkt ist, mit horizontaler Hauptachse

 

In diesem Fall ist der Mittelpunkt der Hyperbel nicht der Nullpunkt. Ihre Hauptachse ist horizontal, parallel zur x-Achse.

 

Hyperbel, deren Mittelpunkt nicht der Nullpunkt ist, mit horizontaler Achse

 

Wir sehen uns die Elemente der in der Abbildung dargestellten Hyperbel und einige Eigenschaften an:

 

1 Der Mittelpunkt ist der Nullpunkt C(h,k). Der Mittelpunkt ist immer der Punkt in der Mitte der Scheitelpunkte, der wiederum mit dem Punkt in der Mitte der Brennpunkte übereinstimmt.

 

2 Scheitelpunkte: Die Scheitelpunkte sind durch die Punkte V(h + a,k) und V'(h - a,k) gegeben. Jeder Scheitelpunkt hat denselben Abstand a zum Mittelpunkt.

 

3 Brennpunkte: Die Brennpunkte sind durch die Punkte F(h + c,k) und F'(h - c,k) gegeben. Jeder Brennpunkt hat denselben Abstand c zum Mittelpunkt.

 

4 Hauptachse: Die Verbindungsgerade zwischen den Scheitelpunkten, nämlich \overline{VV'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2a. Diese Achse ist parallel zur x-Achse.

 

5 Nebenachse: Die Verbindungsgerade zwischen den Punkten B und B', nämlich \overline{BB'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2b. Diese Achse ist parallel zur y-Achse.

 

6 Brennachse: Nebenachse: Die Verbindungsgerade zwischen den Brennpunkten, nämlich \overline{FF'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2c.

 

7 Für die Konstanten a, b und c, die die Hyperbel vollständig definieren, gilt

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2,

 

8 Die Exzentrizität der Hyperbel ist gegeben durch

 

\displaystyle e = \frac{c}{a}

 

Jeder Punkt P(x, y) auf der Hyperbel muss Folgendes erfüllen

 

\displaystyle |d(P,F) - d(P,F')| = 2a,

 

Durch die Definition des euklidischen Abstands zwischen zwei Punkten wissen wir, dass Folgendes gilt:

 

\displaystyle \left| \sqrt{(x - (h + c))^2 + (y - k)^2} - \sqrt{(x - ( h - c))^2 + (y - k)^2} \right| = 2a.

 

Indem wir bestimmte Rechenoperationen durchführen, können wir die vorhergehende Gleichheit wie folgt darstellen

 

\displaystyle \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1

 

Diese letzte Gleichung heißt Gleichung der Hyperbel in der 1. Hauptlage mit horizontaler Achse und mit einem anderen Mittelpunkt als dem Nullpunkt.

 

Übungsaufgaben

 

Wir sehen uns noch ein paar weitere Aufgaben an, um unser Wissen zu vertiefen

 

1Bestimme die Gleichung der Hyperbel mit dem Brennpunkt F(7, 2), dem Scheitelpunkt V(5,2) und dem Mittelpunkt C(3, 2).

 

Da der Mittelpunkt der Nullpunkt C(3,2) ist und F(7,2) ein Brennpunkt ist, wissen wir, dass

 

\displaystyle c = 7 - 3 = 4,

 

Außerdem wissen wir, dass beide Brennpunkte im Abstand c zum Mittelpunkt liegen. Deshalb ist der andere Brennpunkt F'(3-c,2) = F'(-1,2).

 

Analog zum Brennpunkt wissen wir, dass V(5,2) ein Nullpunkt ist. Deshalb

 

\displaystyle a = 5 - 3 = 2,

 

Da beide Scheitelpunkte im Abstand a zum Mittelpunkt liegen, ist V'(3-a,2) = V'(1,2) der andere Scheitelpunkt.

