Bestimme das gleichschenklige Dreieck mit der größten Fläche, das in einen Kreis mit dem Radius 
eingeschrieben ist.
1 Wir stellen die Werte grafisch dar
2 Die zu optimierende Funktion ist diejenige, die den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks darstellt:
3 Wir setzen die Variablen in Beziehung:
4 Wir setzen in die Funktion ein:
5 Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Wir setzen gleich 0 (in diesem Fall nur den Zähler) und berechnen die Nullstellen
Wir setzen in Abhängigkeit von 
und 
. Wir erhalten
Die Grundseite ist 
und die Seite ist
6 Wir führen die 2. Ableitung durch, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen.
Für 
erhalten wir 
ein relatives Maximum gibt.
Ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Umfang von 
, dreht sich um seine Höhe und beschreibt einen Kegel.
Welchen Wert muss die Grundfläche haben, damit das Volumen des Kegels maximal ist?
1 Wir stellen die Werte grafisch dar
2 Die zu optimierende Funktion ist diejenige, die den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks darstellt:
3 Wir setzen die Variablen in Beziehung:
Wir wenden den Satz des Pythagoras an
Wir wenden den Umfang an
Wir setzen die beiden Ausdrücke gleich und erhalten
4 Wir setzen in die Funktion:
5 Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Wir setzen gleich 0 (in diesem Fall den Zähler) und berechnen die Nullstellen
Die Grundseite ist
6 Wir führen die 2. Ableitung durch, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Für 
erhalten wir 
ein relatives Maximum gibt.
Ermittle die Maße des größten Rechtecks, das in ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis 
und der Höhe 
eingeschrieben ist.
1 Wir stellen die Werte grafisch dar
2 Zu optimierende Funktion
3 Wir setzen die Variablen in Beziehung: Da wir zwei ähnliche Dreiecke haben, erhalten wir
Wir wenden den Umfang an
4 Wir setzen in die Funktion ein:
5 Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Wir setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Die Grundseite ist 
6 Wir führen die 2. Ableitung durch, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen.
Für 
erhalten wir 
und 
ein relatives Maximum.
Ein Kreissegment hat einen Umfang von 
.
Berechne den Radius und die Breite des Segments mit der größten Fläche.
1 Wir stellen die Werte grafisch dar
2 Zu optimierende Funktion
3 Wir setzen die Variablen in Beziehung:
4 Zu optimierende Funktion:
5 Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Wir setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Und schließlich 
6 Wir führen die 2. Ableitung durch, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Für 
erhalten wir , 
und 
existiert also ein relatives Maximum.
Ziel ist es, eine zylindrische Dose (mit Deckel) mit einem Fassungsvermögen von 
Liter herzustellen.
Wie sollten die Maße sein, damit so wenig Metall wie möglich verwendet wird?
1 Zu optimierende Funktion
2 Wir setzen die Variablen in Beziehung:
3 Wir setzen in die Funktion ein:
4 Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen,
Wir setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Somit 
5 Wir führen die 2. Ableitung durch, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Für 
erhalten wir 
Das Kriterium der 2. Ableitung besagt also: Wenn die 2. Ableitung größer als 0 (positiv) ist, dann hat die Funktion ein relatives Minimum. Somit existiert für und ein relatives Minimum.
Man hat einen 
langen Draht und möchte ihn in zwei Teile teilen, um mit dem einen einen Kreis und mit dem anderen ein Quadrat zu bilden.
Berechne die Länge der einzelnen Teile, sodass die Summe der Flächen des Kreises und des Quadrats minimal ist.
1 Zu optimierende Funktion
2 Wir setzen die Variablen in Beziehung:
3 Wir setzen in die Funktion ein
4 Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Wir setzen gleich 0 Null und berechnen die Nullstellen
Das Stück für den Kreis misst 
und das Stück für das Quadrat 
5 Wir führen die 2. Ableitung durch, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Das Kriterium der 2. Ableitung besagt also: Wenn die 2. Ableitung größer als 0 (positiv) ist, dann hat die Funktion ein relatives Minimum.
Ermittle die Maße, die die Kosten für einen rechteckigen, parallelepipedförmigen Behälter minimieren, wobei sein Volumen 
und seine Höhe sein sollen. Die Baukosten pro 
sollen bei 
€ für die Grundfläche betragen; sowie 
€ für die Abdeckung und 
€ pro Seitenwand.
