Parabelgleichungen - Rechenaufgaben und Lösungswege

Berechne zuerst den Parameter p, der den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie der Parabel angibt. Der Parameter p ist:

Es handelt sich um eine Normalparabel, das heißt ihr Scheitelpunkt liegt im Koordinatenursprung

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse (die Symmetrieachse, die durch den Scheitelpunkt verläuft) entspricht der x-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) positiv ist (8), liegt die Parabel im positiven Teil der x-Achse

Grafisch sieht die Parabel so aus:

Berechne zuerst den Parameter p, der den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie der Parabel angibt. Der Parameter p ist:

Es handelt sich um eine Normalparabel, das heißt ihr Scheitelpunkt liegt im Koordinatenursprung

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse (die Symmetrieachse, die durch den Scheitelpunkt verläuft) entspricht der x-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) negativ ist (-8), liegt die Parabel im negativen Teil der x-Achse

Grafisch sieht die Parabel so aus:

Berechne zuerst den Parameter p, der den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie der Parabel angibt. Der Parameter p ist:

Es handelt sich um eine Normalparabel, das heißt ihr Scheitelpunkt liegt im Koordinatenursprung

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse verläuft entlang der y-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) positiv ist (8), liegt die Parabel im positiven Teil der y-Achse

Grafisch sieht die Parabel so aus:

Berechne zuerst den Parameter p, der den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie der Parabel angibt. Der Parameter p ist:

Es handelt sich um eine Normalparabel, das heißt ihr Scheitelpunkt liegt im Koordinatenursprung

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse verläuft entlang der y-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) negativ ist (-8), liegt die Parabel im negativen Teil der y-Achse

Grafisch sieht die Parabel so aus

Berechne zuerst den Parameter p, der den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie der Parabel angibt. Der Parameter p ist:

Hier liegt keine Normalparabel vor, daher liegt der Scheitelpunkt bei

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse verläuft parallel zur x-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) positiv ist (8), liegt der Brennpunkt rechts vom Scheitelpunkt.

Grafisch sieht die Parabel so aus:

Berechne zuerst den Parameter p, der den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie der Parabel angibt. Der Parameter p ist:

Hier liegt keine Normalparabel vor, daher liegt der Scheitelpunkt bei

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse verläuft parallel zur x-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) positiv ist (8), liegt der Brennpunkt rechts vom Scheitelpunkt.

Grafisch sieht die Parabel so aus:

1 Löse nach auf

Berechne zuerst den Parameter p, der den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie der Parabel angibt. Der Parameter p ist:

Es handelt sich um eine Normalparabel, das heißt ihr Scheitelpunkt liegt im Koordinatenursprung

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse (die Symmetrieachse, die durch den Scheitelpunkt verläuft) entspricht der x-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) positiv ist (2), liegt der Brennpunkt rechts vom Scheitelpunkt.

Grafisch sieht die Parabel so aus:

2

Löse nach auf

Berechne zuerst den Parameter p, der den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie der Parabel angibt. Der Parameter p ist:

Es handelt sich um eine Normalparabel, das heißt ihr Scheitelpunkt liegt im Koordinatenursprung

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse (die Symmetrieachse, die durch den Scheitelpunkt verläuft) entspricht der x-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) negativ ist ( ), liegt der Brennpunkt links vom Scheitelpunkt.

Grafisch sieht die Parabel so aus:

3

Löse nach auf

Berechne zuerst den Parameter p, der den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie der Parabel angibt. Der Parameter p ist:

Es handelt sich um eine Normalparabel, das heißt ihr Scheitelpunkt liegt im Koordinatenursprung

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse verläuft entlang der y-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) negativ ist ( ), liegt der Brennpunkt unterhalb des Scheitelpunkts.

Grafisch sieht die Parabel so aus:

Ermittle die Koordinaten des Scheitelpunkts, der Brenpunkte und die Gleichungen der Leitlinien der folgenden Parabeln:

1

Fasse die quadratische Gleichung zusammen

Vereinfache

Löse auf

Der Parameter p ist:

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse verläuft parallel zur x-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) positiv ist (8), liegt der Brennpunkt rechts vom Scheitelpunkt.

Fasse die quadratische Gleichung zusammen

Vereinfache

Löse auf

Folglich ist

Der Parameter p ist:

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse verläuft entlang der y-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) positiv ist (6), liegt der Brennpunkt oberhalb des Scheitelpunkts.

3

Fasse die quadratische Gleichung zusammen

Vereinfache

Löse auf

Berechne zuerst den Parameter p, der den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie der Parabel angibt. Der Parameter p ist:

Der quadratische Term der Gleichung ist , d.h. die Parabelachse verläuft entlang der y-Achse. Da der Koeffizient der nicht quadratischen Variable ) positiv ist (1), liegt der Brennpunkt oberhalb des Scheitelpunkts.

Stelle die Gleichungen der Parabeln anhand der vorgegebenen Werte auf:

1

Berechne zuerst den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie, um den Parameter zu erhalten.

Da der Brennpunkt auf der x-Achse liegt, die Leitlinie parallel zur y-Achse verläuft und beide den selben Abstand zum Koordinatenursprung aufweisen, handelt es sich um eine Normalparabel.

Da die Parabelachse entlang der x-Achse verläuft und der Brennpunkt rechts vom Scheitelpunkt liegt, ist die Gleichung

Vereinfache

Löse auf

2

Berechne zuerst den Abstand vom Scheitelpunkt zur Leitlinie. Dieser ist .

Man kann erkennen, dass der Scheitelpunkt auf dem Koordinatenursprung liegt und die Leitlinie parallel zur x-Achse verläuft. Folglich liegt eine Normalparabel vor.

Da die Parabelachse entlang der y-Achse verläuft und der Brennpunkt unterhalb des Scheitelpunkts liegt, ergibt sich als Gleichung

3

Berechne zuerst den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie, um den Parameter zu erhalten.

Man kann erkennen, dass die Leitlinie parallel zur x-Achse verläuft und der Brennpunkt auf der y-Achse liegt. Beide sind vom Koordinatenursprung gleich weit entfernt, folglich liegt wieder eine Normalparabel vor.

Da der Brennpunkt oberhalb der Leitlinie liegt, ergibt sich als Gleichung

4

Berechne zuerst den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie, um den Parameter zu erhalten.

Man kann erkennen, dass die Leitlinie parallel zur y-Achse verläuft und der Brennpunkt auf der x-Achse liegt. Beide sind vom Koordinatenursprung gleich weit entfernt, folglich liegt wieder eine Normalparabel vor.

Da der Brennpunkt links von der Leitlinie liegt, ergibt sich als Gleichung

5

Berechne zuerst den Abstand zwischen dem Brennpunkt und der Leitlinie, um den Parameter zu erhalten.

Man kann erkennen, dass die Leitlinie parallel zur y-Achse verläuft und der Brennpunkt auf der x-Achse liegt. Beide sind vom Koordinatenursprung gleich weit entfernt, folglich liegt wieder eine Normalparabel vor.

a der Brennpunkt rechts von der Leitlinie liegt, ergibt sich als Gleichung

6

Berechne zuerst den Abstand vom Brennpunkt zur Leitlinie. Dieser ist .

Man erkennt, dass die Leitlinie parallel zur y-Achse verläuft.

Da der Brennpunkt links des Scheitelpunkts liegt, ergibt sich als Gleichung

7

Berechne zuerst den Abstand vom Brennpunkt zum Scheitelpunkt. Dieser ist .

Mann erkennt, dass die Leitlinie parallel zur x-Achse verläuft.

Da der Brennpunkt oberhalb des Scheitelpunkts liegt, ergibt sich als Gleichung

8

Da der Scheitelpunkt der Parabel im Koordinatenursprung liegt und ihre Achse entlang der x-Achse verläuft, handelt es sich um eine Normalparabel, genauer gesagt um die Parabel der Form

Da die Parabelkurve durch den Punkt (3,4) verläuft, muss die Gleichung bei Einsetzen der Koordinaten aufgehen

Teile durch 3

Die Gleichung sieht folglich so aus:

Aus der Rechenaufgabe geht hervor, dass

Da die Parabelkurve durch die Punkte A und B verläuft, muss die Gleichung für diese Koordinaten aufgehen:

Multiliziere die erste Gleichung mit 4 und du erhältst:

Ziehe von ihr die zweite Gleichung ab, indem du die negative Form zu ihr addierst

Somit erhältst du

Vereinfache die Gleichung, indem du sie durch 3 teilst

Die beiden Lösungen für lassen erkennen, dass hier Lösungen für zwei unterschiedliche Parabeln vorliegen:

Der Abstand von einem Punkt zur Leitlinie muss gleich groß sein wie zum Brennpunkt. Folglich ist

Quadriere den Ausdruck, um die Wurzel aufzulösen

Die GLeichung muss folgende Form besitzen:

Da die Parabel durch die Punkte A, B und C verläuft, muss die Gleichung bei Einsetzen der Koordinaten aufgehen

Löse das Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und du erhältst

Folglich ist die Parabelgleichung

Bestimme die Gleichung der Parabel mit Leitlinie y = 0 und Brennpunkt (2, 4).

Folglich ist die Parabelgleichung:

Bestimme die Lagebeziehung der Geraden r ≡ x + y − 5 = 0 zur Parabel y² = 16 x.

Vereinfache

Löse auf