Aufgaben zur Definitionsmenge einer Funktion

Berechne die Definitionsmenge der Polynomfunktionen:

Die Definitionsmenge einer ganzwertigen Polynomfunktion ist . Das heißt: alle reellen Zahlen.

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Beachte, dass es sich um eine Polynomfunktion mit rationalen Koeffizienten handelt:
Also

Berechne die Definitionsmenge der rationalen Funktionen:Der Definitionsbereich einer rationalen Funktion ist minus der Werte, für die der Nenner null wird. Um die Definitionsmenge zu bestimmen, müssen wir den Nenner null setzen und die Gleichung lösen. Die Lösungen dieser Gleichung sind die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich gehören, da sie den Nenner null setzen.

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da diese Gleichung keine reellen Nullstellen hat.

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da die Nullstelle eine doppelte Nullstelle ist.

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Wir haben , also

Und somit oder . Die Definitionsmenge ist also

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Wir stellen fest, dass das Polynom ein Binom hoch 3 ist da eine dreifache Nullstelle ist.

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Wir faktorisieren
Somit

Berechne die Definitionsmenge der Wurzelfunktionen:Die Definitionsmenge einer irrationalen Funktion mit ungeradem Wurzelexponenten ist

1

2

Die Definitionsmenge dieser Funktion sind alle reellen Zahlen minus der Werte, für die der Nenner der rationalen Funktion unter der Kubikwurzel null wird. Also

3

Die Definitionsmenge dieser Funktion sind alle reellen Zahlen minus der Werte, für die der Nenner der rationalen Funktion unter der Kubikwurzel null wird. Also

Berechne die Definitionsmenge der ExponentialfunktionenDie Definitionsmenge einer Exponentialfunktion ist

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Da der Exponent rational ist, gehört nicht zur Definitionsmenge, da dadurch der Nenner null wird. Somit .

Berechne die Definitionsmenge der Logarithmusfunktionen:Damit die Funktion definiert ist, muss der Numerus positiv sein. Das heißt, die Definitionsmenge ist

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Wir lösen

c

Da der Nenner immer positiv ist, befassen wir uns nur mit dem Zähler. Also

.

Berechne die Definitionsmenge der Winkelfunktionen: Die Definitionsmenge einer irrationalen Funktion mit geradem Wurzelexponenten besteht aus der Menge der Werte, bei denen der Radikand größer oder gleich null ist. Die Definitionsmenge der Winkelfunktionen Sinus und Kosinus sind alle reellen Zahlen. Außerdem ist der maximale Wert 1, woraus folgt, dass diese Funktionen immer Werte kleiner oder gleich 1 für jede reelle Zahl haben.

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Wir lösen

Berechne die Definitionsmenge der Winkelfunktionen:Die Definitionsmenge einer irrationalen Funktion mit geradem Wurzelexponenten besteht aus der Menge der Werte, bei denen der Radikand größer oder gleich null ist. Die Definitionsmenge der Winkelfunktionen Sinus und Kosinus sind alle reellen Zahlen. Außerdem ist der maximale Wert 1, woraus folgt, dass diese Funktionen immer Werte kleiner oder gleich 1 für jede reelle Zahl haben.

1

Wir lösen

Berechne die Definitionsmenge der Winkelfunktionen:Die Definitionsmenge einer irrationalen Funktion mit geradem Wurzelexponenten besteht aus der Menge der Werte, bei denen der Radikand größer oder gleich null ist. Die Definitionsmenge der Winkelfunktionen Sinus und Kosinus sind alle reellen Zahlen. Außerdem ist der maximale Wert 1, woraus folgt, dass diese Funktionen immer Werte kleiner oder gleich 1 für jede reelle Zahl haben.

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Wir lösen

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Wir lösen

Wir lösen

Wir lösen

Berechne die Definitionsmenge der Wurzelfunktionen:Die Definitionsmenge einer irrationalen Funktion mit geradem Wurzelexponenten besteht aus der Menge der Werte, bei denen der Radikand größer oder gleich null ist.

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Wir lösen die Ungleichung

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Wir lösen

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Wir lösen Wir setzen null, um die Nullstellen zu bestimmen:

Schließlich nehmen wir die Intervalle, innerhalb derer die Ungleichheit positiv ist. Die Vereinigung dieser ist dann unsere Definitionsmenge. Deshalb ist

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Wir lösen Wir setzen gleich null, um die Nullstellen zu erhalten:

Schließlich nehmen wir die Intervalle, innerhalb derer die Ungleichheit negativ ist. Die Vereinigung dieser ist dann unsere Definitionsmenge. Deshalb ist

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Wir lösen da größer oder gleich null ist.

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Wir lösen Wenn wir gleich null setzen, hat die entsprechende Gleichung keine reellen Lösungen. Außerdem stellen wir fest, dass sie bei einem beliebigen Wert positiv oder null ist. Deshalb ist

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Wir lösen Diese Ungleichheit ist nur für den Wert erfüllt, da für alle anderen Werte von das Ergebnis immer negativ ist. Somit ist der einzige Wert, der unsere Ungleichung erfüllt. Deshalb ist

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Wir lösen die Ungleichung 2. Grades

Schließlich nehmen wir die Intervalle, innerhalb derer die Ungleichheit positiv ist, und schließen die Extremwerte ein, für die sie null wird. Die Vereinigung dieser Intervalle ist dann unsere Definitionsmenge. Deshalb ist

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Wir lösen

Schließlich nehmen wir die Intervalle, innerhalb derer die Ungleichheit positiv ist, und schließen die Extremwerte ein, für die sie null wird. Die Vereinigung dieser Intervalle ist dann unsere Definitionsmenge. Deshalb ist

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Da die Wurzel im Nenner steht, muss der Radikand größer als null sein. Er darf jedoch nicht gleich null sein, da ansonsten der Nenner null wird. Wir lösen

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In diesem Fall muss der Nenner ungleich null sein und die Wurzel des Zählers muss größer oder gleich null sein. Wir lösen Die Lösung ist die Überschneidung der beiden Mengen. Deshalb ist

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Der Zähler muss größer oder gleich null sein und der Nenner muss ungleich null sein. Wir lösen

Die Lösung ist die Überschneidung der beiden Mengen, also

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Der Nenner muss größer als null sein. Wir lösen

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Der Radikand muss größer als null sein und der Nenner muss ungleich null sein. Wir lösen y

Die Lösung ist die Überschneidung der beiden Mengen, also

Berechne die Definitionsmenge der Funktion:

Wir lösen Die Lösung ist die Überschneidung der beiden Mengen, also

Berechne die Definitionsmenge der abschnittsweise definierten Funktion:

Im ersten Abschnitt muss der Nenner ungleich null sein. Im zweiten Abschnitt ist 3 eine Konstante, die immer positiv ist; wir untersuchen nur, ob der Nenner größer als null ist. Somit

Schließlich ist die Lösung