Um die gemeinsamen Punkte eines Kegelschnitts und einer Geraden zu ermitteln, muss das aus den Gleichungen beider gebildete Gleichungssystem gelöst werden.
Im Allgemeinen erhält man eine quadratische Gleichung, die je nach Vorzeichen der Diskriminante,
nämlich 
,
die folgenden Lösungen hat:
Sekanten
In diesem Fall ist die Diskriminante positiv
das heißt, die aus den beiden Gleichungen resultierende quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, die wie folgt lauten:
das heißt, die Gerade und der Kegelschnitt schneiden sich in zwei Punkten und sind daher Sekanten
Tangenten
In diesem Fall ist die Diskriminante null 
und wir erhalten für die resultierende quadratische Gleichung nur eine einzige Lösung
das heißt, die Gerade und der Kegelschnitt sind Tangenten.
Passanten
Schließlich haben wir noch den Fall, dass die Diskriminante kleiner als 0 ist; in diesem Fall gibt es keine reellen Lösungen für die quadratische Gleichung, daher sind die Gerade und der Kegelschnitt Passanten
Beispiele für Aufgaben zur relativen Lage eines Kegelschnittes und einer Geraden
1 Berechne die relative Lage des Kreises 
und der Geraden 
.
Wir haben
somit
wir lösen die quadratische Gleichung
somit erhalten wir zwei Lösungen
Wenn wir diese beiden Koordinaten als x-Achse verwenden, erhalten wir die Ordinate, wobei die beiden Schnittpunkte zwischen dem Kegelschnitt und der Geraden
sind.
Es handelt sich also um Sekanten.
2Untersuche die relative Lage des Kreises 
und den Geraden:
a
In diesem Fall
wir setzen ein
Wir lösen die quadratische Gleichung und erhalten die Lösung der Gleichung sowie die gemeinsamen Punkte
Da es zwei Punkte sind, handelt es sich um Sekanten.
b
Im Falle dieser Geraden gehen wir wie folgt vor:
wir setzen ein
wir lösen die quadratische Gleichung und erhalten die Lösung
Es handelt sich also um Tangenten.
c
Wir lösen das Gleichungssystem
Wir setzen ein und erhalten
Wir stellen fest, dass wir bei der Berechnung der Diskriminante der obigen quadratischen Gleichung folgendes Ergebnis erhalten:
das heißt, sie ist kleiner als null und daher handelt es sich um Passanten.
3 Berechne die relative Lage der Geraden 
und der Parabel 
.
Wir beginnen mit dem Lösen des Gleichungssystems
Wir setzen ein
und somit
Daraus erhalten wir die Koordinaten der Punkte
Da es zwei Punkte sind, handelt es sich um Sekanten.
Mit KI zusammenfassen:
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