 

Nun erhalten wir den Wert für b. Wir wissen, dass gilt

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad b^2 = c^2 - a^2

 

Das heißt

 

    \begin{align*} b^2 &= 4^2 - 2^2\\&= 16 - 4\\&= 12\end{align*}

 

Somit ist b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. Da wir bereits die Werte für a und b haben, die wir für unsere Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage benötigen, lautet diese

 

\displaystyle \frac{(x- 3)^2}{4} - \frac{(y- 2)^2}{12} = 1

 

Hyperbel Aufgabe 5

 

2 Bestimme die Gleichung der Hyperbel mit dem Mittelpunkt C(-2, - 1), einem Abstand zum Brennpunkt von 8 und der horizontalen Hauptachse vom Wert 4.

 

Da der Mittelpunkt der Nullpunkt C(-2, - 1) ist und die horizontale Hauptachse 4 entspricht, können wir somit unseren Wert für a bestimmen.

 

\displaystyle 2a = 4 \qquad \Rightarrow \qquad a = 2.

 

Unsere Scheitelpunkte sind also

 

\displaystyle V'(-2 - 2, -1) = V'(-4,-1)

 

und

 

\displaystyle V(-2 + 2, -1) = V(0,-1)

 

Analog dazu wissen wir, dass die Brennachse ebenfalls horizontal ist (sie verläuft immer wie die Hauptachse, da die Hauptachse innerhalb der Brennachse liegt). Außerdem, da wir einen Wert von 8 haben, nutzen wir diesen, um c zu erhalten

 

\displaystyle 2c = 8 \qquad \Rightarrow \qquad c = 4.

 

Deshalb sind unsere Brennpunkte

 

\displaystyle F'(-2 - 4, -1) = F'(-6,-1)

 

und

 

\displaystyle F(-2 + 4, -1) = F(2,-1)

 

Wir bestimmen nun den Wert für b. Wir wissen, dass Folgendes gilt.

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad b^2 = c^2 - a^2

 

Das heißt

 

    \begin{align*} b^2 &= 4^2 - 2^2\\&= 16 - 4\\&= 12\end{align*}

 

Somit ist b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. Da wir bereits die Werte für a und b haben, die wir für die Hyperbelgleichung benötigen, lautet diese

 

\displaystyle \frac{(x + 2)^2}{4} - \frac{(y + 1)^2}{12} = 1

 

Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage, deren Mittelpunkt nicht der Nullpunkt ist, mit vertikaler Hauptachse

 

In diesem Fall ist der Mittelpunkt der Hyperbel nicht der Nullpunkt und ihre Hauptachse ist vertikal, parallel zur y-Achse.

 

Hyperbel mit Mittelpunkt, der nicht der Nullpunkt ist, mit vertikaler Achse

 

Wir sehen uns die Elemente der in der Abbildung dargestellten Hyperbel und einige Eigenschaften an:

 

1 Der Mittelpunkt ist der Nullpunkt C(h,k). Der Mittelpunkt ist immer der Punkt in der Mitte der Scheitelpunkte, der wiederum mit dem Mittelpunkt der Brennpunkte übereinstimmt.

 

2 Scheitelpunkte: Die Scheitelpunkte sind durch die Punkte V(h,k + a) und V'(h,k - a) gegeben. Jeder Scheitelpunkt hat denselben Abstand a zum Mittelpunkt.

 

3 Brennpunkte: Die Brennpunkte sind durch die Punkte F(h,k + c) und F'(h,k - c) gegeben. Jeder Brennpunkt hat denselben Abstand c zum Mittelpunkt.

 

4 Hauptachse: Die Verbindungsgerade zwischen den Scheitelpunkten, nämlich \overline{VV'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2a. Diese Achse ist parallel zur y-Achse.

 

5 Nebenachse: Die Verbindungsgerade der Punkte B und B', nämlich \overline{BB'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2b. Diese Achse ist parallel zur x-Achse.

 

6 Brennachse: Nebenachse: Die Verbindungsgerade zwischen den Brennpunkten, nämlich \overline{FF'}. Ihr Wert (Länge) entspricht 2c.

