Liegt die Hauptachse einer Ellipse auf der y-Achse und befindet sich ihr Mittelpunkt zudem im Ursprung, so ergibt sich folgende Gleichung: 
mit 
Die Gleichung (1) wird Gleichung der Ellipse mit vertikaler Achse genannt. Vor diesem Hintergrund liegen folgende Informationen zur Ellipse vor:
- Der Mittelpunkt hat die Koordinate
- Die Scheitelpunkte haben die Koordinaten
, 
, 
und 
. - Es gilt das Verhältnis
- Die Brennpunkte haben die Koordinaten
und 
- Die Hauptachse hat die Länge
- Die Nebenachse hat die Länge
- Die Exzentrizität der Ellipse beträgt
Beispiele1. Gegeben ist die Gleichung der Ellipse 
ermittle die Koordinaten der Scheitelpunkte, der Brennpunkte und die Exzentrizität.
Lösung:
Hier ist 
, 
und
Wir erhalten also:
- Die Scheitelpunkte:
, 
, 
und 
- Die Brennpunkte:
und 
- Die Exzentrizität:
Die Ellipse ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
2 Bestimme die Gleichung der Ellipse, wenn bekannt ist, dass sie die Brennpunkte 
und 
hat, und ihre Hauptachse eine Länge von 
hat.
Lösung:
Da wir wissen, dass die Brennpunkte die Koordinaten und haben, erhalten wir sofort 
. Da die Hauptachse zudem eine Länge von hat, erhalten wir die Gleichung 
. Wenn wir nach 
auflösen, erhalten wir . Unter Verwendung der Gleichung
berechnen wir 
wie folgt:
Setzt man nun die Werte und 
ein, so erhalten wir
Setzt man nun die Werte und 
in die Gleichung (1) ein, erhalten wir die Gleichung der Ellipse 
3 Gegeben sind die Scheitelpunkte und 
und die Länge der Hauptachse beträgt 
. Berechne die verbleibenden Scheitelpunkte, die Brennpunkte, die Exzentrizität und schließlich die Gleichung der Ellipse mit diesen Informationen.
Lösung:
Da die Scheitelpunkte die Koordinaten und haben, wissen wir, dass 
. Da die Hauptachse eine Länge von hat, erhalten wir die Gleichung 
. Wir lösen nach auf und erhalten 
.
Nun müssen wir nur noch den Wert von 
ermitteln. Dazu müssen wir lediglich die Werte 
und 
wie folgt einsetzen:
Wir erhlaten also mit den Werten , und 
:
- Die übrigen Scheitelpunkte sind
und 
. - Die Brennpunkte haben die Koordinaten bei
y 
- Die Exzentrizität ist
- Schließlich lautet die Gleichung der Ellipse
Mit KI zusammenfassen:
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