Aufgabe 1

1Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt im Punkt C(3, 1) liegt und der die Gerade 3x - 4y + 5 = 0 tangiert.

1Wir stellen graphisch dar

 

Aufgabe 1 zur Gleichung des Kreises

 

2Der Radius ist immer senkrecht zu einer Tangente des Kreises. Wenn man also den Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Tangente berechnet, erhält man den Radius des Kreises.

r = d(C,s) = \cfrac{3 \cdot 3 - 4 \cdot 1 + 5}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 2

 

3Wir schreiben die allgemeine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt C(3, 1) und dem Radius r = 2

 

(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2^2

 

4Wir lösen die quadratischen Terme auf und schreiben die allgemeine Gleichung des Kreises

 

\begin{array}{rcl} (x - 3)^2 + (y - 1)^2 & = & 2^2 \\\\ x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 & = & 4 \\\\ x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 & = & 0 \end{array}

 

5Somit ist die gesuchte Gleichung

 

x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0

Aufgabe 2

2Bestimme die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte A(2, 1) und B(−2, 3) verläuft und seinen Mittelpunkt auf der Geraden x + y + 4 = 0 hat.

1Wir stellen graphisch dar

 

Aufgabe 2 zur Gleichung des Kreises

 

2 Wir stellen den Mittelpunkt mit den Koordinaten C(a,b) dar. Die allgemeine Gleichung des Kreises ist

 

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

 

3Die Punkte A und B befinden sich auf dem Kreis und erfüllen somit die folgende Gleichung

 

(2 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2

 

(-2 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2

 

4Wir setzen die Gleichungen gleich und vereinfachen

 

\begin{array}{rcl} (2 - a)^2 + (1 - b)^2 & = & (-2 - a)^2 + (3 - b)^2 \\\\ 4 - 4a + a^2 + 1 - 2b + b^2 & = & 4 + 4a + a^2 + 9 - 6b + b^2 \\\\ -8a + 4b -8 & = & 0 \\\\ -4(2a - b + 2 ) & = & 0 \\\\ 2a - b + 2 & = & 0 \end{array}

 

5Da sich der Mittelpunkt auf der Geraden x + y + 4 = 0 befindet, gilt

 

a + b + 4 = 0

 

6Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem

 

\left \{ \begin{array}{l}a + b + 4 = 0, \\\\ 2a - b + 2 = 0 \end{array} \right.

 

7Die Addition der beiden Gleichungen ergibt

 

3a + 6 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ a = -2

 

8Wir setzen in die erste Gleichung des Systems ein und erhalten

 

-2 + b + 4 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ b = -2

 

9Wir setzen die erhaltenen Werte in (2 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2 ein und erhalten

 

r = 5

 

10Wir setzen die Werte des Mittelpunkts und des Radius in die allgemeine Gleichung des Kreises ein. Wir lösen und erhalten

 

\begin{array}{rcl}(x + 2)^2 + (y + 2)^2 & = & 5^2 \\\\ x^2 + 4x + 4 + y^2 + 4y + 4 & = & 25 \\\\ x^2 + y^2 + 4x + 4y - 17 & = & 0 \end{array}

Aufgabe 3

3Berechne die Gleichung des Kreises, der durch den Punkt (0, -3) verläuft, dessen Radius \sqrt{5} ist und dessen Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten liegt.

1Wir stellen graphisch dar

 

Aufgabe 3 zur Gleichung des Kreises

 

2Der Mittelpunkt befindet sich auf der Geraden y = x. Der Mittelpunkt wird also durch  C(a,a) dargestellt. Die allgemeine Gleichung des Kreises ist

 

(x - a)^2 + (y - a)^2 = (\sqrt{5})^2

 

3Der Punkt (0,-3) liegt auf dem Kreis, weshalb er die Gleichung erfüllt

 

\begin{array}{rcl}(0 - a)^2 + (-3 - a)^2  & = & 5 \\\\  a^2 + 9 + 6a + a^2 - 5 & = & 0 \\\\ 2a^2 + 6a + 4 & = & 0 \\\\  2(a + 1)(a + 2) \end{array}

 

Es gilt a = -1 und a = -2

 

4Die Gleichung des Kreises für a = -1 ist

 

\begin{array}{rcl} (x + 1)^2 + (y + 1)^2 & = & (\sqrt{5})^2 \\\\ x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y +1 - 5 & = & 0 \\\\ x^2 + y^2 + 2x + 2y - 3 & = & 0 \end{array}

 

5Die Gleichung des Kreises für a = -2 ist

 

\begin{array}{rcl} (x + 2)^2 + (y + 2)^2 & = & (\sqrt{5})^2 \\\\ x^2 + 4x + 4 + y^2 + 4y +4 - 5 & = & 0 \\\\ x^2 + y^2 + 4x + 4y + 3 & = & 0 \end{array}

Aufgabe 4

4Berechne die Gleichung des Kreises, der durch den Punkt (0, 0) verläuft, dessen Radius 4 ist und dessen Mittelpunkt sich auf der Geraden x=4 befindet.

