Die Hyperbel ist der geometrische Ort der Punkte der Ebene, deren Differenz des Abstands zu den Fixpunkten, genannt Brennpunkte, absolut konstant ist.
In der oben abgebildeten Grafik bedeutet dies, dass 
für jeden beliebigen Punkt 
auf der Hyperbel gilt.
Elemente der Hyperbel
1 Brennpunkte: Dies sind die Fixpunkte 
und 
.
2 Brennachse oder Hauptachse: Die Gerade, die durch die Brennpunkte verläuft.
3 Nebenachse: Die Mittelsenkrechte des Segments 
.
4 Mittelpunkt: Der Schnittpunkt der Achsen.
5 Scheitelpunkte: Die Punkte 
und 
sind die Punkte, an denen die Hyperbel die Brennachse schneidet.
6 Ortsvektoren: Die Abschnitte zwischen einem Punkt auf der Hyperbel und den Brennpunkten: 
und 
.
7 Brennstrecke: Der Abschnitt 
mit der Länge 
.
8 Hauptachse: Der Abschnitt 
der Länge 
.
9 Nebenachse: Der Abschnitt 
der Länge 
.
Die Punkte 
und 
ergeben sich aus dem Schnittpunkt der Nebenachse mit dem Kreis, dessen Mittelpunkt einer der Scheitelpunkte ist und der den Radius 
hat.
10 Symmetrieachsen: Die Geraden, die die Haupt- oder Nebenachse enthalten.
11 Asymptoten: Die Geraden der Gleichungen: 
12 Verhältnis zwischen den Halbachsen: 
Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage
Als Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage bezeichnet man die Gleichung der Hyperbel, deren Achsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen und deren Mittelpunkt somit mit dem Koordinatenursprung übereinstimmt. Liegt die Hauptachse auf der x-Achse, lauten die Koordinaten der Brennpunkte:
und die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage
Gleichung der Hyperbel in 2. Hauptlage
Liegt die Hauptachse auf der x-Achse, lauten die Koordinaten der Brennpunkte:
und die Gleichung der Hyperbel lautet in diesem Fall
Gleichung der Hyperbel mit einer zur x-Achse parallelen Achse und einem Mittelpunkt, der nicht im Ursprung liegt
Wenn der Mittelpunkt der Hyperbel 
ist und die Hauptachse parallel zur x-Achse verläuft, haben die Brennpunkte die Koordinaten
Und die Gleichung der Hyperbel lautet:
Wenn man die gemeinsamen Nenner eliminiert und die Gleichungen auswertet, erhält man im Allgemeinen eine Gleichung der Form:
Wobei und gegensätzliche Vorzeichen haben.
Gleichung der Hyperbel mit einer Achse parallel zur y-Achse und einem Mittelpunkt, der nicht im Ursprung liegt
Wenn der Mittelpunkt der Hyperbel ist und die Hauptachse parallel zur y-Achse verläuft, haben die Brennpunkte die Koordinaten
Und die Gleichung der Hyperbel lautet:
Wenn man die Nenner eliminiert und die Gleichungen auswertet, erhält man im Allgemeinen eine Gleichung der Form:
Dabei haben und gegensätzliche Vorzeichen.
Gleichung der gleichseitigen Hyperbel
Hyperbeln, bei denen die Halbachsen gleich lang sind, werden als gleichseitige Hyperbeln bezeichnet, d. h. 
. Ihre Gleichung lautet:
Die Asymptoten haben die Gleichung:
Das heißt, es handelt sich um die Winkelhalbierenden der Quadranten. Außerdem beträgt die Exzentrizität
Gleichung der gleichseitigen Hyperbel in Bezug auf ihre Asymptoten
Um von den x- und y-Achsen zu den durch die Asymptoten bestimmten Achsen zu gelangen, genügt es, eine Drehung um −45° um den Koordinatenursprung vorzunehmen. Die Gleichung lautet dann:
Wenn wir die Achsen um 45° drehen, liegt die Hyperbel im zweiten und vierten Quadranten, und ihre Gleichung lautet:
Mit KI zusammenfassen:
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