 

7 Für die Konstanten a, b und c, die die Hyperbel vollständig definieren, gilt

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2,

 

8 Die Exzentrizität der Hyperbel ist gegeben durch

 

\displaystyle e = \frac{c}{a}

 

Für jeden Punkt P(x, y) auf der Hyperbel muss gelten

 

\displaystyle |d(P,F) - d(P,F')| = 2a,

 

Durch die Definition des euklidischen Abstands zwischen zwei Punkten wissen wir, dass

 

\displaystyle \left| \sqrt{(x - h)^2 + (y - (k + a))^2} - \sqrt{(x - h)^2 + (y - (k - a))^2} \right| = 2a.

 

Indem wir bestimmte Rechenoperationen durchführen, können wir die vorhergehende Gleichheit wie folgt ausdrücken

 

\displaystyle \frac{(y - k)^2}{a^2} - \frac{(x - h)^2}{b^2} = 1

 

Diese letzte Gleichung heißt Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage mit vertikaler Achse und mit einem anderen Mittelpunkt als dem Nullpunkt.

 

Übungsaufgaben

 

Wir sehen uns noch ein paar weitere Aufgaben an, um unser Wissen praktisch anzuwenden

 

1 Bestimme die Gleichung der Hyperbel mit dem Brennpunkt F(-2, 5), dem Scheitelpunkt V(-2, 3) und dem Mittelpunkt C(-2, -5).

 

Da der Mittelpunkt der Nullpunkt ist C(-2,-5) ist und F(-2,5) ein Brennpunkt ist, wissen wir, dass

 

\displaystyle c = 5 - (-5) = 5 + 5 = 10,

 

Außerdem wissen wir, dass beide Brennpunkte im Abstand c zum Mittelpunkt liegen. Somit ist der andere Brennpunkt F'(-2,-5 - 10) = F'(-2, -15).

 

Analog zum Brennpunkt wissen wir, dass V(-2, 3) ein Scheitelpunkt ist und deshalb

 

\displaystyle a = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8,

 

Da beide Scheitelpunkte im Abstand a zum Mittelpunkt liegen, ist der andere Scheitelpunkt

V'(-2, -5 - 8) = V'(-2,-13).

 

Wir erhalten nun den Wert für b. Es gilt:

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad b^2 = c^2 - a^2

 

Das heißt

 

    \begin{align*} b^2 &= 10^2 - 8^2\\&= 100 - 64\\&= 36\end{align*}

 

Somit ist b = 6. Da wir bereits die Werte für a und b haben, die wir benötigen, um unsere Gleichung der Hyperbel zu erhalten, lautet diese

 

\displaystyle \frac{(y + 5)^2}{64} - \frac{(x + 2)^2}{36} = 1

 

Hyperbel Aufgabe 6

 

2 Bestimme die Gleichung der Hyperbel mit dem Mittelpunkt C(7, -3), der Brennachse mit dem Wert 12 und der horizontalen Nebenachse mit dem Wert 8.

 

Wir wissen, dass die Brennachse den Wert 12 hat. Somit erhalten wir den Wert für c

 

\displaystyle 2c = 12 \qquad \Rightarrow \qquad c = 6,

 

Deshalb sind die Brennpunkte F'(7, -9) und F(7, 3).

 

Nun wissen wir, dass die Nebenachse den Wert 8 hat, deshalb

 

\displaystyle 2b = 8 \qquad \Rightarrow \qquad b = 4,

 

Somit erhalten wir a, da

 

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 \qquad \Rightarrow \qquad a^2 = c^2 - b^2

 

Das heißt

 

    \begin{align*} a^2 &= 6^2 - 4^2\\&= 36 - 16\\&= 20\end{align*}

 

Somit ist a = 2\sqrt{5}. Wir haben bereits die Werte für a und b, die wir benötigen, um unsere Gleichung der Hyperbel zu erhalten. Diese lautet

 

\displaystyle \frac{(y + 3)^2}{20} - \frac{(x - 7)^2}{16} = 1

 

Wie lauten die Koordinaten der Scheitelpunkte?

 

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.