1

Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt im Punkt liegt und der die Gerade tangiert.

Lösung

1 Wir stellen graphisch dar

2Der Radius ist immer senkrecht zu einer Tangente des Kreises. Wenn man also den Abstand zwischen dem Mittelpunkt und der Tangente berechnet, erhält man den Radius des Kreises.

3Wir schreiben die allgemeine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt und dem Radius

4Wir lösen die quadratischen Terme auf und schreiben die allgemeine Gleichung des Kreises

5Somit ist die gesuchte Gleichung

2

Bestimme die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte und verläuft und seinen Mittelpunkt auf der Geraden hat.

Lösung

1 Wir stellen graphisch dar

2 Wir stellen den Mittelpunkt mit den Koordinaten dar. Die allgemeine Gleichung des Kreises ist

3 Die Punkte und befinden sich auf dem Kreis und erfüllen somit die folgende Gleichung

4 Wir setzen die Gleichungen gleich und vereinfachen

5 Da sich der Mittelpunkt auf der Geraden befindet, gilt

6 Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem

7 Die Addition der beiden Gleichungen ergibt

8 Wir setzen in die erste Gleichung des Systems ein und erhalten

9 Wir setzen die erhaltenen Werte in ein und erhalten

10 Wir setzen die Werte des Mittelpunkts und des Radius in die allgemeine Gleichung des Kreises ein. Wir lösen und erhalten

3

Berechne die Gleichung des Kreises, der durch den Punkt verläuft, dessen Radius ist und dessen Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten liegt.

Lösung

1 Wir stellen graphisch dar

2 Der Mittelpunkt befindet sich auf der Geraden . Der Mittelpunkt wird also durch  dargestellt. Die allgemeine Gleichung des Kreises ist

3 Der Punkt liegt auf dem Kreis, weshalb er die Gleichung erfüllt

Es gilt und

4 Die Gleichung des Kreises für ist

5 Die Gleichung des Kreises für ist

4

Berechne die Gleichung des Kreises, der durch den Punkt verläuft, dessen Radius ist und dessen Mittelpunkt sich auf der Geraden befindet.

Lösung

1 Der Mittelpunkt befindet sich auf der Geraden . Der Mittelpunkt wird also durch  dargestellt. Die allgemeine Gleichung des Kreises ist

2 Der Punkt befindet sich auf dem Kreis, sodass er folgende Gleichung erfüllen muss

3 Deshalb kommen wir zu dem Ergebnis, dass . Somit lautet die Gleichung des Kreises für wie folgt

5

Wenn die Gleichung des Kreises ist, dann misst sein Radius:

Lösung

1 Wir haben die allgemeine Formel des Kreises


Dieser Gleichung können wir alle notwendigen Werte für unseren Kreis entnehmen.

2 Aus der vorhergehenden Gleichung wissen wir, dass sein Radius durch folgende Gleichung bestimmt ist

3 In unserem speziellen Fall wissen wir, dass , und ist. Indem wir sie ersetzen, erhalten wir unser gesuchtes Ergebnis

6

Berechne die Gleichung des Kreises, bei dem einer seiner Durchmesser die Extremwerte , hat.

Lösung

1 Wenn das Segment ein Durchmesser des Kreises ist, ist der Mittelpunkt dieses Segments der Radius des Kreises.

Wir stellen fest, dass der Mittelpunkt des Kreises ist.

2 Um den Radius zu berechnen, müssen wir die Länge des Segments berechnen. Diese beträgt

3 Schließlich erhalten wir die Gleichung des Kreises

7

Bestimme die Gleichung des Kreises, dessen Mittelpunkt sich bei befindet und der die Gerade tangiert, die durch die Punkte und verläuft.

Lösung

1 Zunächst berechnen wir die Gleichung der Geraden. Da diese durch und verläuft, ist ihre Steigung

Somit ist die Gleichung der Geraden

2  Nun betrachten wir den Abstand vom Mittelpunkt zur Tangente, d. h. der Radius ist

3 Schließlich ist unsere Gleichung

8

Bestimme die Gleichung eines Kreises, der durch die Punkte und verläuft, und dessen Mittelpunkt sich auf der Geraden befindet.

Lösung

1 Wir wissen, dass die Gleichung folgende Form hat

Da der Kreis durch die Punkte und verläuft, haben wir folgende Gleichung

2 Da sich der Mittelpunkt auf der Geraden der Gleichung befindet, erhalten wir somit die Gleichung

3 Lösen wir die obigen Gleichungen für , ergibt sich

Aus dieser Gleichung und der Gleichung aus 2 ergibt sich

4 Ersetzen wir diese Werte in der Gleichung des Kreises durch einen der Werte, durch die der Kreis verläuft, so erhalten wir den Radius

5 Schließlich lautet unsere Gleichung

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Katrin S.

Ich bin staatlich geprüfte Übersetzerin & Dolmetscherin mit den Arbeitssprachen Englisch, Spanisch, Deutsch. Meine Ausbildung habe ich am SDI München mit dem Fachgebiet Technik abvsolviert und übersetze hauptsächlich im technischen sowie mathematisch-naturwissenschaftlichen Bereich. Bei Superprof darf ich die Mathe-Expert*innen unterstützen, indem ich ihre Artikel ins Deutsche übersetze.