Gleichung der Hyperbel mit Achse parallel zur x-Achse und Mittelpunkt, der nicht im Ursprung liegt

Wir beachten: Wenn den Mittelpunkt einer Hyperbel angibt, dann lautet ihre Gleichung
,
wobei und die Asymptoten der Hyperbel bezeichnen, d. h., die Geraden .

In diesem Artikel erklären wir, wie man die Gleichung der Hyperbel ermittelt, wenn ihre Hauptachse (das Segment, das die Scheitelpunkte verbindet und die Länge hat) parallel zur x-Achse verläuft.

Es gibt tatsächlich zwei Fälle: Der erste Fall tritt ein, wenn die Koordinate des Mittelpunkts der Hyperbel positiv ist, d. h. der Mittelpunkt liegt in der oberen Halbebene, und der zweite Fall, in dem die Koordinate des Mittelpunkts negativ ist, sodass er nun in der unteren Halbebene liegt. Im Folgenden werden zwei Beispiele gezeigt, die diese Fälle veranschaulichen.

Wir betrachten nun einige analytische Beispiele dafür, wie man anhand bestimmter Informationen die Gleichung einer Hyperbel herleiten kann.

Beispiele

1. Ermittle die Gleichung der Parabel anhand der folgenden Koordinaten: Mittelpunkt , Scheitelpunkt und Brennpunkt .

Lösung:

Da wir wissen, dass der Mittelpunkt bei , liegt, wissen wir, dass die Hauptachse der Hyperbel parallel zur x-Achse verläuft, da die Koordinate ist; daher haben der Scheitelpunkt und der Brennpunkt die allgemeinen Koordinaten bzw. . Anhand dieser Informationen können wir nun die Werte von und ermitteln, die für die Herleitung der Gleichung der Hyperbel entscheidend sind.

Um zu ermitteln, müssen wir die Gleichung lösen, die man erhält, wenn man den ersten Eintrag des Scheitelpunkts mit den allgemeinen Koordinaten und dem Scheitelpunkt gleichsetzt. Da wir wissen, dass ist, ergibt sich aus der obigen Gleichung, dass ist.

Um zu ermitteln, müssen wir zunächst berechnen. Dies geschieht auf ähnliche Weise wie bei der Berechnung von . Wenn wir den ersten Eintrag des Brennpunkts mit dem ersten Eintrag des gegebenen Brennpunkts gleichsetzen, erhalten wir die Gleichung , und da , ist .

Nun berechnen wir b:

Wir setzen die Werte von und in die Gleichung (1) ein und erhalten die Gleichung der Parabel

2. Ermittle die Gleichung der Hyperbel mit den folgenden Eigenschaften: Brennpunkte in , , Mittelpunkt in und Hauptachse 8 .

Lösung:

Gemäß Gleichung (1), müssen wir die Werte von und ermitteln. Zunächst ist zu beachten, dass die Koordinate des Mittelpunkts negativ ist; daher verläuft die Hauptachse der Länge parallel zur x-Achse und legt den Mittelpunkt zudem in die untere Halbebene. Damit wissen wir, dass die allgemeinen Koordinaten der Brennpunkte lauten: und . Wenn wir den ersten Eintrag des Brennpunkts mit den allgemeinen Koordinaten und dem gegebenen Brennpunkt wie im vorigen Beispiel gleichsetzen, erhalten wir die Gleichung , und da , ist .

Um zu erhalten, nutzen wir die Tatsache, dass die Hauptachse als beschrieben werden kann, und da wir wissen, dass diese die Länge hat, erhalten wir die Gleichung und somit .

Um zu erhalten, gehen wir genauso vor wie im vorherigen Beispiel:

Wenn also und ist, dann hat die Gleichung der Hyperbel folgende Form: