Gleichseitige Hyperbel
Hyperbeln, bei denen die Halbachsen gleich lang sind, werden als gleichseitige Hyperbeln bezeichnet, d. h. 
. Ihre Gleichung lautet:
Die Asymptoten haben die Gleichung:
Das heißt, es handelt sich um die Winkelhalbierenden der Quadranten. Und ihre Exzentrizität beträgt
Gleichung der gleichseitigen Hyperbel in Bezug auf ihre Asymptoten
Um von den x- und y-Achsen zu den durch die Asymptoten bestimmten Achsen zu gelangen, genügt eine Drehung um 
um den Koordinatenursprung. Die Gleichung lautet dann:
Wenn wir die Achsen um 
drehen, liegt die Hyperbel im zweiten und vierten Quadranten, und ihre Gleichung lautet:
Beispiele für Aufgaben mit gleichseitigen Hyperbeln
1 Die Gleichung 
stellt eine gleichseitige Hyperbel dar. Berechne die Scheitelpunkte und die Brennpunkte.
Wir stellen fest, dass es sich um eine Hyperbel handelt, wie wir sie in 
haben; daher liegen die Koordinaten der Scheitelpunkte 
auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten, was bedeutet, dass die erste und die zweite Koordinate der Scheitelpunkte gleich sind, d. h., an den Scheitelpunkten gilt 
. Andererseits gilt auch, dass die Scheitelpunkte zum Graphen gehören, sodass 
gelten muss. Wenn wir diese beiden letzten Bedingungen miteinander kombinieren, erhalten wir
und daraus folgt
Für die Brennpunkte berechnen wir zunächst 
und 
. Da 
der Abstand vom Ursprung zum Scheitelpunkt ist, erhalten wir unter Verwendung der Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten
da es sich um eine gleichseitige Hyperbel handelt
Unter Verwendung der Relation zwischen den Halbachsen erhalten wir
Nun befinden sich die Brennpunkte in einem Abstand vom Ursprung, also wenn 
Außerdem liegen die Brennpunkte auch auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten, sodass für 
und 
gilt: 
. Unter Berücksichtigung des Vorstehenden gilt
daraus folgt
2 Eine gleichseitige Hyperbel verläuft durch den Punkt 
. Bestimme ihre Gleichung unter Bezugnahme auf ihre Asymptoten als Achsen sowie die Koordinaten der Scheitelpunkte und Brennpunkte.
Da wir die Gleichung in Bezug auf ihre Asymptoten suchen und sie durch den Punkt verläuft, erhalten wir
Die Gleichung, in der die Asymptoten als Achsen berücksichtigt werden, lautet daher
Für die Koordinaten der Scheitelpunkte muss gelten:
daraus folgt
Für die Brennpunkte berechnen wir zunächst a, b und c. Wir haben zuvor gesehen, dass 
, also ist 
, und da es sich um eine gleichseitige Hyperbel handelt, ist
Unter Verwendung der Relation zwischen den Halbachsen erhalten wir
Die Brennpunkte liegen in einem Abstand vom Ursprung entfernt, also wenn
Außerdem liegen die Brennpunkte auch auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten, sodass für und gilt: . Unter Berücksichtigung des Vorstehenden gilt
daraus folgt
Mit KI zusammenfassen:
Du findest diesen Artikel toll? Vergib eine Note!
Loading...
