Kapitel
Zunächst einmal führst Du eine alternative Schreibweise für die Ableitungen einer Funktion 
.
Der Grund für die Einführung alternativer Schreibweisen für ein und dasselbe Konzept liegt darin, dass es Fälle gibt, in denen die Entwicklungen sehr umfangreich oder kompliziert sind und es notwendig ist, die Funktion weniger umfangreich zu gestalten, um sie praktikabler zu machen, da es hier darauf ankommt, dass sie weiterhin dasselbe Konzept darstellen.
Die erste Ableitung einer Funktion hat drei Bezeichnungen, die du hier vorfindest:
und die zweite Ableitung einer Funktion (die Ableitung der Ableitung), hat die folgenden alternativen Schreibweisen:
in diesem Fall verwendest Du der Übersichtlichkeit halber die Schreibweise 
für die erste Ableitung und 
für die zweite Ableitung.
Nachdem Du die Schreibweise festgelegt hast, die Du verwenden wirst, untersuchst Du nun einige Eigenschaften der Funktionen.
Genauer gesagt, solltest Du die Kriterien kennen, die Dir sagen, wo eine Funktion ihren höchst- oder niedrigstmöglichen Wert innerhalb einer bestimmten Region erreicht, weshalb sie als relatives Maximum oder Minimum bezeichnet werden.
Relative Extremwerte
Einfach ausgedrückt handelt es sich dabei um Punkte, an denen eine Funktion einen maximalen oder minimalen Wert erreicht, und zwar im Vergleich zu den Punkten einer Umgebung, die sich in ihrer Nähe befinden. Diese Art von Punkten wird als relative Extrempunkte bezeichnet.
Wenn 
eine ableitbare Funktion in 
, ist, dann ist 
ein relatives oder lokales Extremum, wenn:
Relatives Maximum
Wenn eine ableitbare Funktion in ist, dann ist ein relatives oder lokales Maximum, wenn:
Relative Minima
Wenn eine ableitbare Funktion in ist, dann ist ein relatives oder lokales Minimum, wenn:
Berechnung von Maxima und Minima
Betrachte die folgende Funktion 
Um die lokalen Extremitäten zu finden, gehst Du wie folgt vor:
1 Finde die erste Ableitung der Funktion und berechne ihre Wurzeln.
Zunächst die Ableitung der Funktion
Nun ihre Wurzeln, die Lösung der Gleichung
Ihre Wurzeln sind also
2Nimm die zweite Ableitung und berechne das Vorzeichen der Wurzeln.
Berechne die zweite Ableitung der Funktion.
Bewerte die in der zweiten Ableitung erhaltenen Wurzeln
, 
bei 
hat die Funktion ein relatives Maximum
, bei 
hat die Funktion ein relatives Minimum
3Berechne die Bildmenge (in der Funktion) der relativen Extrema.
, bei 
hat der Graph der Funktion ein relatives Maximum
, bei 
hat der Graph der Funktion ein relatives Minimum
Untersuchung der relativen Extremwerte des Wachstums
Da Du Dich bereits mit dem Wachstum und der Abnahme einer Funktion beschäftigt hast, wird es sie folgendermaßen geben:
- Ein Maximum am Punkt der Funktion, wenn die Funktion von steigendem
zu fallendem 
übergeht. - Ein Minimum an dem Punkt der Funktion, an dem die Funktion von fallendem zu steigendem übergeht.
Beispiel:
Betrachte die folgende Funktion 
Um die lokalen Extremitäten zu finden, gehst Du wie folgt vor:
1 Bestimme den Definitionsbereich der Funktion, die erste Ableitung und berechne ihre Wurzeln.
Zunächst der Definitionsbereich der Funktion
Suche die Punkte, an denen die Funktion unbestimmt ist, d. h. Werte, bei denen 
.
Dieser Wert ist , er ist der Wert, den Du entfernen musst, also 
.
Berechne nun die Ableitung der Funktion
Nun ihre Wurzeln, die Lösung der Gleichung
Ihre Wurzeln sind
2Nimm die berechneten Werte und erzeuge Sektoren der realen Linie.
Nimm dann einen Wert aus jedem Sektor, werte ihn in der ersten Ableitung aus und beobachte die erhaltenen Vorzeichen, um die Art der Funktion in jedem Sektor zu analysieren.
Nimm die berechneten Werte und erzeuge Sektoren aus der realen Linie
Die Werte sind 
, dann sind die Sektoren 
Bewerte ein Element jedes Sektors in der ersten Ableitung
- Sei
, entonces 
in 
ist die Funktion steigend - Sei
, dann ist 
in 
ist die Funktion steigend - Sei
, dann ist 
in 
ist die Funktion abnehmend - Sei
, dann ist 
in 
ist die Funktion steigend
In der folgenden Tabelle sind die erhaltenen Informationen aufgeführt:
3Interpretiere die Informationen und ermittle das Maximum oder Minimum.
Du stellst fest, dass zwei Vorzeichenwechsel erzeugt werden, wobei der von nach verworfen wird, da hier die Unbestimmtheit vorliegt.
Der nächste Vorzeichenwechsel ist von zu , und da er von abnehmend zu ansteigend ist, hat man bei 
ein relatives Minimum
4 Bewerte die Zahl in der Funktion, um den Punkt in der Ebene zu bestimmen.
Du siehst, dass 
, also am Punkt 
, die Funktion ein relatives Minimum hat.
Übungsaufgaben
Betrachte die folgende Funktion 
1 Finde die erste Ableitung der Funktion und berechne ihre Wurzeln.
Zunächst die Ableitung der Funktion
Nun ihre Wurzeln, die Lösung der Gleichung
Ihre Wurzeln sind
2 Nimm die zweite Ableitung und berechne das Vorzeichen der Wurzeln.
Berechne die zweite Ableitung der Funktion
Bewerte die in der zweiten Ableitung erhaltenen Wurzeln
, bei 
hat die Funktion ein relatives Maximum
, bei 
hat die Funktion ein relatives Minimum
, bei 
hat die Funktion ein relatives Minimum
3 Berechne die Bildmenge (in der Funktion) der relativen Extrema.
, bei 
hat der Graph der Funktion ein relatives Minimum
, bei 
hat der Graph der Funktion ein relatives Maximum
, bei 
hat der Graph der Funktion ein relatives Minimum
Betrachte die folgende Funktion 
1 Finde die erste Ableitung der Funktion und berechne ihre Wurzeln.
Zunächst die Ableitung der Funktion
Nun ihre Wurzeln, die Lösung der Gleichung
bedeutet, dass ihre Wurzel
2 Nimm die zweite Ableitung und berechne das Vorzeichen der Wurzeln.
Berechne die zweite Ableitung der Funktion
Berechne die Wurzel aus der zweiten Ableitung
, bei hat die Funktion ein relatives Minimum
3 Berechne die Bildmenge (in der Funktion) der relativen Extrema.
bei 
hat der Graph der Funktion ein relatives Minimum
Betrachte die folgende Funktion 
1 Finde die erste Ableitung der Funktion und berechne ihre Wurzeln.
Zunächst die Ableitung der Funktion
Nun ihre Wurzeln, die Lösung der Gleichung
bedeutet, dass ihre Wurzeln
2Nimm die zweite Ableitung und berechne das Vorzeichen der Wurzeln.
Berechne die zweite Ableitung der Funktion
Bewerte die in der zweiten Ableitung erhaltenen Wurzeln
, bei 
, hat die Funktion ein relatives Maximum
, e bei hat die Funktion ein relatives Minimum
3 Berechne die Bildmenge (in der Funktion) der relativen Extrema.
, bei 
hat der Graph der Funktion ein relatives Maximum
, bei 
hat der Graph der Funktion ein relatives Minimum
Betrachte die folgende Funktion 
.
In diesem Fall ist es notwendig, den Definitionsbereich zu berücksichtigen, da Du möglicherweise Werte verwerfen musst, die nicht zu ihr gehören.
Das sollte eigentlich immer gemacht werden, aber es wird nicht gemacht, wenn klar ist, was der Definitionsbereich ist.
0 Finde den Definitionsbereich der Funktion
Der Definitionsbereich der natürlichen Logarithmusfunktion ist derjenige, in dem das Argument positiv ist, also musst Du 
lösen
Die Lösungen von 
son 
. Das bedeutet, dass Du die Sektoren 
erzeugen musst, und von dort eine Zahl aus jedem Sektor nimmst, sie in 
auswertest und das erzeugte Vorzeichen kennst, um schließlich zu lösen.
Das bedeutet, dass die Lösung der Ungleichung, also der Bereich der Funktion, 
1Finde die erste Ableitung der Funktion und berechne ihre Wurzeln.
Zunächst die Ableitung der Funktion
Nun ihre Wurzeln, die Lösung der Gleichung
Ihre Wurzeln sind
Ignoriere 
, da 
2 Nimm die zweite Ableitung und berechne das Vorzeichen der Wurzeln.
Berechne die zweite Ableitung der Funktion
Bewerte die in der zweiten Ableitung erhaltenen Wurzeln
, bei 
Funktion hat relatives Maximum
3 Berechne die Bildmenge (in der Funktion) der relativen Extrema.
, bei 
hat der Graph der Funktion ein relatives Maximum
Betrachte die folgende Funktion 
1 Finde die erste Ableitung der Funktion und berechne ihre Wurzeln.
Zunächst die Ableitung der Funktion
Nun ihre Wurzeln, die Lösung der Gleichung
Ihre Wurzeln sind
, con 
2 Nimm die zweite Ableitung und berechne das Vorzeichen der Wurzeln.
Berechne die zweite Ableitung der Funktion
Bewerte die in der zweiten Ableitung erhaltenen Wurzeln
, bei 
hat die Funktion ein relatives Minimum für jedes
, bei 
hat die Funktion ein relatives Maximum für jedes
3 Berechne die Bildmenge (in der Funktion) der relativen Extrema.
, bei 
hat der Graph der Funktion ein relatives Minimum für jedes
, bei 
hat der Graph der Funktion ein relatives Maximum für jedes para cada
Probleme
Bestimme ,
y 
so, dass die Funktion 
ein Maximum für 
, hat, ein Minimum für , und den Wert 
para annimmt.
Das Problem äußert sich darin, dass die folgenden Bedingungen eintreten:
was bedeutet, dass Du die erste Ableitung der Funktion berechnen musst
und mit diesem die Bewertungen durchführen
Erstelle ein Drei-mal-Drei-Gleichungssystem
dessen Lösung 
ist
Bestimme den Wert von ,, und 
so dass die Funktion 
ein Maximum bei 
und ein Minimum bei 
hat.
Das Problem äußert sich darin, dass die folgenden Bedingungen eintreten:
bedeutet, dass Du die erste Ableitung der Funktion berechnen musst
und nimm dann die entsprechenden Bewertungen vor
die das folgende Vier-mal-Vier-Gleichungssystem erzeugen
dessen Lösung 
ist
Gegeben ist die Funktion: 
Berechne , und , so dass bei 
ein lokales Extremum hat und die Kurve durch den Koordinatenursprung verläuft.
Das Problem äußert sich darin, dass die folgenden Bedingungen eintreten:
bedeutet, dass Du die erste Ableitung der Funktion berechnen musst
und nimm dann die entsprechenden Bewertungen vor
das folgende Drei-mal-Drei-Gleichungssystem erzeugt
dessen Lösung 
ist
Fince y so, dass die Funktion: 
Extrema an den Punkten 
y 
hat. Für diese Werte von und , welche Art von Extremen hat die Funktion in und in 
?
Berechne die erste und die zweite Ableitung der Funktion, um die Bedingungen zu finden, unter denen sie extrem sind, und um ihre Art zu kennen.
Da Du nun willst, dass die Funktion an den Punkten und ,
Extrema hat, stellst Du folgende Gleichungen auf
ein System wird erzeugt, dessen Lösung ist: 
und 
.
Du hast bereits die Werte gefunden, die dazu führen, dass die Funktion an der angegebenen Stelle Extremwerte aufweist, nun willst Du ihre Art ansehen. Hierfür benötigst Du die zweite Ableitung der Funktion:
Schaue dir nun die Art der einzelnen Enden an
, bei , hat die Funktion ein relatives Minimum
, bei , hat die Funktion ein relatives Maximum
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