1Der Mittelpunkt befindet sich auf der Geraden x=4. Der Mittelpunkt wird also durch  C(4,b) dargestellt. Die allgemeine Gleichung des Kreises ist

 

(x - 4)^2 + (y-b)^2 = (4)^2

 

2Der Punkt (0,0) befindet sich auf dem Kreis, sodass er folgende Gleichung erfüllen muss

 

\begin{array}{rcl}(0 - 4)^2 + (0-b)^2  & = & 16 \\\\  (-4)^2+b^2& = & 16 \\\\ b^2 & = & 16-16=0\end{array}

 

3Deshalb kommen wir zu dem Ergebnis, dass b=0. Somit lautet die Gleichung des Kreises für b=0 wie folgt

 

\begin{array}{rcl} (x - 4)^2 + y^2 & = & (4)^2 \\\\ \end{array}

Aufgabe 5

5Wenn die Gleichung des Kreises x^2+y^2-4x+6y+8=0 ist, dann misst sein Radius:

1Wir haben die allgemeine Formel des Kreises

    $$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$

Dieser Gleichung können wir alle notwendigen Werte für unseren Kreis entnehmen.

2Aus der vorhergehenden Gleichung wissen wir, dass sein Radius durch folgende Gleichung bestimmt ist

    $$r=\sqrt{\left(\cfrac{A}{2}\right)^2+\left(\cfrac{B}{2}\right)^2-C}$$

3 In unserem speziellen Fall wissen wir, dass A=-4, B=5 und C=8 ist. Indem wir sie ersetzen, erhalten wir unser gesuchtes Ergebnis

    $$r=\sqrt{\left(\cfrac{-4}{2}\right)^{2}+\left(\cfrac{6}{2}\right)^2-(8)}=\sqrt{5}.$$

Aufgabe 6

6Berechne die Gleichung des Kreises, bei dem einer seiner Durchmesser die Extremwerte A(-1,-1), B(2,-1) hat.

1Wenn das Segment AB ein Durchmesser des Kreises ist, ist der Mittelpunkt dieses Segments der Radius des Kreises.

    $$h=\cfrac{-1+2}{2}=\cfrac{1}{2},\quad k=\cfrac{-1+(-1)}{2}=-1.$$

Wir stellen fest, dass der Mittelpunkt des Kreises C\left(\cfrac{1}{2},-1\right) ist.

2Um den Radius zu berechnen, müssen wir die Länge des Segments AC berechnen. Diese beträgt

    $$r=\sqrt{\left(-1-\cfrac{1}{2}\right)^2+(-1+1)^2}=\cfrac{3}{2}.$$

3 Schließlich erhalten wir die Gleichung des Kreises

    $$\left(x-\cfrac{1}{2}\right)^2+(y+1)^2=\cfrac{9}{2}.$$

Aufgabe 7

7Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt sich bei A(-1,4) befindet und der die Gerade tangiert, die durch die Punkte B(3,2) und C(-9,3) verläuft.

1Zunächst berechnen wir die Gleichung der Geraden. Da diese durch B(3,2) und C(-9,3) verläuft, ist ihre Steigung

    $$m=\cfrac{3+2}{-9-3}=\cfrac{5}{12}.$$

Somit ist die Gleichung der Geraden

    $$y+2=\cfrac{5}{12}(x-3)\Rightarrow 5x+12y+9=0.$$

2 Nun betrachten wir den Abstand vom Mittelpunkt zur Tangente, d. h. der Radius ist

    $$r=\cfrac{5(-1)+12(4)+9}{25+144}=4$$

3Schließlich ist unsere Gleichung

    $$(x+1)^2+(y-4)=4^2=16.$$

Aufgabe 8

8 Bestimme die Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte A(2,3) und B(-1,1) verläuft, und dessen Mittelpunkt sich auf der Geraden x-3y-11=0 befindet.

1 Wir wissen, dass die Gleichung folgende Form hat

    $$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2.$$

Da der Kreis durch die Punkte A und B verläuft, haben wir folgende Gleichung

    $$(2-h)^2+(3-k)^2=(-1-h)^2+(1-k)^2=r^2.$$

2 Da sich der Mittelpunkt C(h,k) auf der Geraden der Gleichung x-3y-11=0 befindet, erhalten wir somit die Gleichung

    $$h-3k-11=0.$$

3Lösen wir die obigen Gleichungen für h,k, ergibt sich

    $$h^2-4h+4+k^2-6k+9=h^2+2h+1+k^2-2k+1,$$

    $$-2h+13=4k+2.$$

Aus dieser Gleichung und der Gleichung aus 2 ergibt sich

    $$h=\cfrac{7}{2},\quad k=-\cfrac{5}{2}.$$

4 Ersetzen wir diese Werte in der Gleichung des Kreises durch einen der Werte, durch die der Kreis verläuft, so erhalten wir den Radius

    $$r^2=\left(2-\cfrac{7}{2}\right)^{2}+\left(3+\cfrac{5}{2}\right)^{2}=\cfrac{130}{4}.$$

5 Schließlich lautet unsere Gleichung

    $$\left(x-\cfrac{7}{2}\right)^{2}+\left(y+\cfrac{5}{2}\right)^{2}=\cfrac{130}{4}.$$

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Katrin

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.