1 Wir stellen die Werte grafisch
2 Zu optimierende Funktion
3 Wir setzen die Variablen in Beziehung
4 Wir setzen in die Funktion ein:
5 Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Wir setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Somit ist 
6 Wir führen die 2. Ableitung durch, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Für 
erhalten wir 
Das Kriterium der 2. Ableitung besagt also: Wenn die 2. Ableitung größer als 0 ist, dann hat die Funktion ein relatives Minimum.
Zerlege die Zahl 
in zwei Summanden so, dass das Fünffache des Quadrats der ersten Zahl plus das Sechsfache des Quadrats der zweiten Zahl ein Minimum ergibt.
1 Zu optimierende Funktion
2 Wir setzen die Variablen in Verbindung:
3 Wir setzen in die Funktion ein:
4 Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Wir setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Somit ist 
5 Wir führen die 2. Ableitung durch, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Das Kriterium der 2. Ableitung besagt also: Wenn die 2. Ableitung größer als null (positiv) ist, dann hat die Funktion ein relatives Minimum.
Aus einem Karton mit den Maßen 
schneidet man aus jeder Ecke ein Quadrat mit der Seite aus und faltet es (siehe Abbildung), sodass eine Box entsteht.
Berechne so, dass das Volumen dieses Kartons maximal ist.
1 Wir stellen die Werte grafisch dar
2 Zu optimierende Funktion
3 Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Wir setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Allerdings ist 
nicht gültig, da 
Für 
erhalten wir 
V''(10) < 0[/latex]
Das Kriterium der 2. Ableitung besagt also: Wenn die 2. Ableitung kleiner als 0 ist, dann hat die Funktion ein relatives Maximum.
Ein Blatt Papier muss 
gedruckten Text, einen oberen und unteren Rand von 
und einen seitlichen Rand von 
aufweisen.
Bestimme die Maße, die die Fläche des Papiers so klein wie möglich halten.
1 Wir stellen die Werte grafisch dar
2 Zu optimierende Funktion
3 Wir setzen die Variablen in Beziehung:
4 Wir setzen in die Funktion ein:
5 Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Wir setzen gleich 0 (nur den Zähler) und berechnen die Nullstellen
Allerdings ist 
nicht gültig
6 Wir führen die 2. Ableitung durch, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen
Für 
erhalten wir 
Das Kriterium der 2. Ableitung besagt also: Wenn die 2. Ableitung größer als 0 ist, dann hat die Funktion ein relatives Minimum.
Der monatliche Nettogewinn in Millionen Euro eines Unternehmens, das Busse herstellt, ist durch die folgende Funktion gegeben:
,
wobei die Anzahl der in einem Monat produzierten Busse ist.
1 Berechne die monatliche Produktion, die den Gewinn maximiert.
2 Der maximale Gewinn entspricht dieser Produktion.
1 Zu optimierende Funktion
2 Wir leiten ab, setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
Wir setzen gleich 0 und berechnen die Nullstellen
3 Wir führen die 2. Ableitung durch, um das erhaltene Ergebnis zu überprüfen.
Eine Obstplantage hat 
Bäume, die jeweils 
Früchte produieren.
Es wird geschätzt, dass für jeden zusätzlich gepflanzten Baum die Produktion eines jeden Baumes um 
Früchte abnimmt.
Berechne:
1 Die aktuelle Produktion der Obstplantage.
2 Die Produktion, die von jedem Baum erzielt werden würde, wenn mehr Bäume gepflanzt würden.
3 Die Gesamterzeugung der Obstplantage, wenn mehr Bäume gepflanzt würden.
4 Wie hoch sollte die Gesamtzahl der Bäume in der Obstplantage sein, um eine maximale Produktion zu erzielen?
1 Die aktuelle Produktion der Obstplantage.
Aktuelle Produktion: 
Früchte.
2 Die Produktion, die von jedem Baum erzielt werden würde, wenn mehr Bäume gepflanzt würden.
Wenn mehr Bäume gepflanzt werden, beläuft sich die Produktion jedes Baumes: 
.
3 Die Gesamterzeugung der Obstplantage, wenn mehr Bäume gepflanzt würden.
4 Wie hoch sollte die Gesamtzahl der Bäume in der Obstplantage sein, um eine maximale Produktion zu erzielen?
Wir setzen die Ableitung gleich 0
Wir berechnen die 2. Ableitung
oder 
Bäume hat.
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